1、版权所有 :中国好课堂 大庆铁人中学高 二 学年 上 学期 期末 考试 数学试题（理） 试题说明： 1、 本试题 满分 150 分， 答题 时间 120 分钟 。 2、请将 答案填写在答题卡上， 考试结束后 只交答题卡 。 第 卷 选择题部分 一、 选择题 （每小题 只有一个选项正确，每小题 5分 ，共 60 分。） 1.用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是 ( ) A 3 B 9 C17 D 51 2.已知命题 0)1ln (,0: xxp ;命题 :q 若 ba ，则 22 ba ,下列命题为真命题的是 ( ) A qp B qp C qp D qp 3某校选修乒乓球
2、课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( ) A 6 B 8 C 10 D 12 4 将直线 1yx 变换为直线 632 yx 的一个伸缩变换为 ( ) A yy xx 23错误 !未找到引用源。 B yy xx 32错误 !未找到引用源。 C yyxx2131错误 !未找到引用源。 Dyyxx3121错误 !未找到引用源。 5 ”“ 9k 是 “ 方程 149 22 kykx ” 表示双曲线的 ( ) A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分
3、条件 D 既不充分也不必要条件 6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 BA, 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 BA, 线性相关性更强 ( ) 版权所有 :中国好课堂 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 7.命题 , Nn“ ”nnf )( 的否定形式是 ( ) A , Nn“ ”nnf )( B , Nn“ ”nnf )( C ,0 Nn“ ”00 )( nnf D ,0 Nn“ ”00 )( nnf 8.若如图所示的
4、程序框图输出 S 的值为 126 ， 则条件 为 ( ) A ?5n B ?6n C ?7n D ?8n 9.用秦九韶算法计算多项式 1235879653)( 23456 xxxxxxxf 在 4x 时的值 , 2V 的值为 ( ) A 845 B 20 C 57 D 34 10为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近 6 次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是 甲x 、 乙x ， 则下列说法正确的是 ( ) A 乙甲 xx ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B 乙甲 xx ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C 乙甲 xx ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D 乙甲
5、xx ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 11 已知抛物线 xy 42 的焦点 为 F ， BA, 为抛物线上两点，若 FBAF 3 ， O 为坐标原点，则 AOB 的面积为（ ） A 33 B 338 C 334 D 332 版权所有 :中国好课堂 12、已知点 P 是双曲线 )0,0(1:2222 babyaxC 左支上的一点， 21,FF 是双曲线的左、右焦点，且 21 PFPF ， 2PF 与两条渐近线相交于 NM, 两点，点 N 恰好平分线段 2PF ，则双曲线的离心率是（ ） A 2 B 3 C 2 D 5 第卷 解答题部分 二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5分，共 2
6、0 分） 13. 把 89 化为二进制数为 _； 14. 在 随 机 数 模 拟 试 验 中 ， 若)(1 randx , )(1 randy , )5.0(6 1 xx , )5.0(4 1 yy , )(rand 表示 生成 10 之间的均匀随机数 ) ,共产生了 m 个点 ),( yx ，其中有 n 个点满足149 22 yx ，则椭圆 149 22 yx 的面积可估计为 _ 。 15.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为960,3,2,1 ,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 ，抽到的 32 人中，编号落入区间 420,1 的
7、人做问卷 A ,编号落入区间 750,421 的人做问卷 B，其余的人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 B 的人数为 _； 16.已知抛物 线 )0(2: 2 ppxyC 的焦点为 F ,准线与 x 轴交于点 M ，过点 M 且斜率为k 的直线 l 与抛物线 C 交于两点 BA, ，若 AFAM 45 ，则 k 的值为 _。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. (本小题满分 10 分 ) 已知关于 x 的一元二次方程 016)2(2 22 bxax (1)若一枚骰子掷两次所得点数 分别 是 ba, ，求方程有两正根的概率； (2
8、)若 6,2a ， 4.0b ，求方程没 有实根的概率 18.(12 分 )已知在平面直角坐标系 xoy 中 ,曲线 C 的参数方程为 sin42 cos41yx(为参版权所有 :中国好课堂 数 ), 错误 !未找到引用源。 直线 l 经过定点 )5,3(P ,倾斜角为 错误 !未找到引用源。 . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方 程 . (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 BA, 两点 ,求 PBPA 的值 . 19 (本小题满分 12 分 ) 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y (单位：万元 )和房屋的面积 x (单位： 2m )的数据： 房屋面积 115 110
9、 80 135 105 销售价格 24. 8 21. 6 18. 4 29. 2 22 (1) 求线性回归方程 axby ; (2)并据 (1)的结果估计当房屋面积为 150 m2时的销售价格 (精确到 0. 1 万元 ) niiniiixxyyxxb121)()( ， xbya 20.如图，在四棱锥 ABCDS 中， SD 底面 ABCD ，底面 ABCD 是矩形，且ABADSD 2 ， E 是 SA 的中点。 （ 1）求证：平面 BED 平面 SAB ； （ 2）求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角的大小（锐角）。 21.(本小题满分 12 分 ) 某校从参加高一年级期末考试的学生中
10、 抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段)50,40 ， 版权所有 :中国好课堂 ，)60,50 ， 100,90 后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题： （ 1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （ 2）估计这次考试的及格率（ 60 分及以上为及格）和 众数 ； (众数保留整数 ) （ 3）从成绩是 70 分以上（包括 70 分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率 （成绩在同一组的为同一分数段） 22（本题满分 12 分） 已知 1F 、 2F 分别是椭圆 2 2 14x y的左、右焦点。 （ I）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，12
11、54PF PF ，求点 P 的坐标； （ II）设过定点 (0,2)M 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 版权所有 :中国好课堂 大庆铁人中学高 二 学年 上 学期 期 末 考试 数学试题答案（理） 一、 选择题 （每小题 只有一个选项正确，每小题 5 分 ，共 60 分。） 1-6 DBBABD 7 12 CBDDCD 二、填 空题（本大题共有 4个小题，每小题 5分，共 20分） 13 )2(1011001 14. mn24 15. 11 16. 43 三、解答题 17. (本小题满分 10
12、分 ) 已知关于 x 的一元二次方程 016)2(2 22 bxax (1)若一枚骰子掷两次所得点数 分别 是 ba, ，求方程有两正根的概率； (2)若 6,2a ， 4.0b ，求方程没有实根的概率 解析 (1)由题意知，本题是一个古典概型，用 (a， b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件 (a， b)的总数共有 36 个， 一元二次方程 x2 2(a 2)x b2 16 0有两正根，等价于 a 2016 b20 0即 a2 4b4a 22 b2 16 .3 设 “ 方程有两个正根 ” 的事件为 A，则事件 A包含的基本事件为 (6,1)， (6,2)， (6,3)
13、， (5,3)，共 4 个，因此，所求的概率为 P(A) 436 19 .5 (2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域 (a， b)|2 a 6,0 b 4，其面积为 S() 16. 满足条件的事件为： B (a， b)|2 a 6,0 b 4， (a 2)2 b216，其面积为 S(B) 14 42 4， 8 因此，所求的概率为 P(B) 416 4 10 18.(12分 )已知在平面直角坐标系 xoy 中 ,曲线 C 的参数方程为 sin42 cos41yx(为参数 ), 版权所有 :中国好课堂 错误 !未找到引用源。 直线 l 经过定点 )5,3(P ,倾斜角为 错误 !未
14、找到引用源。 . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C的标准方程 . (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 BA, 两点 ,求 PBPA 的值 . 【解题】 (1)根据直线经过的点和倾斜角求直线的参数方程 ,消去参数得圆的普通方程 . (2)将直线的参数方程代入圆 的普通方程 ,利用参数的几何意义求值 . 【解析】 (1)圆 C:(x-1)2+(y-2)2=16, .3 直线 l : tytx235213错误 !未找到引用源。 (t为参数 ). 6 (2)将直线的参数方程代入圆的方程得 :, 03)332(2 tt 设 t1,t2是方程的两个根 ,则 t1t2=-3, 所以 |PA|PB|
15、=|t1|t2|=|t1t2|=3. .12 19 (本小题满分 12 分 ) 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y (单位：万元 )和房屋的面积 x (单位： 2m )的数据： 房屋面积 115 110 80 135 105 销售价格 24. 8 21. 6 18. 4 29. 2 22 (1) 求线性回归方程 axby ; (2)并据 (1)的结果估计当房屋面积为 150 m2 时的销售价格 (精确到 0. 1 万元 ) niiniiixxyyxxb121)()( ， xbya 解析 (1) x 15 15xi 109， y 23. 2， 2 15(xi x )2 1570， i 15(
16、xi x )(yi y ) 308 .4 版权所有 :中国好课堂 则 b 15xi x yi y i 15xi x 2 3081570 0. 1962， 6 a y b x 23. 2 0. 1962 109 1. 8142 故所求回时直线方程为 y 0. 1962x 1. 8142. 8 (2)由 (1)得 ： 当 x 150时，销售价格的估计值为 y 0. 196 150 1. 8142 31. 2442 31. 2(万元 ) 答 : 当房屋面积为 150 m2时的销售价格估计 为 31. 2(万元 ) 12 20.如图，在四棱锥 ABCDS 中， SD 底面 ABCD ，底面 ABCD
17、 是矩形，且ABADSD 2 ， E 是 SA 的中点。 （ 1）求证：平面 BED 平面 SAB ； （ 2）求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角的大小（锐角）。 证明：（ I） SD 底面 ABCD ， SD 平面 SAD ， 平面 SAD 平面 ABCD 2 分 AB AD ， AB 平面 SAD ，又 DE 平面 SAD ， DE AB ， 4 分 SD AD ， E 是 SA 的中点， DE SA ， AB SA A， DE 平面 SAB ， DE 平面 BED ， 平面 BED 平面 SAB . 6 分 （ II）由题意知 ,SD AD DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角
18、坐标系 D xyz ，不妨设2AD . 则 (0,0,0)D ， (2,0,0)A ， (2, 2,0)B ， (0, 2,0)C ， (0,0,2)S ， (1,0,1)E ， (2, 2,0)DB ， (1,0,1)DE ， (2,0,0)CB ， (0, 2, 2)CS 8分 设 1 1 1( , , )m x y z 是 平面 BED 的法向量，则 0,0,m DBm DE 即 11112 2 0,0,xyxz 令 1 1x ，则 112, 1yz， ( 1, 2,1)m 是 平面 BED 的一个法向量 . 设 2 2 2( , , )n x y z 是 平面 SBC 的法向量，则 版
19、权所有 :中国好课堂 1 0 00 .0 2 50 .0 1 50 .0 10 .0 0 5908070605040分数频率组距0,0,n CBn CS 即 2222 0,2 2 0,xyz 解得 2 0x ，令 2 2y ，则 2 1z ， (0, 2,1)n 是 平面 SBC 的一个法向量 . 10 分 33c o s ,223mnmn mn ， 平面 BED 与平面 SBC 所成锐二面角的大小为6. 12 分 21.(本小题满分 12 分 ) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段)50,40 ， ，)60,50 ， 100,90 后画出如下
20、部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题 ： （ 1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （ 2）估计这次考试的及格率（ 60 分及以上为及格）和 众数 ； (众数保留整数 ) （ 3）从成绩是 70 分以上（包括 70 分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率 （成绩在同一组的为同一分数段） 解 :（ 1）因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率： f4=1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.03 分 直方图如右所示 3 分 （ 2）依题意， 60 及以上的分数所在的第三、四、五、 六组，频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.0
21、05)*10=0.75 所以，抽样学生成绩的 及 格率是 75% 6 分 众数为 75, 8 分 （ 3） 70,80)， 80,90) ， 90,100的人数是 18,15,3。 所以从成绩是 70 分以上（包括 70 分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。 22218 15 3236CCCP C8721012 分 22（本题满分 12 分） 已知 1F 、 2F 分别是椭圆 2 2 14x y的左、右焦点。 （ I）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，12 54PF PF ，求点 P 的坐标； 版权所有 :中国好课堂 （ II）设过定点 (0,2)M 的直线 l 与椭圆交于不同的两
22、点 A 、 B ，且 AOB 为锐角（其 中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 解 （ I） 因为椭圆方程为 2 2 14x y，知 2, 1, 3a b c ， 12( 3 , 0) , ( 3 , 0)FF ，设( , )( 0, 0)P x y x y， 则 2212 5( 3 , ) ( 3 , ) 3 4P F P F x y x y x y ， 又 2 2 14x y，联立22227414xyx y ， 解得 22113 34 2xxy y ， 3(1, )2P 6 分 （ II） 显然 0x 不满足题意， 所直线的斜率存在， 可设 l 的方程为 2y kx，
23、 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，联立 2 2 221 ( 1 4 ) 16 12 042x yk x k xy k x 1 2 1 2221 2 1 6,1 4 1 4kx x x xkk ， -8 分 且 2 2 2 3(1 6 ) 4 (1 4 ) 1 2 0 , 4k k k - -10 分又 AOB 为锐角， 0OA OB ， 1 2 1 2 0x x y y ， 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 0x x kx kx ， 2221 2 1 2 2 2 21 2 1 6 4 ( 4 )( 1 ) 2 ( ) 4 ( 1 ) 2 ( ) 4 01 4 1 4 1 4kkk x x k x x k kk k k 2 4,k又 2 34k ， 23 44 k ， 33( 2 , ) ( , 2 )22k -12 分
