1、毕业设计开题报告 信息与计算科学 线性有限元法的稳定性和误差估计 一、综述本课题国内外研究动态 , 说明选题的依据和意义 每一项新技术的推出都是由于时代的迫切需要 , 而新技术的出现后也需要经历历史的重重考验 . 在上个世纪 40年代 , 由于航空事业的快速发展 , 对飞机内部结构设计提出了越来越高的要求 , 即重量轻、强度高、刚度好 , 人们不得不进行精确的设计和计算 . 正是在这一背景下 , 有限元分析的方法逐渐的发展起来 . 早期的一些成功的实验求解方法与专题论文 , 完全或部分的内容对有限元技术的产生做出的贡献 , 首先在 应用数学界第一篇有限元论文是 1943 年 Courant R
2、发表的 , 文中描述了他使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解 , 由于当时计算机尚未出现 , 这篇论文并没有引起应有的注意 .1956 年 , M.J.Turner (波音公司工程师 ), R.W.Clough (土木工程教授 ), H.C.Martin (航空工程教授 )及 L.J.Topp (波音公司工程师 ) 等四位共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强 度 的论文 , 文中把这种解法称为刚性法(Stiffness), 一般认为这是工程学界上 有限元法的开端 . 1960 年 , Ray Clough 教授在美国土木工程学会 (ASCE)会议上 , 发表一
3、篇名为 The Finite Element in Plane Stress Analysis 的论文 , 将应用范围扩展到飞机以外之土木工程上 , 同时有限元法 (Finite Element Method)的名称也第一次被正式提出 . 由此之后 , 有限元法的理论迅速地发展起来 , 并广泛地应用于各种力学问题和非线性问题 , 成为分析大型、复杂工程结构的强有力手段 . 并且随着计算机的迅速发展 , 有限元法中人工是难以完 成的大量计算工作能够由计算机来实现并快速地完成 . 因此 , 可以说计算机的发展很大程度上促进了有限元法的建立和发展 1 ,2 . 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展
4、做出了许多贡献 , 其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法 ） , 钱令希（余能原理） , 钱伟长（广义变分原理） , 胡海昌（广义变分原理） , 冯康（有限单元法理论） . 遗憾的是由于当时环境所致 , 我国有限元方法的研究工作受到阻碍 , 有限元理论的发展也逐渐与国外拉开了距离 . 20 世纪 60 年代初期 , 我国的老一辈计算科学家较早地将计算机应用于土木、建筑和机 械工程领域 .当时黄玉珊教授就提出了“ 小展弦比机翼薄壁结构的直接设计法 ” 和 “ 力法应力设计法 ” ; 而在 70 年代初期 , 钱1 令希教授提出了 “结构力学中的最优化设计理论与方法的近代发展 ”. 这些理论和方
5、法都为国内的有限元技术指明了方向 . 1964 年初崔俊芝院士研制出国内第一个平面问题通用有限元程序 , 解决了刘家峡大坝的复杂应力分析问题 . 20 世纪 60 年代到 70 年代 , 国内的有限元方法及有限元软件诞生之后 , 曾计算过数十个大型工程 , 应用于水利、电力、机械、航空、建筑等多个领域 3 ,4 . 本文的主要工作首先是讨论 两点边值问题 2 dd( ) ( ) , ,dd( ) 0 , ( ) 0 ,uL u p qu f x a x bxxu a u b 其中 1m in0( ) ( ) ,( ) , ( ) 0 ,( ) , ( ) 0 .f x C Ip C I p x
6、 pq C I q x 使用有限元方法求解的稳定性 . 这一部分 , 可以参考文献 5,6, 将上述问题变成等价的变分问题 相应的矩阵表达形式 bAU , 我们可以讨论 对有限元方程 bAU 的 系数矩阵、右端向量发生扰动对解向量的影响 , 特别地 ,当 A 对称时 ,取m inm ax)( Acond , 我们有结论 7 :存在正常数 C , 使得 2m in)( ChAcond , h 为剖分单元的步长 . 我们还可以对上述两点边值问题 , 讨论其有限元解法的收敛性 , 参考文献 7, 可得该问题的变分形式即为 求线性有限元解 )()( 1 IHVxu EhEh , 使 hEhhhh Vv
7、vfvua ),(),( , 其中 dd( , ) ( ) d ,dd( , ) d .b hhh h h habhhauva u v p q u v xxxf v f v x 我们可以得到 正交投影性质 hEhhh Vvvuua ,0),( , 以及最佳逼近性质 hh Vv hh vuuu 0in f1 , 2 其中 nk ehh kxuxuxuxu 1 2 ,121 )()()()( , 2 221,( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) dk kh h he eu x u x u x u x u x u x x , 特别地 , 参考文献 7,我们还可以得到 11
8、Ih uuCuu , hEI Vxu )( , 为 )(xu 的分段线性插值多项式 , 即满足插值条件 nkxuxu kkI )1(0),()( , 于是 , 我们 可以得到线性有限元解函数 )(xuh 与真解函数 )(xu 之间的误差在空间 1H 的范数意义下有如下误差估计式 8 ,9 011 uChuuCuu Ih , 其中 2 20 ( ( ) dbau u x x , 利用 Nitsche 技巧 , 可得误差估计式 020 uChuu h . 二、研究的基本内容 , 拟解决的主要问题 研究的基本内容 : 线性有限元方法的稳定性、误差 估计 解决的主要问题 : 1. 极小值问题 ,线性方
9、程组的求解问题以及 线性有限元方法的稳定性讨论 2. 广义函数与 Sobolev 空间的有关知识的准备 . 3. 线性有限元方法的误差估计 . 三、研究步骤、方法及措施 研究步骤 : 1. 查阅相关资料 , 做好笔记 ; 2. 仔细阅读研究文献资料 , 学习函数凸性在不等式中的应用过程 , 整理文献综述 ; 3. 翻译英文资料 , 修改英文翻译 , 撰写文献综述 ; 4. 在老师指导下 , 确定整个论文的思路 , 列出论文提纲 , 撰写文献综述 ; 5. 开题报告通过后 , 撰写毕业论文 ; 3 6. 上交论文初稿 ; 7. 反复修改论文 ; 8. 论文定稿 . 方法、措施 : 通过指导教师的
10、授课与课后指导 , 掌握论文撰写的基本材料 , 加强同组同学的相互讨论和研究 , 并有效的利用图书馆以及网络文献等资源 , 反复推敲 , 积极思考 , 每周保持与指导教师的邮件交流 , 充分发挥自己的主动性来解决问题 . 四、参考文献 1 R. A. Adams. Sobolev spaces M. Academic Press, New York, 1975. 2 李荣华 . 偏微分方程数值解法 M. 北京 : 高等教育出 版社 , 2005. 3 冯康 . 基于变分原理的差分格式 . 应用数学与计算数学 , 1965, 2(4):237261. 4 夏道行 , 吴卓人 , 严绍宗等 . 实
11、变函数论与泛函分析 M. 北京 : 高等教育出版社 , 1985. 5 Wu Haijun and Li Ronghua. Error estimate for finite volume element methods for general second elliptic problems, NM for PDE, 2002, 693708. 6 舒适 . 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析 . 内部讲义 , 2007, 568. 7 陈传淼 , 黄云清 . 有限元高精度理论 . 湖南科技出版社 , 1995. 8 A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162166. 9 李开泰 , 黄庆怀 . 有限元方法及其应用 . 科学出版社 , 2006.
