1、 1 浅谈估算法在函数、数列中的应用 吕 跃 （湖北省沙市中学 434100） 胡耀宇 （ 湖北省监利一中 433300） 估算，顾名思义，估摸着计算，它的基本特点是对数值作适当的扩大或缩小，对图象作粗略的观察，从而对运算结果确定出一个范围，或作出一个估计 1.有人说：“估算，是在蜂拥而来的众多信息面前，迅速捕捉一批有用或关键信息的那种数学素质，它往往可以跳过繁冗的逻辑推理过程，直接给出结果，或将解题的关键一眼看穿” . 高中数学课程标准明确提出要注重提高学生的数学思维能力 ，并作为数学教育的基本目标之一 2.要提高学生空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，提高数学地提出
2、、分析和解决问题的能力 .新教材调整后的内容添加了算法这一模块，就体现了这样理念，可见运算能力作为学生的一项基本能力成为学生必备素质 .同样，近几年高考为体现新课程标准的要求，在函数、数列的运算能力中也特别注重了“估算”的考查，本文拟从四个方面谈谈肤浅的认识 . 1 特值引路，精打细算 例 1 (2007 年湖北卷理科 )已知 p 和 q 是两个不相等的正整数，且 q 2，则 1)n11(1)n11(limqpnA 0 B 1 C qpD 1q1p法 1：取 p=1,q=2, 2n2n1 n1l i m1)n11(1n11l i m2n2n ，选 C. 法 2：1n 1Cn 1Cn1CC1n
3、1Cn 1Cn1CClim1)n11(1)n11(limqqq22q1q0qppp22p1p0pnqpn 2 qpn1Cn1Cn1Cq n1Cn1Cn1Cplim1qqq23q2q1ppp23p2pn 一般化、特殊化和类比被并列地称为“获得发现的伟大源泉” .可见特殊化思想的重要性，本题取 p=1， q=2，不仅“四两拨千斤”，选出结果易如反掌，而且从中得到暗示 3，可沿着二项式定理展开的方向进行一般化的探求 . 例 2 (2006 福建卷文科 )已知二次函数 f(x)，不等式 f(x)1 时nnn22n1n0nn )n1(C)n1(Cn1CC)n11( = 2)n1(C)n1(C2 nnn2
4、2n n=1时， 2)111( 1，故 2)n11( 2 ， 2ln)n11ln( n (n=1时，取“ =” ) 取32 x x2)x(g,x1x1)x(g ，易知 0)x(g,)2,1(x 时 ， g(x) 递 增 ；)x(g,0)x(g,),2(x 时 递减 . .2ln16lneln41)2(g)x(g 4141 问题得证 . 本题参考解答是构造函数 ),1xln(xx)x(h 23 考查 h(x)在 ),0 递增，且4 h(0)=0.解法比上述别解更直接，但别解显示了掌握 3)n11(2 n 之后的另一种构造韵味 . 3 数形结合，胸有成竹 例 5 (2007 年厦门双十期末测试 )
5、函数1x k)x(f,0x,x )1xl n (1)x(f 时若恒成立，求正整数 k的最大值 . 法 1：当 0x)x(f)1x(k)x(f1x k,0x 对即时恒成立 . 设x )1xl n (1)1x()x(f)1x()x(g ，只需min)x(gk. 令 )x(g 2x1)1xln(1x 0 ，即 )x1ln(1x 设方程对应解为 x=x0，则 )x,0(x 0 时， )x(g,0)x(g 递减； ),x(x 0 ，,0)x(g g(x)递增 . 1xx )1xl n (1)1x()x(g)x(g 00 000m i n 其中， x0满足 )1xln(x 00 ， 下证 20, (2)
6、(3)0 故 2x03， )4,3(1x)x(g0m in ，由 1x)x(gk0min ， k的最大值是 3. 法 2： 0x0kx)1xl n (1)(1x()x(t),0x(1x k)x(f 对即恒成立，只需0)x(tmin 即可 . 令 )x(t,0)x(t),1e,0(x,1ex,0k2)1xln ()x(t 2k1k 当得递减；)x(t,0)x(t),1e(x 2k 递增 . 0ek)1e(t)x(t 2k2km i n 记 ,2k0e1)k(s,ek)k(s 2k2k 知 ,0e3)3(s,0e2)2(s 0 又 )k(s4k,0e4)4(s 2 时且 递减， 0)4(s)k(s
7、 5 k 的最大值是 3. 又象魔术师帽子中跑出来的两只兔子，无论是对 0)1xln (1x)x( 000 中的 x0的估计，还是 k0ek)k(s 2k 中 的取值，似乎都如从天而降 . 其实只要联想两个超越方程 )1xln(1x 00 和 0ek 2k 所对应的图象 (见图1，图 2)，思路就顺理成章了 .伟大数学家欧拉告诫我 们：数学这门学科，需要观察，也需要实验 . 4 直觉估算，难题亦易 例 6： (2007 湖北卷理科 )已知 m、 n为正整数 . (1)用数学归纳法证明：当 1x 时， mx1)x1( m ； (2)对于 n,.,2,1m,)21()3n m1(,21)3n 11
8、(,6n mnn 求证已知(3)求出满足 nnnn )3n()2n(43 的所有正整数 n. 解： (1)(2)略 . (3)当 6n 时，由 (2)可知 .n,2,1m,)21()3n m1( mn 分别以12 11)21()21(21)3n n1()3n 21()3n 11( nn2nnn 1)3n 3()3n 1n()3n 2n( nnn ，即 ,)3n()2n(43 nnnn 也就是方程无 6n 的解，故只需讨论 n=1,2,3,4,5,时的情形 . 当 n=1时， 34；当 n=2时， 222 543 当 n=3时， 3333 6543 ；当 n=4时， 44444 76543 当
9、n=5时， 555555 876543 综上，所求 n=2或者 n=3. 图 1 图 2 6 其理能懂，其法太妙，妙难想到！ 其实，本题利用直觉就可估算出结果，首先勾股数 222 543 ，就知道特殊值n=2可行，于是如法炮制求出 n=2,n=3， 但不至于一直验证下去呀？ 回头重新审题，会看到第 (2)问中条件 n6在前面的证明中用处不大；而第 (2)问与第 (3)问中 n+3 这个代数式的相同就产生了方程两边同时除以 (n+3)n 的变形想法，后面的不等式就不难想到了 . 估算在上述问题的解决中的确发挥了重要作用，甚至成为解决问题 的关键和灵感源泉 .在现今高考中，不再用繁琐的计算、机械的重复来考查学生的运算能力，代之以基本数学思想指导下的一题多解，同时兼顾对算理和逻辑推理的考查 4，这时“估算”往往成为“神来之笔”的推动力，成为不合情理中的合情推理手段 . 参考资料 1杨品方 用估算法对几何命题作判断，数学通讯 2004.9 2中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 人民教育出版社 2003.4 3G波利亚 怎样解题 科学出版社 1982 4田光利 如何提高学生的运算能力 数学通讯 2002.17 作者简 介 吕跃， (1968-)，男，湖北监利人，湖北省沙市中学高级教师。
