1、 本科毕业论文 （ 20 届） Bourgain 空间的性质 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 Bourgain 空间 是 为适应非线性发展方程低正则性 研究 的需要而由 Fields 奖获得者 J. Bourgain引进 的 . 由于 Bourgain空间和与此相伴的不动点格式的引进和运用 , 薛定谔和 KdV方程的适定性得到 了 极大的改进 . 这种方法自引进以来业已得到十分广泛的应用 , 例如 1-7. Bourgain 空间与相应的发展方程的线性结构密切相关 , 即不同的发展型偏微分方程对应于不同的 Bourgain 空间
2、, 此外 , 这类空间在具体应用中得到了推广 . 因此 , Bourgain 空间 是Lebesgue 空间 和 Sobolev 空间的推广 , 相比 较而言 , 复杂得多 , 它的性质 , 如插值、嵌入等性质不容易看出 . 本论文全面系统地研究了 Bourgain空间 的基本性质 , 从而 为它在偏微分方程中的应用奠定基础 . 最后 , 回顾了 mKdV方程低正则性研究的 Bourgain 方法 . 关键词 : Bourgain 空间 ; 发展方程 ; 嵌入性质 ; 插值性质 ; mKdV方程 II Properties of Bourgain Space Abstract Bourgain
3、 space was introduced by the Fields Prize winner J. Bourgain for adapting to the needs of low regularity of nonlinear evolution equations. As the introduction and application of Bourgain space and the fixed point format, the wellposedness of Schrodinger and KdV equations were greatly improved. Since
4、 this approach was introduced, it has been received a wide range of applications, such as 1-7. Bourgain space and the linear structure of the corresponding evolution equation are closely related. It denotes different type of developed partial differential equations correspond to different Bourgain s
5、pace. In addition, the forms of these spaces have been promoted in specific applications. Therefore, Bourgain space is the promotion of Lebesgue space and Sobolev space. Compared with them, Bourgain space is much more complex and its properties, such as interpolation and embedding are not easy to fi
6、nd out. This paper systematically studies the basic properties of Bourgain space and lays the foundation of its application in the partial differential equations. Finally, we review the mKdV equation with low regularity of the Bourgain method. Keywords: Bourgain space; Evolution equation; Embedding
7、properties; Interpolation properties; MKdV equationIII 目录 摘要 .I Abstract . II 1 前言 . 1 1.1 Bourgain空间的产生及发展 . 1 1.2 论文的组织结构 . 1 2 Bourgain 空间的定义 . 2 2.1 Bourgain空间的定义 . 2 2.2 广义 Bourgain空间的定义 . 3 3 与经典函数空间的关系 . 5 3.1 与 pL 空间的关系 . 5 3.2 与 Sobolev 空间的关系 . 5 4 Bourgain 空间的性质 . 7 4.1 嵌入性质 . 7 4.2 插值性质 .
8、 7 5 在 mKdV 方程局部适定性中的应用 . 9 5.1 广义 Bourgain空间上色散方程的局部适定性 . 9 5.2 mKdV 方程的局部适定性 . 14 6 小结 . 19 参考文献 . 20 致谢 .错误 !未定义书签。 1 1 前言 1.1 Bourgain空间的产生及发展 1993 年 Bourgain 在研究 Schrodinger 方程和 KdV方程的低正则性时引进了 Bourgain 空间 1 , 并在此基础上产生了一种适合于研究初值具有低正则性的局部适定性 -即初值在负指标 Sobolev 空间中的初值问题局部适定性 -的方法 , 现在一般称为 Bourgain 方
9、法 , 其主要思想是把工作空间由 ( 0 , , ( ) )s q ptxC T H L L型的函数空间替换为另一类含时 -空变元的函数空间 , 即所谓的 Bourgain 空间 2, ()sbX . 这种方法自引进以来得到 了 十分广泛的应用 17 . Bourgain 空间与相关的偏微分方程的线性部分 (象征 symbol)密切相关 . Schrodinger 方程和KdV方程 均为色散方程 , 其象征为纯虚数 . 此后 , 这种方法得到极大的改进 810 . 现在这个方法已被推广到一般的色散方程 , 例如KP 方程、 Kawahara 方程、 Ostrovsky 方程 , 以及各种色散方
10、程组 , 例如 Navier-Stokes 方程组、Maxwell 方程组、色散长波方程组 等 . 2001 年 -2002 年间 , Molinet, Ribaud 将 Bourgain 方法用于色散 耗散型方程的低正则适定性的研究 23 , 得到了 Bourgain 空间的推广形式 , 此时的 Bourgain 空间的定义中包含耗散项的信息 , 象征函数是复数 . 此 后 , 类似 于 Sobolev空间 ,2sW 和 ,spW 的定义方式 , Bourgain空间定义得到进一步推广 . Bourgain 空间 的原始定义是 基于 2L 模定义的 , 后来 Grnrock 基于 rL 模
11、推广了 这个定义 . 1.2 论文的组织结构 本论文主要研究 Bourgain 空间的性质及其在 mKdV 方程 局部适定性研究 中的应用 . 主要内容 安排 如下 在第一节 , 主要介绍 Bourgain 空间的引进及其发展 . 在第二节 , 介绍了 Bourgain 空间 的 定义 及 广义 Bourgain 空间的定义 . 在第三节 , 主要研究 Bourgain 空间的性质 , 包括 嵌入性质和插值性质 . 在第四节 , 把 Bourgain 空间与经典函数空间 : pL 空间、 Sobolev 空间放在一起研究 , 根据它们的范数定义找出它们之间的关系 . 在第 五 节 , 回顾 B
12、ourgain 空间在 mKdV方程 局部适定性 研究中的应用 . 2 2 Bourgain 空间的定义 2.1 Bourgain空间的定义 为了研究色散方程 ( ) 0tiu D u, 其中 , 10() nna a a , 1xDui, , 1, 2, iai . Bourgain 引进了与方程相关的新函数空间 1 , 人们称之为 Bourgain 空间 . 为介绍其定义 , 先给出相关的范数 定义 2.1 对于 , sb , 定义泛函,|sbX如下 12, 2 2 2d d ( ) ( , )sb sbXuu , 其中 , 21 , ( , ) ( , )d dix itu e e u
13、x t x t , 10() nna a a , ia , 1, 2, i . 定理 2.1 ,sbX是范数 . 证明 为证,sbX是范数 , 只需按照范数的定义证明三方面内容 1. 非负性 由,sbX的定义可知, 0sbXu , 当且仅当 2 2 2( ) ( , ) 0sb u 时 , , 0sbXu . 由于 1 , 故 ( , ) 0u , 当且仅 当 0u 时成立 . 2. 正齐性 利用傅里叶变换的线性性质 , 可以得到,s b s bXXuu. 3. 三角不等式 由于 22, 12 2 2 2 d d ( ) ( , ) ( ) ( , )sb s b s bX LLu u u .
14、 利用 Minkowski 不等式 , 有 2222 ( ) ( , ) ( ) ( , )s b s bLLLLfg 22 ( ) ( , ) ( , )sb LLfg 22 ( ) ( , ) ( , )sbLLfg , 3 即, , ,s b s b s bX X Xf g f g . 综上可知 , ,sbX是范数 . 定义 2.2 对于 , sbR , Bourgain 空间 ,sbX 定义为 2R 上的 Schwartz函数空间 S 关于范数,|sbX的完备化 . 综上可知 , ,sbX 是完备的赋范线性空间 . 2.2 广义 Bourgain空间的定义 Bourgain 空间从引进
15、至今 不断被推广 . 例如 , A. Grnrock 推广 Bourgain 空间的范数 到,| | rsbX的形式 , 即将原来,| | sbX的 2L 范数用 pL 范数代替 定义 2.3 对于 , sb , 1 r , 定义泛函,| | rsbX如下 1, d d ( ) ( , )rrsbrr s r bXuu , 其中 , 21 , ( , ) ( , )d dix itu e e u x t x t , 10() nna a a , , 1, 2, iai . 定理 2.2 ,rsbX是范数 . 证明 为证,rsbX是范数 , 只需按照范数的定义证明三方面内容 1. 非负性 有,r
16、sbXu的定义可知, 0rsbXu , 当且仅当 ( ) ( , ) 0rs rb ru 时 , , 0rsbXu . 由于 1 , 故 ( , ) 0u , 当且仅当 0u 时成立 . 2. 正齐性 利用傅里叶变换的线性性质 , 可以得到,rrs b s bXXuu. 3. 三角不等式 由于 1, d d ( ) ( , ) ( ) ( , )rr rrsb r s r b r s bX LLu u u . 利用 Minkowski 不等式 , 有 ( ) ( , ) ( ) ( , ) rrrrs b s b LLLLfg ( ) ( , ) ( , ) rrsb LLfg 4 ( ) (
17、 , ) ( , ) rrsb LLfg , 即, , ,r r rs b s b s bX X Xf g f g . 综上可知 , ,rsbX是范数 . 定义 2.4 对于 , sbR , 1 r , 广义的 Bourgain空间 ,rsbX 定义为 nR 上的 Schwar -tz 函数空间 1()nS 关于范数,|rsbX的完备化 . 综上可知 , ,rsbX 是完备的赋范线性空间 . 此外 , M. Otani 在 2中将 Bourgain 方法推广用于色散 -耗散方程 ( ) 0tiu D u, 其中 , 1 0 1 0( ) ( ) ( )nmnma a a i b b b , 1
18、xDui, , iiab , i 1, 2, . 以上述象征函数 () 代替原来的象征函数定义了有关的 Bourgain 空间 , 此处不赘述 . 5 3 与经典函数空间的关系 下面我们来研究 Bourgain 空间与经典函数空间 : pL 空间和 Sobolev 空间的关系 . 3.1 与 pL 空间的关系 定义 3.1 ()pnL 空间定义如下 ( ) ( ) : pp n p n LL f L f , 对于 1 p , 它的范数是 1( ) d pp pLf f x x , 对于 p , 它相应的范数是 0 in f s u p ( )L E EEf f x . 由此推广到时空可积空间范
19、数 1( , ) d dp pqpqxt qLLf f x t t x , 1( , ) d dp qqqptx pLLf f x t t x , 由此得到 1222,222 d d ( ) ( , ) ( ) ( , )sbs b s bXLLf f f . 3.2 与 Sobolev 空间的关系 定义 3.2 设 s 是非负实数 , 则定义 Sobolev 空间 ()sH 为 ( ) : sss HH f H f , 它相应的范数是 122 ( ) ds sHuu . 由此得到 6 , () sbs b x tX H Hu S t u, 其中 1 ( )() itxxS t F e F 是相应的线性方程的算子半群 .
