原点矩与中心矩.doc

1、 1 第 10 讲 原点矩与中心矩 协方差 与 相关系数 教学目的： 掌握 矩、 协方差及 相关系数的概念、性质及 计算。 教学重点： 矩 、 协方差及相关系数的概念和 性质。 教学难点： 矩、 协方差及 相关系数的概念 。 教学学时： 2 学时 教学过程： 第三章 随机变量的数字特征 3.3 原点矩与中心矩 随机变量的数字特征除了数学期望和方差 外， 为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩（原点矩与中心矩），它们在数理统计中有重要的应用。 定义 1 设 X 是随机变量，若 ),2,1)( kXE k 存在， 则 称它为 X 的 k 阶 原点矩 ，记作 )(Xvk ，即

2、 )()( kk XEXv ， ,2,1k 显然，一阶原点矩就是数学期望，即 )()(1 XEXv 。 定义 2 设随机变量 X 的函数 ),2,1()( kXEX k 的数学 期望 存在， 则 称)( kXEXE 为 X 的 k 阶 中心矩 ， 记作 )(Xk ，即 )()( kk XEXEX ， ,2,1k 易知，一阶中心矩恒等于零，即 0)(1 X ；二阶中心矩就是方差，即)()(2 XDX 。不难证明，原点矩与中心矩之间有如下 关系： 2122 vv 312133 23 vvvv 2 412121344 364 vvvvvv 等。 定义 3 设 X 和 Y 是随机变量， 若 ),2,1

3、,)( lkYXE lk 存在，则 称它为 X 和 Y 的lk 阶 混合矩 。 若 ),2,1,()()( lkYEYXEXE lk存在， 则 称它为 X 和 Y 的 lk阶 混合中心矩 。 3.4 协方差 与 相关系数 1.协方差与相关系数的定义 二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。 定义 3 设有二维随机变量 ),( YX ，如果 )()( YEYXEXE 存在，则称)()( YEYXEXE 为随机变量 X 与 Y 的 协方差 ， 记 作 ),cov( YX ，即 ),cov( YX )()( YEYXEXE 而)()( ),cov( YDXD YX称 为随机变量 X 与

4、 Y 的 相关系数 ， 记 作 ),( YXR ， 即 )()( ),c o v (),( YDXD YXYXR )()( ),cov( YX YX显然，协方差 ),cov( YX 是 X 和 Y 的二阶混合中心矩。 当 0),cov( YX ， 通常 称 随机变量 X 与 Y 是 不相关 的 。 2.协方差的 性质 (1) ),cov( YX ),cov( XY ， )(),c o v( XDXX 由定义 知 性质（ 1）是显然的。 (2) ),cov( YX )()()( YEXEXYE 证 ),cov( YX )()()()( YEXEXYEYXEXYE )()()()()()()( Y

5、EXEYEXEYEXEXYE )()()( YEXEXYE 3 (3) ),c o v (2)()()( YXYDXDYXD 证 22 )()()()()( YEYXEXEYXEYXEYXD ),c o v (2)()( YXYDXD 该性质可 推广到任意场合，即 ji jini ini i XXXDXD ),c o v (2)()( 11 (4) ),c o v (),c o v ( YXabbYaX ， ba, 是常数 。 由定义 知 性质（ 4）是显然的。 (5) ),c ov (),c ov (),c ov ( 2121 YXYXYXX 由定义 知 性质（ 5）是显然的。 (6) 若

6、X 与 Y 相互独立，则 0),cov( YX ，即 X 与 Y 不相关。 反之，若 X 与 Y 不相关， X 与 Y 不一定相互独立 。 3.相关系数的 性质 (1) 1),( YXR (2) 若 X 与 Y 相互独立，则 0),( YXR (3) 当 且仅当 X 与 Y 之间存在 线性关系 1 baXYP （ ba, 为常数， 0a ）时， 1),( YXR ，且 0,1 0,1),( aaYXR 。 证 对 于 性质（ 1），我们考虑随机变量)( )()( )( YD YEYXD XEXZ ，由协方差的性质（ 3）可得 )( )(,)( )(c o v (2)( )()( )()( YD

7、 YEYXD XEXYD YEYDXD XEXDZD 0),(1(2),(211 YXRYXR 故 1),( YXR 对 于 性质（ 2），由于 X 与 Y 相互独立，则有 0),cov( YX ，由定义 知 0),( YXR 。 4 对于性质（ 3），若 1 baXYP ，则 bXaEYE )()( ， )()( 2 XDaYD ， )()( )()(),( YDXD YEYXEXEYXR aaXDa XaDYDaXD bXaEbaXXEXE )( )()()( )()(即 1),( YXR ， 0,1 0,1),( aaYXR 事实上相关系数只是随机变量间线性关系 强弱的一个度量，当 1)

8、,( YXR 时说 明随机变量 X 与 Y 之间 具有 很强的 线性关系 ，当 1),( YXR 时为正线性相关， 1),( YXR 时为负线性相关。 当 1),( YXR 时， 随机变量 X 与 Y 之间的线性相关程度将 随着 ),( YXR 的减小而减弱，当 0),( YXR 时， 意味着随机变量 X 与 Y 是不相关的。 例 1 设 随机变量 Z 服从 , 上的均匀分布，又 ZYZX c o s ,s in ，试求相关系数 ),( YXR 。 解 0c o s2 1)(,0s in2 1)( z d zYEz d zXE 21c o s)(,21s in2 1)( 2222 z d zY

9、Ez d zXE 0c o ss in21)( zd zzXYE 故 ,0),cov( YX 0),( YXR 相关系数 0),( YXR ，随机变量 X 与 Y 不相关，但是有 122 YX ，从而 X 与 Y 不独立 。 例 2 设二维随机变量 ),( YX 的联合概率分布如下： Y X 0 1 -1 0 1/3 5 0 1/3 0 1 0 1/3 试 证明 X 与 Y 不相关，但不 相互独立。 证 易知 X 与 Y 的边缘概率分布分别是 ： 由公式得 321310(31131031)1(31113100311)1(),c o v ( YX 03200 所以 X 与 Y 是不相关的。但是，

10、因为 31)0,0( p ， 913131)0()0( YX pp ， )0,0(p )0()0( YX pp 故 X 与 Y 不相互独立。 例 3 设二维随机变量 ),( YX 的概率密度函数为 1,0 1,1),(2222yx yxyxf 试 证明随机变量 X 与 Y 不相关，也不相互独立 。 证 由 于 D 关于 x 轴、 y 轴对称， 故 DDD x y d x d yXYEy d x d yYEx d x d yXE 0)(,0)(,0)( 因而 ,0),cov( YX 0),( YXR ， 即 X 与 Y 不相关 。 又由于 22 11()01Xxxfxx ， 22 11()01Yyyfxy ，显然在 1,1,1|),( 22 yxyxyx 上， )()(0),( yfxfyxf YX ，所以 X 与 Y 不相互独立 。 Y 0 1 )( iY yp 1/3 2/3 X -1 0 1 )( iX xp 1/3 1/3 1/3