1、 1 第 2 讲 两条直线的位置关系 【 2013 年高考会这样考】 1考查两直线的平行与垂直 2考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式 【复习指导】 1对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系 2熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离 基础梳理 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、 l2，其斜率分别为 k1、 k2，则有 l1 l2k1 k2，特别地，当直线l1、 l2的斜率都不存在时， l1与 l2的关系为 平行 (2)两条直线垂直 如果两条直线 l
2、1、 l2的斜率存在，设为 k1、 k2，则 l1 l2k1k2 1. 如果 l1、 l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时， l1与 l2的关系为 垂直 2两直线相交 交点：直线 l1： A1x B1y C1 0 和 l2： A2x B2y C2 0 的公共点的坐标与方程组 A1x B1y C1 0，A2x B2y C2 0 的解一一对应 相交 方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解； 平行 方程组 无解 ； 重合 方程组有 无数个解 3三种距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)间的距离公式 |P1P2| x1 x2 2 y1 y2
3、2. 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x， y)的距离 |OP| x2 y2. (2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax By C 0 的距离 d |Ax0 By0 C|A2 B2 . (3)两条平行线 Ax By C1 0 与 Ax By C2 0 间的距离为 d |C1 C2|A2 B2. 一条规律 2 与直线 Ax By C 0(A2 B20) 平行、垂直的直线方程的设法： 一般地，平行的直线方程设为 Ax By m 0；垂直的直线方程设为 Bx Ay n 0. 两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，
4、若直线无斜率时，要单独考虑 (2)在运 用两平行直线间的距离公式 d |C1 C2|A2 B2时，一定要注意将两方程中的 x， y 系数化为分别相等 三种对称 (1)点关于点的对称 点 P(x0， y0)关于 A(a， b)的对称点为 P(2 a x0,2b y0) (2)点关于直线的对称 设点 P(x0， y0)关于直线 y kx b 的对称点 P( x ， y) ， 则有 y y0x x0 k 1，y y02 kx x02 b，可求出 x ， y. (3)直线关于直线的对称 若已知直线 l1与对称轴 l 相交，则交点必在与 l1对称的直线 l2上，然后再求出 l1上任一个已知点 P1关于对
5、称轴 l 对称的点 P2，那么经过交点及点 P2的直线就是 l2； 若已知直线l1与对称轴 l 平行，则与 l1对称的直线和 l1分别到直线 l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出 l1的对称直线 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )直线 ax 2y 1 0 与直线 2x 3y 1 0 垂直，则 a 的值为( ) A 3 B 43 C 2 D 3 解析 由 a2 23 1，得： a 3. 答案 D 2原点到直线 x 2y 5 0 的距离为 ( ) A 1 B. 3 C 2 D. 5 解析 d | 5|1 22 5. 答案 D 3 3 (2012 银川月考 )过点 (1
6、,0)且与直线 x 2y 2 0 平行的 直线方程是 ( ) A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y 1 0 解析 所求直线与直线 x 2y 2 0 平行， 所求直线斜率 k 12，排除 C、 D.又直线过点(1,0)，排除 B，故选 A. 答案 A 4点 (a， b)关于直线 x y 1 0 的对称点是 ( ) A ( a 1， b 1) B ( b 1， a 1) C ( a， b) D ( b， a) 解析 设对称点为 (x ， y) ，则 y bx a 1，x a2 y b2 1 0，解得： x b 1， y a 1. 答案 B 5平行线 l1：
7、 3x 2y 5 0 与 l2： 6x 4y 3 0 之间的距离为 _ 解析 直线 l2变为： 3x 2y 32 0，由平行线间的距离公式得： d 5 3232 22 132 . 答案 132 考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用 【例 1】 (1)已知两条直线 y ax 2 和 y (a 2)x 1 互相垂直，则实数 a _. (2)“ ab 4” 是直线 2x ay 1 0 与直线 bx 2y 2 0 平行的 ( ) A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 审题视点 (1)利用 k1 k2 1 解题 (2)抓住 ab 4 能否得到两直线平 行，反之两直
8、线平行能否一定得 ab 4. 解析 (1)由题意知 (a 2)a 1，所以 a2 2a 1 0，则 a 1. (2)直线 2x ay 1 0 与直线 bx 2y 2 0 平行的充要条件是 2a b2且 1a 1，即 ab 4 且 a1 ，则 “ ab 4” 是 “ 直线 2x ay 1 0 与直线 bx 2y 2 0 平行 ” 的必要而不充分条件 4 答案 (1) 1 (2)C (1)充分掌握两直线平行与垂直 的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1和 l2， l1 l2k1 k2， l1 l2k1 k2 1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别
9、注意 (2) 若直线 l1和 l2有斜截式方程 l1： y k1x b1， l2： y k2x b2，则：直线 l1 l2的充要条件是 k1 k2 1. 设 l1： A1 x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0. 则： l1 l2A1A2 B1B2 0. (3)注意转化与化归思想的应用 【训练 1】 已知直线 l1： x my 6 0， l2： (m 2)x 3y 2m 0，求 m 的值，使得： (1)l1与 l2相交； (2)l1 l2； (3)l1 l2； (4)l1， l2重合 解 (1)由已知 13 m(m 2)，即 m2 2m 30 ， 解得 m 1 且 m3. 故
10、当 m 1 且 m3 时， l1与 l2相交 (2)当 1( m 2) m3 0，即 m 12时， l1 l2. (3)当 13 m(m 2)且 12 m6( m 2)或 m2 m36 ，即 m 1 时， l1 l2. (4)当 13 m(m 2)且 12 m 6( m 2)，即 m 3 时， l1与 l2重合 考向二 两直线的交点 【例 2】 求经过直线 l1： 3x 2y 1 0 和 l2： 5x 2y 1 0 的交点，且垂直于直线 l3： 3x 5y 6 0 的直线 l 的方程 审题视点 可先求出 l1与 l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解 解 法一 先解方程组 3x 2y
11、1 0，5x 2y 1 0， 得 l1、 l2的交点坐标为 ( 1,2)， 再由 l3的斜率 35求出 l 的斜率为 53， 于是由直线的点斜式方程求出 l： y 2 53(x 1)，即 5x 3y 1 0. 法二 由于 l l3，故 l 是直线系 5x 3y C 0 中的一条，而 l 过 l1、 l2的交点 ( 1,2)， 故 5( 1) 32 C 0，由此求出 C 1， 故 l 的方程为 5x 3y 1 0. 法三 由于 l 过 l1、 l2的交点，故 l 是直线系 3x 2y 1 (5x 2y 1) 0 中的一条， 5 将其整理，得 (3 5 )x (2 2 )y ( 1 ) 0. 其斜
12、率 3 52 2 53，解得 15， 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x 3y 1 0. 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是： Ax By m 0(m R 且 m C)； (2)与直线 Ax By C 0 垂直的直线系方程是 Bx Ay m 0(m R)； (3)过直线 l1： A1x B1y C1 0 与 l2： A2x B2y C2 0 的交点的直线系方程为 A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0( R)，但不包括 l2. 【训练 2】 直线 l 被两条直线 l1： 4x y 3 0 和 l2：
13、3x 5y 5 0 截得的线段的中点为P( 1,2)，求直线 l 的方程 解 法一 设直线 l 与 l1的交点为 A(x0， y0)，由已知条件，得直线 l 与 l2的交点为 B( 2 x0,4 y0)，并且满足 4x0 y0 3 0， 2 x0 y0 5 0， 即 4x0 y0 3 0，3x0 5y0 31 0， 解得 x0 2，y0 5， 因此直线 l 的方程为 y 25 2 x 2 ，即 3x y 1 0. 法二 设直线 l 的方程为 y 2 k(x 1)，即 kx y k 2 0. 由 kx y k 2 0，4x y 3 0， 得 x k 5k 4 . 由 kx y k 2 0，3x
14、5y 5 0， 得 x 5k 155k 3 . 则 k 5k 4 5k 155k 3 2，解得 k 3. 因此所求直线方程为 y 2 3(x 1)，即 3x y 1 0. 法三 两直线 l1和 l2的方程为 (4x y 3)(3x 5y 5) 0， 将上述方程中 (x， y)换成 ( 2 x,4 y)， 整理可得 l1与 l2关于 ( 1,2)对称图 形的方程： (4x y 1)(3x 5y 31) 0. 整理得 3x y 1 0. 考向三 距离公式的应用 【例 3】 (2011 北京东城模拟 )若 O(0,0)， A(4， 1)两点到直线 ax a2y 6 0 的距离相6 等，则实数 a _
15、. 审题视点 由点到直线的距离公式列出等式求 a. 解析 由题意，得 6a2 a4 |4a a2 6|a2 a4 ，即 4a a2 6 6 ，解之得 a 0 或 2 或 4 或6. 检验得 a 0 不合题意，所以 a 2 或 4 或 6. 答案 2 或 4 或 6 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离 【训练 3】 已知直线 l1： mx 8y n 0 与 l2： 2x my 1 0 互相平行，且 l1， l2之间的距离为 5，求直线 l1的方程
16、解 l1 l2， m2 8m n 1， m 4，n 2 或 m 4，n2. (1)当 m 4 时，直线 l1的方程为 4x 8y n 0，把 l2的方程写成 4x 8y 2 0. |n 2|16 64 5，解得 n 22 或 n 18. 所以，所求直线的方程为 2x 4y 11 0 或 2x 4y 9 0. (2)当 m 4 时，直线 l1的方程为 4x 8y n 0， l2的方程为 2x 4y 1 0， | n 2|16 645，解得 n 18 或 n 22. 所以，所求直线的方程为 2x 4y 9 0 或 2x 4y 11 0. 考向四 对称问题 【例 4】 光线从 A( 4， 2)点射出
17、，到直线 y x 上的 B 点后被直线 y x 反射到 y 轴上 C点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D( 1,6)，求 BC 所在的直线方程 审题视点 设 A 关于直线 y x 的对称点为 A ， D 关于 y 轴的对称点为 D ，则直线 A D经过点 B 与 C. 解 作出草图， 如图所示设 A 关于直线 y x 的对称点为 A ， D 关于 y 轴的对称点为 D ，则易得 A( 2， 4)， D(1,6) 由入射角等于反射角可得 A D 所在直线经过点 B 与 C.故 BC 所在的7 直线方程为 y 66 4 x 11 2，即 10x 3y 8 0. 解决这类对称问题要抓住两条
18、：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段 的中点在对称轴上 【训练 4】 已知直线 l： x y 1 0， l1： 2x y 2 0.若直线 l2与 l1关于 l 对称，则 l2的方程是 ( ) A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C x y 1 0 D x 2y 1 0 解析 l1与 l2关于 l 对称，则 l1上任一点关于 l 的对称点都在 l2上，故 l 与 l1的交点 (1,0)在 l2 上又易 知 (0， 2)为 l1 上一点， 设其 关于 l 的对 称点 为 (x， y)，则 x 02 y 22 1 0，y 2x 1 1，得 x 1，y 1.
19、 即 (1,0)、 ( 1， 1)为 l2上两点，可得 l2方程为 x 2y 1 0. 答案 B 难点突破 19 两直线平行与垂直问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条 件列关于参数的方程 (组 )，通过解方程 (组 )求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制 【示例 1】 (2011 浙江 )若直线 x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0 互相垂直，则实数 m _. 8 【示例 2】 (2010 上海 )已知直线 l1： (k 3)x (4 k)y 1 0 与 l2： 2(k 3)x 2y 3 0 平行，则 k 的值是 ( ) A 1 或 3 B 1 或 5 C 3 或 5 D 1 或 2
