1、函数的性质单调性【教学目的】 使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；【重点难点】 重点：函数的单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性一、增函数与减函数 增函数与减函数定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2.若当 x1(fx2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数 y=x2，当 x0,+)时是增函数，当 x(- ,0)时是减函数. 单调性与单调区间若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则
2、就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数） ，例如，图 5 中，在 x1,x2那样的特定位置上，虽然使得 f(x1)(fx2) ”改为“f(x 1)(fx2) 或 f(x1) (fx2)”即可；定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量
3、的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 例题例 1 图 6 是定义在闭区间-5，5上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数 y=f(x)是增函数还是减函数. 练习：1、函数 的增减性的正确说法是：1xyA单调减函数 B.在 上是减函数,在 上是减函)0(),0(数C. 在 是减函数,在 是减函数 D.除 点外,在 上是单调)1(),1(1x),(递减函数二次函数的单调性：对函数 ，cbxaxf2)()0(a当 时函数 在对称轴 的左侧单调减小，右侧单调增加；
4、0a)(xfabx2当 时函数 在对称轴 的左侧单调增加，右侧单调减小；例：讨论函数 在(-2,2)内的单调性。32axf()二、函数单调性的证明步骤： 任取 x1，x 2D，且 x10)在(2，) 上递增，求实数 a 的取值范围xa2三、复合函数单调性 对于函数 y f(u)和 u g(x)，如果 u g(x)在区间( a， b)上具有单调性，当 x( a， b)时， u( m， n)，且 y f(u)在区间( m， n)上也具有单调性，则复合函数 y f(g(x)在区间( a， b)具有单调性的规律见下表：例：函数 的单调减区间是 （ ）32xyA. B. C. D.,(),11,(),1
5、求函数单调区间（复合函数）1.函数 的单调区间是（ ）1yxA （- ，+ ） B.（- ，0） （ 1， ， ） C.（- ，1） 、 （1， ） D. （- ，1） （1， ）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A B C D32yx3yx245yx28103函数 的增区间是（ ）。23yxA-3，-1 B-1,1 C D 13a(,)(1,)4、已知函数，判断 在区间0，1和（1，+ ）上的单调性。1()fx()fx五、函数单调性的应用：判断函数 的单调性；比较大小；解不等)(xfy式；求最值（值域） 。例 （1）若函数 在 上单调递增，在 上单调递减，求52)(ax
6、xf )(-2,)2,-(其实数 的取值；a（2）若函数 在 上单调递增，其实数 的取值范围；52)(axxf )(-2,a（3）若函数 在 上单调递增，其实数 的取值范围；52x)(axf )(-, a例 若函数 在 上单调递增，其实数 的取值范围；)(log)(2f )(-,例 已知函数 是 上的减函数，求实数 的取值1log4)1-3()xxafa ),(-a范围；练 习判断函数的单调性1.在区间 上为增函数的是:)1,(A. B. C. D. log21xy2xy2)1(xyxy12.设 是函数 的反函数的一个单调增区间,则实数 的取值范),(a1)(f a围是A. B. C. D.
7、2a2a2a2a3.下列命题:(1)若 是增函数,则 是减函数;(2)若 是减函数,则)(xf )(1xf )(xf是减函数;(3)若 是增函数, 是减函数, 有意义,则2)(xf f )(gfg为减函数,其中正确的个数有:gA.1 B.2 C.3 D.04 在区间 上是减函数,则实数 的取值范围是2)1()(2xaxf 4a5.已知函数 f(x)=| | |的值随 x 值的增大而增大，求 x 的取值范围.6. 是定义在 上的增函数,则不等式 的解集是)(f )0 )2(8)(fxf7.已知函数 f(x)= , 用函数单调性的定义证明： 在(,+)上单13xf调递减. 8.讨论函数 在区间1,
8、1上的单调性,并证明.2)(xf9.函数 ,求证 在 上是增函数.xxf2)( )(f47,二次函数的单调性1.函数 在 上是减函数，求 a 的取值范围。2)1()(2axxf 3,(2.函数 在 上是减函数求 a 的取值范围。143f ),3.函数 在 上是减函数,在 上是增函数，求 a。baxf2)( )(),1(4.函数 在-1,2上是增函数,求 m 的取值范围。13mf5.已知 在 上是减函数,且 求 a 的取值范围。2)()(2xaxf )4(,0)(xf6 在区间 上是减函数,则实数 的取值范围 7.已知二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对于任意实数 x,都有 f(2-x)=f(x2)，讨论函数 f(x)的单调性。单调性与大小关系1.如果 ax2+bx+c0( a0)的解集为 x|x2 或 x4,设 f(x)=ax2+bx+c,试比较 f(1), f(2),f(5)的大小.2比较大小: )0,.(,mbab3.设 ,使一次函数 都是正数,则 的范围是:10x )0(axyaA. B. C. D. a0a114. 是定义在 上的增函数,则不等式 的解集是)(xf )()2(8)(xff5. 是定义在 R 上增函数,且满足f )(yfxyf(1)求 的值; (2)若 ,解不等式)1(f 1)6(f 2)1(3ff
