1、 本科毕业论文 （ 20 届） 两个重要的概率公式及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 概率论 同其他数学分支一样 , 是在一定的社会条件下 , 通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累 . 全概率公式和贝叶斯公 式是概率论中两个重要而实用的基础公式 . 在概率论计算中起着很重要的作用 . 本文介绍全概率公式和贝叶斯公式的概念和意义 , 分析了它们的区别与联系 , 举例说明它们的用法以及所适用的概型 . 由于解决实际问题的需要 , 对全概率公式和贝叶斯公式进行推广 , 举例说明推广后的公式在实际应用中适用范围更加广泛
2、 . 最后本文还结合实例说明了全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式在产品检验、医疗诊断和统计决策中的应用 . 关键词： 全概率公式 ; 贝叶斯公式 ; 推广形式 ; 统计决策 II Two Important Probability Formulas and Their Application Abstract With other branches of mathematics, probability theory is a kind of intellectual accumulation derivd from the practice of human society and prod
3、uction activities under a certain social conditions. Total probability formula and Bayesian formula are very important formula in the probability theory. They play a very important role in the calculation of probability theory. This article carefully analyzed the total probability formula and the Ba
4、yesian formula, and gave the examples to explain their usage and applicable model. In order to solve the actual problem, the total probability formula and the Bayesian formula were extended to illustrate the suitable model for the practical application with some examples; as a result, the extended f
5、ormulas are wider than the original ones. In order to use the total probability formula and the Bayesian formula and their extended formulas, it is so important to make clear that the mutual relationship between the sequence of events and set the exhaustive events properly. Moreover, some examples w
6、ere combined to explain the application of the total probability formula and the Bayesian formula and their extended formulas in product check, medical diagnosis and statistical decision. Keywords ： Total probability formula; Bayesian formula; Extended formula; Statistical decision III 目录 摘 要 .I Abs
7、tract . II 1 前言 . 1 2 全概率公式和贝叶斯公式 . 1 2.1 完备事件组 . 2 2.2 全概率公式的概念和意义 . 2 2.3 贝叶斯公式的概念和意义 . 3 2.4 全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别 . 5 3 全概率公式和贝叶斯公式的推广及应用 . 6 3.1 全概率公式的推广和应用 . 6 3.2 贝叶斯公式的推广和应用 . 9 3.3 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 . 10 4 小结 . 13 参考文献 . 14 致谢 . 15 1 1 前言 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科 , 起源于 17 世纪 , 发展到现在 , 已经深入到科学
8、和社会的一切领域 . 长期以来 , 在大批概率统计工作者的不懈努力下 , 概率统计的理论更加完善 , 应用更加广泛 , 形成了众多分支 , 在现代数学中占有重要的地位 . 它同其他数学分支一样 , 是在一定的社会条件下 , 通过人类的社会实践和生产 活动发展起来的一种智力积累 . 在过去半个世纪中 , 概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科 1. 从 17 世纪到现在 , 很多国家对 全概率公式和贝叶斯公式有了多方面的研究 . 长期以来 , 在大批概率统计工作者的不懈努力下 , 概率统计的理论更加完善 , 应用更加广泛 , 形成了很多分支 ,
9、其中贝叶斯公式于 1763 年由贝叶斯（ Bayes）给出 , 他是在观察到事件已发生的条件下 , 寻找导致事件发生的每个原因的概率 . 贝叶斯公式在实际生活中有广泛的应用 , 它可以帮助人们确定某 一事件发生的最可能原因 2. 社会飞速发展 , 市场竞争日益激烈 , 决策者必须综合考察以往的信息以及现状 , 从而做出更符合实际情况的综合判断 , 概率论在决策分析中越来越显示其重要性 , 其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率 , 是进行统计决策的重要工具 . 概率论对医学的渗透已成为现代医学领域的显著特征 , 充分利用好全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式 , 对医学问题定量描述与分析
10、, 使其诊断结论更具可信性 , 这就更有利于对病人的对症治疗 . 利用这两个公式及其推广形式解决投资、保险和工程中一系列不确定问题 3于进一步研究多个随机过程中目标事件及其条件下各诱发事件的概率 , 能 更准确地把握随机事件之间相互影响关系 , 为生产实践提供更有价值的决策信息 . 这两个公式的灵活运用将为我们解决问题带来很大的便利 , 而这两个公式的推广形式将进一步拓宽适用范围 , 使得我们更加有效地解决更复杂的问题 . 本文首先介绍了全概率公式和贝叶斯公式的概念和意义 , 分析了它们的区别与联系 , 举例说明它们的用法以及所适用的概型 . 出于解决实际问题的需要 , 将全概率公式和贝叶斯公
11、式进行推广 , 应用例子说明推广后的公式在实际应用中适用范围更加广泛 . 最后本文还结合实例说明了全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式在实际问题中的应用 . 2 2 全概率公式和贝叶斯公式 2.1 完备事件组 在了解全概率公式之前 , 需要理解完备事件组的概念 . 如果 n 个事件 nAA ,1 满足下列两个条件： （ 1） nAA ,1 两两互不相容 ; （ 2） nAA 1 , 则称这 n 个事件 nAA ,1 构成样本空间 的一个划分 , 也称构成一个完备事件组 2. 2.2 全概率公式的概念和意义 概率的计算是一个很重要的问题 , 全概率公式是概率论中很重要的一个公式 , 在 概率 论的
12、计算中起着重要的作用 1,2,4. 下面介绍一下全概率公式 . 设随机试验的样本空间为 , C 为试验的一个事件 , A 为试验的一个事件 , nBBB , 21 为样本空间 的一个划分 , 且 ),2,1(0)( niAP i , 则有 )|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP . 在这个全概率公式中 , 事件组 nBBB , 21 是事件 A 产生的原因 , 事件 A 是诸原因nBBB , 21 产生的结果 . 在利用这个公式的时候 , 一是要知道诸原因 nBBB , 21 发生的可能性 , 即 ),2,1)( niBP i , 二是要知道每个
13、原因发生的情况下 , 结果 C 的可能性大小 , 即 ),2,1)(|( niBAP i . 要特别注意的是要把产生结果 A 的原因全部找出来 , 一个也不能少 , 这也就是称其为全概率公式的理由 . 总的来说 , 全概率适用于“原因 结果”的概型 . 全概率公式的意义在于 , 对于事件 C , 无法直接求出它的概率 , 我们就想把 C 分成几 个小事件 , 通过求小事件的概率 , 然后将它们相加从而得到事件 C 的概率 . 而将事件 C 进行分割的时候不是直接对 C 进行划分的 , 而是先找到样本空间 的一个划分 nAAA , 21 这样事件 A 就被事件 nABABAB , 21 分成了
14、n 部分 , 即 nCACACAC 21 . 那么由加法公式便有 3 )()()()( 21 nABPABPABPAP )|()()|()()|()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBP . 2.3 贝叶斯公式的概念和意义 在日常生活中 , 我们会遇到一些由因求果的问题 , 也会遇到许多由果溯因的问题 , 比如寻找传染病的传染源 ; 机器发生故障寻找故障源等就是典型的由果溯因问题 . 在一定条下 , 这类由果溯因问题可通过贝叶斯公式来求解 1,2,4. 贝叶斯公式有以下几种表现形式 : （ 1） 随机事件形式的贝叶斯公式 设 nBBB , 21 是样本空间 的一个划分 , 即 ,1
15、 ni iB 且 ),(0)(, jiBPBB iji ,2,1;,2,1 njni , 则对任意事件,A 且 0)( AP ,有 ),2,1()|()()|()()|(1niBAPBPBAPBPABPnj jjiii , 其中 )|()()(1nj jj BAPBPAP, 即全概率公式 . （ 2） 随机变量形式 设参数 已知时 , 样本 X 的分布密度为 ),|( xf 的先验密度为 )(p , 则已知样本X 后 , 参数 的后验密度为： dxfp xfpxh )|()( )|()()|( )1.2( 贝叶斯公式、参数 的后验密度公式 (2.1)以及贝叶斯假设共同构成了贝叶斯统计的起点 .
16、 设 X , Y 为离散型随机变量 , 其取值分 别为 ),2,1,(, jiba ji ,于是 1)|()()|()|(m mjmijiji aXbYPaXPaXbYPaXPbYaXP ） 4 1)|()()|()|(n ninjijij bYaXPbYPbYaXPbYPaXbYP ） 连续型随机变量为 : 设 X , Y 为为连续型随机变量 , ),( yxf 为联合概率密度 , )(),( yfxf YX 为 X , Y 为的边缘密度 , )|(),|( | xyfyxf XYYX 为 yY 时 X 的条件密度和 xX 时 Y 的条件密度 , 于是 dxxfxyf xfxyfyf xfx
17、yfyxf XXY xXYY XXYYX )()|( )()|()( )()|()|( |, dyyfyxf yfyxfxf yfyxfxyf YYX YYXX YYXXY )()|( )()|()( )()|()|( |. 混合型随机变量为 : 设 X 为离散型随机变量 , 其取值为 , 21 aa 于是 X 在 ia 的密度等于在 ia 的概率 , 即)()( iiX aXPaf . Y 为连续型随机变量 , 密度为 )|(),|(),( | iXYiYXY ayfyafyf 为yY 时 X 的条件概率和 iaX 时 Y 的条件密度 , 于是 1 | )()|()()|()|(j jXjX
18、YiXiXYiYX afayfafayfyaf , 1 | )()|( )()|()|( j YiYX YiYXiXY dyyfyaf yfyafayf. 本文主要研究的是随机事件的贝叶斯公式 . 2.4 全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别 贝叶斯公式是一个“由果求因”的公式 , 它与全概率公式不同 5,6, 它的意义在于 : 设事件 A 已发生 , 我们需要判断引起 A 发生的“原因” . 如果已知 A 发生的可能“原因”共有 n个 nBBB , 21 , 且两两不相容 , 我们希望知道条件概率 )|( ABP i . 在实际应用中 , 我们要求出每一个 )|( i ABP ),2,1( n
19、i , 然后找出其中最大的一个 )|( ABP i , 则 iB 就是引起事件 A 发生的最可能的 “原因” . )(AP 可以用全概率公式展开 为 5 )()|()()|()()|()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP , 贝叶斯公式表示成 : )()|()()|()()|(/()()|()|( 2211 nniii BPBAPBPBAPBPBAPBPBAPABP ; 通 常 将 )( iBP 称为先验概率 , 也 叫基础概率 , 它们反映了各种“原因”发生的可能性大小 , 是以往经验总结 , 在事件 A 发生以前就是已知的 ; )|( ABP i 称为后验概率 , 它们
20、 反 映 A 发生以后 , 对各种“原因”发生可能性大小的新认识 . 6 3 全概率公式和贝叶斯公式的推广及应用 3.1 全概率公式的推广及应用 当一个复杂事件的发生与一系列互不相容事件有关 , 而这些事件自身 并不构成样本空间 , 添加某些事件后才构成样本空间的分割 , 而这些事件对复杂事件的发生没有影响时 , 可将全概率公式作以下推广 7,8,9,10. 定理 3.1 设 nAAA , 21 是一列事件 , 添加 mCCC , 21 后 , 其自身构成样本空间 的一个划分 , ),2,1(0)( niAP i , 则对任一事件 B , 当),2,1(0)|( mkCBP k , 时 有 i
21、mi i ABPAPBP |1证明 mni i BCBCBCBABB 1 21, mk kni i BCPBAPBP 11 ni mk kkii CBPCPABPAP1 1 |)(| ni ii ABPAP1 |. 例 3.1 设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击 , 每人击中目标的概率为 p , 一人击中目标被摧毁的概率是 p , 两人击中目标被摧毁的概率是 2p , 三人击中目标被摧毁的概率是 3p , 求目标被摧毁的概率 . 解 令 B =“目标被摧毁” , iA =“有 i 个人击中目标” )3,2,1( i , 则有 ,31,31 2223222131 qpppCAPpqpCAP 33 pAP , 其中 , .1 pq 虽然 321 , AAA 不构成样本空间 的一个分割 , 但添加 C =“三人均未击中目 标”后就构成样本空间 的一个分割 , 而 0)|( CBP . 于是 , 得到 :
