1、 本科毕业论文 （ 20 届） 致凸 Banach空间中渐近非扩张映的 Mann和 Ishikawa迭代格式的强敛定理 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析的理论和应用的一个重 要组成部分 , 它在微分方程 , 积分方程 , 力学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 目前有关非线性算子的收敛定理的研究是近年来非线性分析理论非常活跃的研究热点问题 , 其中 渐近非扩张映像是一类非常重要的非线性映像 . 本文将主要通
2、过 构造 一致凸 Banach 空间中 渐近非扩张映像 修正的 Mann 迭代格式和修正的 Ishikawa迭代格式 , 以及渐近非扩张映像具有误差的修正的 Mann迭代格式和具有误差的修正的 Ishikawa迭代格式 来研 究渐近非扩张映像的 Mann和 Ishikawa迭代格式的强收敛定理 . 全文共分四章 , 第一章前言 介绍了非线性算子不动点理论的研究概况及本文的主要工作 . 第二章研究了 渐近非扩张映像修正的 Mann迭代格式和修正的 Ishikawa迭代格式的强收敛定理 . 第三章研究了渐近非扩张映像具有误差的修正的 Mann 迭代格式和具有误差的修正的 Ishikawa迭代格式的
3、强收敛定理 . 第四章总结了本文的主要工作 . 关键词 : 渐近非扩张映像 ; Mann迭代格式 ; Ishikawa迭代格式 ; 具有误差的修正的 Mann迭代格式 ; 具有误差的修正的 Ishikawa 迭 代格式 II Strong Convergence Theorems for Mann and Ishikawa Iterative Schemes for Asymptotically Nonexpansive Mappings in Uniformly Convex Banach Spaces Abstract Nonlinear operator equations are be
4、long to the areas of the nonlinear functional analysis, and have wide applications in the fields of the differential equations, integral equations, mechanics, control theory, game theory, economic equilibrium theory, transportation, social and economic models and many other aspects. At present, the
5、study of iterative approximation of fixed points for nonlinear operators is a very active question in nonlinear functional analysis, and asymptotically nonexpansive mappings are a very important class of nonlinear mappings. In this thesis, strong convergence theorems for Mann and Ishikawa iterative
6、schemes for asymptotically nonexpansive mappings are considered in uniformly convex Banach spaces by giving the modified Mann and the modified Ishikawa iterative schemes, the modified Mann and the modified Ishikawa iterative schemes with errors. This thesis includes four chapters. In chapter 1, the
7、history of fixed points of nonlinear operator and iterative algorithms are recalled, a summary of this work are given. In chapter 2, some strong convergence theorems for asymptotically no nexpansive mappings are discussed by giving the modified Mann and the modified Ishikawa iterative schemes. In ch
8、apter 3, some strong convergence theorems for asymptotically nonexpansive mappings are considered by giving the modified Mann and the modified Ishikawa iterative schemes with errors. In chapter 4, a summary of this thesis are given. Keywords: Asymptotically nonexpansive mappings; Mann iterative sche
9、mes; Ishikawa iterative schemes; the modified Mann iterative schemes with errors; the modified Ishikawa iterative schemes with errors III 目录 摘要 . I Abstract . II 1 前言 .1 2 渐近非扩张映像 修正 的 Mann和 修正的 Ishikawa迭代格式 的 强收敛定理 .3 2.1 预备知识 .3 2.2 渐近非扩张映像修正的 Mann迭代格式的强收敛定理 .4 2.3 渐近非扩张映像修正的 Ishikawa迭代格式强收敛定理 .7
10、3 渐近非扩张映像具有误差 的 修正的 Mann和具有误差 的 修正的 Ishikawa迭代格式的强收敛 定理 . 13 3.1 预备知识 .13 3.2 渐近非扩张映像具有误差的修正的 Mann迭代格式的强收敛定理 .16 3.3 渐近非扩张映像具有误差的修正的 Ishikawa迭代格式的强收敛定理 .19 4 小结 .23 参考文献 .24 致谢 . 错误 !未定义书签。 1 1 前言 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分 , 它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分 , 而且在微分方程 , 积分方程 , 力学 , 控制论 , 对策论 ,
11、 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 因此 , 研究非线性算子方程解的存在性及迭代算法 理论不仅具有重要的理论意义 , 而且也具有重要的应用价值 . 而非线性算子方程的解往往可以转化为某个非线性算子的不动点问题 , 进而研究非线性算子的收敛定理 , 这在建立各类方程解的存在唯一性问题中起着重要的作用 . 最近二三十年来 , 由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力 , 这门学科的理论及应用研究已取得重要的进展 , 并且日趋完善 . 而非线性算子的类型很多 , 其中非扩张映像与渐近非扩张映像 1 是两类非常重要的非线性映像 . 非扩张映像是压缩映像的一种
12、推广 , 在求解方 程的不动点的问题上起到很重要的作用 , 它在近代数学许多分支都有应用 , 特别是在非线性半群 , 遍历定理和单调算子理论方面有着重要的应用 . 渐近非扩张映像是非扩张映像的推广 , 由 Goebel和 Kirk 2 于 1972年首次提出 . 非扩张映像和 渐近非扩张映像 在求解方程的不动点的问题上都起到了很重要的作用 . 非线性映像的不动点的寻求是学者们一直所关心的问题 , 而对于 一些具体的 非线性算子方程不动点的求解是十分困难的 . 因此 , 数学家们通过构造迭代序列去逼近不动点来求解这些方程 , 其中 Picard 给出了最早的迭代序列 . 之后 Mann3 于 1
13、953 年提出了 Mann 迭代格式 . Ishikawa4 于 1976 年推广了 Mann 迭代格式 , 提出了 Ishikawa 迭代格式 . 1999 年 , M. O. Osilike 和 S. C. Aniagbosor5 证明了 T 的不动点的迭代逼近的强 弱 收 敛定理 . 近年来 , 很多专家学者致力于研究修正的 Mann 和 Ishikawa 迭代格式以及相关定理 , 并且取得了一定的研究成果 . 1991 年 , Schu6 介绍了修正的 Mann 迭代方法和修正的 Ishikawa迭代方 法 . 同年 , Schu7 证明了渐近非扩张映像的强弱收敛定理 . 1994年
14、, Tan和 Xu8 在一致凸 Banach 空间上建立了渐近非扩张映像的 Mann 和 Ishikawa 迭代格式的弱收敛定理 . 借助于 Xu9 的不等式 , Rhoades10 在 1994 年将 Schu 的定理推广到了更一般的一致凸 Banach 空2 间中 . 1998 年 , Xu11 介绍了另一种更令人满意的具有误差的 Mann 和 Ishikawa 迭代 方 法 . 1999 年 , Huang12 把 Rhoades 的结果推广到具有误 差的修正的 Mann 和 Ishikawa 迭代 方 法 . 2003年 , 苏永福 13 在 一致凸 Banach空间中得到了闭凸集上渐
15、近非扩张映像 Ishikawa迭代收敛定理 , 并减弱了参数条件 . 本文将通过构造一致凸 Banach 空间中渐近非扩 张映像修正的 Mann 迭代格式和修正的Ishikawa 迭代格式 , 以及渐近非扩张映像具有误差的修正的 Mann 迭代格式和具有误差的修正的 Ishikawa 迭代格式来研究渐近非扩张映像的 Mann 和 Ishikawa 迭代格式的强收敛定理 . 3 2 渐 近非扩张映像修正的 Mann和 修正的 Ishikawa 迭代格式的强收敛定理 2.1 预备知识 渐近非扩张映像是非扩张映像的推广 . 近几十年来 , 关于渐近非扩张映像的收敛问题已经被许多学者所研究 , 并构造
16、了一些迭代序列来研究其收敛性 . 2003 年 , Zhou14 使用新的技巧在一致凸 Banach空间中证明了 Mann迭代格式的强收敛定理 . 2004年 , 姚永红和陈汝栋 15通过使用新的分析技巧 , 进一步研究了一致凸 Banach 空间中 Ishikawa 迭代格式的强收敛定理 . 所得结果改进了 Schu, Rhoades, Liu和 Xue以及其他作者的相关结果 . 受他们思想的启发 , 本章的主要工作是通过构造渐近非扩张映像修正的 Mann和 修正的 Ishikawa迭代格式来研究渐近非扩张映像的强收敛定理 . 以下是本章证明中所要用到的定义及引理 . 定义 2.115 设
17、E 是 一致凸 Banach 空间 , K 是 E 的非空子集 , 映像 :T K K 称为渐近非扩张的 , 如果存在序列 1n nk , 1nk 且 lim 1nn k , 使得 nnnT x T y k x y 对所有的 ,xy K 和所有的 nN . 定义 2.216 设 E 是线性赋范空间中的非空子集 , N 是自然数集 . :T K K 称为一致 L-Lipschitzian 映像 , 若有常数 0, ,L x y E 及 nN , 有 nnT x T y L x y . 定义 2.317 设 K 是 X 的闭子集 , 称映像 :T X X 是半紧的 , 如果 K 中满足 0 nnx
18、 Tx n 的 任何有界序列 nx 都有收敛子列 . 定义 2.46 设 E 是线性赋范空间 , K 是 E 的非空凸子集 , 下面的迭代 格式 11 ,1 , 1 ,nn n n n nxKx t x t T x n 称为修正的 Mann 迭代 格式 , 其中 nt 是 0,1 中的序列 . 定义 2.56 设 E 是线性赋范空间 , K 是 E 的 非空凸子集 , 下面的迭代 格式 4 11,1 , 1 ,1 , 1 .nn n n n nnn n n n nxKx t x t T y ny s x s T x n 称为修正的 Ishikawa 迭代 格式 , 其中 nt ,ns 是 0,
19、1 中的序列 . 引理 2.118 设 E 是一致凸 Banach 空间 , nt 是满足 0 1, 1na t b n 的实序列 , 对于一些 , 0,1ab 和一些 0d , 以及 E 中的两个实序列 ,nnxy满足 l i m s u p , l i m s u pnnnnx d y d , lim 1n n n nn t x t y d , 则 lim 0nnn xy . 引理 2.26 设 ,nnab是非负实数列 , 满足不等式 1 1 , 1n n na b a n , 若0 nn b , 则 limnn a存在 . 引 理 2.36 设 K 是线性赋性空间 E 的非空闭凸子集 ,
20、 :T K K 一致 L-Lipschitzian映像 . 对任意给定的 1xK 和实数列 , 0, 1nnts , nx 是下式定义的修正的 Ishikawa迭代 格式 1 1 , 1 ,1 , 1 .nn n n n nnn n n n nx t x t T y ny s x s T x n 则对于所有的 2n , 21 1 3 2n n n nT x x c c L L L , 其中 nn n nc T x x. 2.2 渐近非扩张映像修正的 Mann迭代格式的强收敛定理 定理 2.1 设 K 是线性赋范空间 E 的非空闭凸子集 , :T K K 是不动点集()FT 的渐近非扩张映像且序
21、列 1,nk , 使得 lim 1nn k , 1 1nn k . 设5 nxK 是由下 式 定义的修正的 Mann 迭代 格式 1 1 , 1nn n n n nx t x t T x n , 则 ()i lim nn xp 存在 , ;p F T ()ii lim ,nn d x F T 存在 . 证明 p F T , 由 Mann 迭代 格式 有 1 1 nn n n n nx p t x p t T x p 1 n n n n nt x p t k x p 11n n nt k x p . 由1( 1)n nk 及 引理 2.2, 可知 lim nn xp 存在 , p F T . 同
22、理可知 ()ii 成立 . 定理 2.2 设 K 是一致凸 Banach 空间 E 的非空闭凸子集 , :T K K 是不动点集()FT 的渐近非扩张映像且序列 1,nk , 使得 lim 1nn k , 1 1nn k . 设 nxK 是由下 式定义 的修正的 Mann 迭代 格式 1 1 , 1nn n n n nx t x t T x n , 其中 0,1nt 满足 10 1, 1ntn , 则 lim in f 0nnn x Tx . 证明 由于 T 是渐近非扩张的 , 可以得到 n n n nT x p k x p , 由定理 2.1, 可知 limnn x p d 存在 (不妨设
23、0d )和 nxp 有界 . 而 jnnxx, 则lim sup jnj x p d . 又因为j j j j jn n n n nT x p k x p k d , lim 1nn k . 同理可得 lim s u p j jn nj T x p d . 6 因为 nx 是 Mann 迭代 格式 , 即得 l im | ( ) (1 ) ( ) |jj j j jnn n n nj t T x p t x p l im (1 )j j j j jn n n n nj t x p t k x p l i m 1 1j j jn n nj t k x p lim jnj x p d , 由引理
24、2.1 可以得到 l im | ( ) ( ) | l im | | 0jjj j j jnnn n n njjT x p x p T x x . 记 , in fn n n n nnu x T x v u . 由上式可得 , 0, 存在自然数 k , 使得当 jk 时 , 取 ,kNn 故当 nN 时 , 有 knnvu, 由 的任意性可知 , 定理 2.2 的结论成立 . 在 K 中不动点集 ()FT 的映像 :T K K 称为关于 K 满足条件 A , 如果存在不减的函数 : 0 , 0 , , 0 0 , 0 , 0f f f r r , 使得 ,x T x f d x F T x K
25、 . 定理 2.3 设 K 是一致凸 Bnanch 空间 E 的非空闭凸子集 , :T K K 是不动点集()FT 的渐近非扩张映像且 序列 1,nk , 使得 lim 1nn k , 1 1nn k . 设 nxK 是由下 式 定义的修正的 Mann 迭代 格式 1 1 , 1nn n n n nx t x t T x n , 其中 0,1nt 满足 10 1, 1ntn . 如果 T 关于序列 nx 满足条件 A , 则由上 式 定义的 修正的 Mann 迭代 格式 nx 强收敛到 T 的不动点 . 证明 由定理 2.1 及条件 A , 得到 lim in f , 0nn f d x F T ,
