1、函数与导数复习（1）学习目标：理解基本函数的性质（函数值，定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图像性质）理解导数的几何意义导数公式运算法则，利用导数求单调性和极值。一、概念回顾二、重点难点分析1、函数的零点和极值点2、利用导数求函数的单调性3、函数的图像（对称性和特殊点，构造函数解决问题）三、例题精选1.函数12()()xfx的零点个数为（ ）A 0 B 1 C 2 D 3 2设函数 lnfx，则（ ） A x为 的极大值点 B 12x为 f的极小值点C 为 f的极大值点 D 为 x的极小值点【解析】 221 xx，令 0fx，则 当 时， 2f ；当 x时， 2xx即当 2时， f是单调递
2、减的；当 时， fx是单调递增的所以 x是 的极小值点故选 D3.已知函数 ln(),2.718xkf ee为 常 数 是 自 然 对 数 的 底 数 ， 曲线yx在点 1f， 处的切线与 x轴平行。k 求 的 值 ； x 求 的 单 调 区 间 ；2, . 0,1.gxfffxxge 设 其 中 为 的 导 函 数 证 明 ： 对 任 意考点：导数，几何意义，单调性。解：（） ln+=,1l,0,.0,1.xxkfeyffxk由得 由 于 曲 线 在 处 的 切 线 与 轴 平 行所 以 因 此 （）ln,0,1l,0,0;1,.,;1.0,11,.xxf xehhefxf由 得令当 时 当
3、 时又所 以 因 此 的 单 调 增 区 间 为 ， 单 调 减 区 间 为（）因为 =,gxf所以 1-ln,0+.xxe，由（） h求导得 2l2ln,xxe所以 当 0,0,ehh时 函 数 单 调 递 增 ；当 2+， =2x是 的极值点。当 1或 x时， ()0gx， =1x不是 ()g的极值点。 ()gx的极值点是2。（3 ）令 =ft，则 ()hxftc。先讨论关于 的方程 =d 根的情况： 2, d当 =2d时，由（2 ）可知， ()=2fx的两个不同的根为 I 和一 2 ，注意到 ()fx是奇函数， ()fx的两个不同的根为一和 2。当 2d，(1)=()0fdf，一 2 ,
4、 1，1 ，2 都不是 ()=fx的根。由（1）知 ()=31fx。 当 2，时， ()0fx ，于是 ()fx是单调增函数，从而()2=fx。此时 ()=fxd在 ，无实根。 当 1 2时 ()0fx，于是 ()fx是单调增函数。又 ()fd， d， =yd的图象不间断， =x在（一 1，1 ）内有唯一实根。因此，当 2d时， ()fxd有两个不同的根 12x， 满足 12= x， ；当 2d 时()=fx有三个不同的根 315x， ， ，满足 2 =3,4 5ixi， 。现考虑函数 ()yh的零点：( i ）当 =2c时， ftc有两个根 12t，满足 12=t，。而 1)fxt有三个不同
5、的根， ()=fx有两个不同的根，故 ()yhx有 5 个零点。( 11 ）当 2c时， ()=ftc有三个不同的根 345tt，满足2 =3,4 5iti，。而 =3,()4 5ifxt有三个不同的根，故 ()yhx有 9 个零点。综上所述，当 2c时，函数 ()yhx有 5 个零点；当 2c时，函数()yhx有 9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】 （1）求出 )(xfy的导数，根据 1 和 是函数 )(xfy的两个极值点代入列方程组求解即可。（2）由（1）得， 3()fx，求出 ()gx，令 ()=0，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分 =2d和 讨论关于 的方程
6、fxd 根的情况；再考虑函数 ()yhx的零点。练习（8）函数 21lnx的单调递减区间为（A） （ 1,1 （B） （0,1 （C.）1，+） （D） （0，+）【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。【解析】 211ln,0,yxyxyxx由 ， 解 得 -1 ,又 故选 B9设定义在 R 上的函数 ()f是最小正周期为 2 的偶函数， ()fx是 的导函数当 x0, 时，01； 当 x（0， ） 且 2时 ，()(2xf0 则函数 ()sinyfx在-2，2 上的零点个数为（ ）A 2 B 4 C 5 D 8 【答案】【解析】由当 x（0 ，） 且 x
7、2时 ， ()(0xf，知,(),()2xff时 为 减 函 数 ； ),()fxf， 时 ,为 增 函 数又 0,x时，0f(x )1，在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2 的偶函数，在同一坐标系中作出 siny和 (fx草图像如下，由图知 y=f(x)-sinx 在-2，2 上的零点个数为 4 个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.6（本小题满分 12 分）已知函数 ()sin(),02fxAxR的部分图像如图 5 所示.（）求函数 f（x）的解析式；（）求函数 ()()12gff的单调递增区间.【解析】 （）由题设图像知，周期 1522(),TT.因
8、为点 5(,0)12在函数图像上，所以 5sin0sin()06A即 .又 54,=636从 而 ， 即 .又点 ,（ ） 在函数图像上，所以 si12，故函数 f（x）的解析式为()2sin().fx（） i2sin16126gxxxyo2211siny()yf2sini(2)3x1isicos2)xxsin23cox(),由 2,3kxk得 5,.1212xkz()g的单调递增区间是 5,.z【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期 152(),T从而求得 2T.再利用特殊点在图像上求出 ,A，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 sin(
9、)yx的单调性求得.练习 2函数 ()cos2fx在区间 0,2上的零点的个数为A2 B3 C4 D57已知定义在区间 0,上的函数()yfx的图象如图所示，则 2的图象为1. 函数 )4sin()xf的一个零点是（ ）A x B 2 C 4x D 2x考点：三角函数的对称性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。解答：令 )(24Zkx，第 6 题图O 1 2 xyAO 1 2 xyBO 1 2 xyCO 1 2 xyDO 1 2 xy则 )(43Zkx,当 1k时， 。练习 3 （本小题满分 12 分）设函数 2 2()sin3sincosfxx
10、x()R的图象关于直线 x对称，其中 ， 为常数，且 1(,)2. （）求函数 ()f的最小正周期； （）若 yx的图象经过点 (,0)4，求函数 ()fx的值域. 练习 4 （本小题满分 14 分）设函数 ()(1) ()nfabx， n为正整数，a，b 为常数. 曲线 ()yfx在(1,处的切线方程为 1y.（）求 a，b 的值；（）求函数 ()fx的最大值；（）证明： en.18解：（）因为 22()sicos3sincofxxco3ii()6. 由直线 x是 ()yfx图象的一条对称轴，可得 sin(2)16， 所以 262kZ，即 1)23kZ 又 1(,)， ，所以 ，故 56.
11、所以 fx的最小正周期是 65. （）由 ()yf的图象过点 (,0)4，得 ()04f，即 52sin2sin6，即 2. 故 5()2sin()3fx，函数 ()fx的值域为 ,.22解：（）因为 (1fb，由点 1,在 1y上，可得 1b，即 0. 因为 )()nnxax ，所以 ()fa. 又因为切线 y的斜率为 ，所以 ，即 . 故 a， b.（）由（）知， 1()1)nnfxx， 1()()nfxx.令 ()0fx，解得 1nx，即 ()fx在 0,)上有唯一零点 01nx. 在 ,1n上， ()0f，故 f单调递增；而在 (,上， fx， ()fx单调递减.故 )fx在 0,)上
12、的最大值为 1)(1)(nnfn. （）令 1(ln+(tt，则 21()= 0tt .在 0,)上， )0，故 单调递减；而在 (1上 (t， ()t单调递增.故 )t在 ,)上的最小值为 10. 所以 ()01)tt，即 ln(t. 令 1t，得 1ln，即 1ln()lne，所以 1()e，即 1()en.由（）知， 1()nfx，故所证不等式成立. 9（本小题满分 14 分）已知函数 3()si(),2faR且在 2,0上的最大值为 32。（I）求函数 x的解析式；（II）判断函数 )(f在 ,0内的零点个数，并加以证明。考点：导数，函数与方程。难度：难。分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：（I） 3()sin2fxa在 2,0上恒成立，且能取到等号gxa在 上恒成立，且能取到等号m()asincos0()xxygx在 2,0上单调递增
