1、0第 2 章 刚体定轴转动2.28 质量为 M 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为 R1 和 R2，求对通过其中心轴的转动惯量解：设圆柱体的高为 H，其体积为 V = (R22 R12)h，体密度为 = M/V在圆柱体中取一面积为 S = 2RH，厚度为 dr 的薄圆壳，体积元为dV = Sdr = 2rHdr，其质量为 dm = dV，绕中心轴的转动惯量为 dI = r2dm = 2Hr3dr，总转动惯量为 13421()RI 21()m2.29 一矩形均匀薄板，边长为 a 和 b，质量为 M，中心 O 取为原点，坐标系 OXYZ 如图所示试证明：（1）薄板对 OX 轴的转动惯量为 ；
2、21OXI（2）薄板对 OZ 轴的转动惯量为 ()Zab证： 薄板的面积为 S = ab，质量面密度为 = M/S（1）在板上取一长为 a，宽为 dy 的矩形元，其面积为 dS = ady，其质量为 dm =dS，绕 X 轴的转动惯量为 dIOX = y2dm = ay2dy，积分得薄板对 OX 轴的转动惯量为 /2/3/2/1bbOXIaa321aMb同理可得薄板对 OY 轴的转动惯量为 2OYI（2）方法一：平行轴定理在板上取一长为 b，宽为 dx 的矩形元，其面积为 dS = bdx，质量为 dm = dS，绕过质心的 OZ轴的转动惯量等于绕 OX 轴的转动惯量dIOZ = b2dm/1
3、2根据平行轴定理，矩形元对 OZ 轴的转动惯量为dIOZ = x2dm + dIOZ = bx2dx + b2dm/12，积分得薄板对 OZ 轴的转动惯量为/22/ 01aMOZb/232/1abM21()ab方法二：垂直轴定理在板上取一质量元 dm，绕 OZ 轴的转动惯量为 dIOZ = r2dm由于 r2 = x2 + y2，所以 dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，因此板绕 OZ 轴的转动惯量为 21()OZYOXab2.30 一半圆形细杆，半径为 R，质量为 M，求对过细杆二端 AA轴的转动惯量R1R2OOH图 2.28aOb XYZ 图 2.29aOb
4、XYZ ZOyxrA AR图 2.301解：半圆的长度为 C = R，质量的线密度为 = M/C在半圆上取一弧元 ds = Rd，其质量为 dm = ds，到 AA轴的距离为 r = Rsin，绕此轴的转动惯量为 dI = r2dm = R3sin2d，半圆绕 AA轴的转动惯量为30inI01(cos)3212RM2.31 如图所示，在质量为 M，半径为 R 的匀质圆盘上挖出半径为 r 的两个圆孔圆孔中心在圆盘半径的中点求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量解：大圆的面积为 S = R2，质量的面密度为 = M/S大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为 IM = MR2/2小圆
5、的面积为 s = r2，质量为m = s，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为 IC = mr2/2，根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为 Im = IC + m(R/2)2，221()()4CIr21)4rR221()4MrR剩余部分的转动惯量为22()MmIIR2.32 飞轮质量 m = 60kg，半径 R = 0.25m，绕水平中心轴 O 转动，转速为 900rmin-1现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力 ，可使飞轮减速闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之F间的摩擦因数 = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算（1）设 F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？
6、这段时间飞轮转了多少转？（2）若要在 2s 内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力 F？解：设飞轮对闸瓦的支持力为 N，以左端为转动轴，在力矩平衡时有 0.5N 1.25F = 0，所以 N=2.5F = 250(N)闸瓦对飞轮的压力为 N = N= 250(N)，与飞轮之间摩擦力为 f = N = 100(N)，摩擦力产生的力矩为 M = fR飞轮的转动惯量为 I = mR2/2，角加速度大小为 = -M/I = -2f/mR = -40/3(rads-2)，负号表示其方向与角速度的方向相反飞轮的初角速度为 0 = 30(rads-1)根据公式 = 0 + t，当 = 0 时，t = - 0
7、/ = 7.07(s)再根据公式 2 = 02 + 2，可得飞轮转过的角度为 = -02/2 = 333(rad)，转过的圈数为 n = /2 = 53r注意圈数等于角度的弧度数除以 2（2）当 t = 2s， = 0/2 时，角加速度为 = -0/2t = -7.5力矩为 M = -I，摩擦力为 f = M/R = -mR/2 = (7.5)2闸瓦对飞轮的压力为 N = f/，需要的制动力为 F = N/2.5 = (7.5)2 = 176.7(N)OrRr图 2.31O0.50 F0.75图 2.3222.33 一轻绳绕于 r = 0.2m 的飞轮边缘，以恒力 F = 98N 拉绳，如图（
8、a）所示已知飞轮的转动惯量 I = 0.5kgm2，轴承无摩擦求（1）飞轮的角加速度（2）绳子拉下 5m 时，飞轮的角速度和动能（3）将重力 P = 98N 的物体挂在绳端，如图（ b）所示，再求上面的结果解：（1）恒力的力矩为 M = Fr = 19.6(Nm)，对飞轮产生角加速度为 = M/I = 39.2(rads-2)（2）方法一：用运动学公式飞轮转过的角度为 = s/r = 25(rad)，由于飞轮开始静止，根据公式 2 = 2，可得角速度为 = 44.27(rads-1)；2飞轮的转动动能为 Ek = I2/2 = 490(J)方法二：用动力学定理拉力的功为 W = Fs = 49
9、0(J)，根据动能定理，这就是飞轮的转动动能 Ek根据公式 Ek = I2/2，得角速度为 = 44.27(rads-1)/I(3)物体的质量为 m = P/g = 10(kg)设绳子的张力为 T，则 P T = ma，Tr = I由于 a = r，可得 Pr = mr2 + I，解得角加速度为 = 21.8(rads-2)rI绳子的张力为 = 54.4(N)2张力所做的功为 W = Ts = 272.2(J)，这就是飞轮此时的转动动能 Ek飞轮的角速度为 = 33(rads-1)/kEI2.34 质量为 m，半径为 R 的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示盘与水平面的摩擦因数为 ，圆盘
10、从初角速度为 0 到停止转动，共转了多少圈？解：圆盘对水平面的压力为 N = mg，压在水平面上的面积为 S = R2，压强为 p = N/S = mg/R2当圆盘滑动时，在盘上取一半径为 r、对应角为 d面积元，其面积为 dS = rddr，对水平面的压力为 dN = pdS = prdrd，所受的摩擦力为 df = dN = prdrd，其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为 dM = rdf = pr2drd，总力矩为 220RM31pRmg圆盘的转动惯量为 I = mR2/2，角加速度大小为 ，负号表示其方向与角速度的方向相反43g根据转动公式 2 = 02 + 2，当圆盘停止下来时 =
11、 0，所以圆盘转过的角度为F=98N P=98Nm(a) (b)(图 2.33)R 0O图 2.343，转过的圈数为 2038Rg20316Rng注意在圆盘上取一个细圆环，其面积为 ds = 2rdr，这样计算力矩等更简单。2.35 一个轻质弹簧的倔强系数为 k = 2.0Nm-1它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为 m1 = 80g 的物体相连，如力产所示定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为 r = 0.05m，质量为 m = 100g先用手托住物体 m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手求物体 m1 下降 h = 0.5m 时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不
12、打滑解：根据机械能守恒定律可列方程 ，22111gvIkh其中 I = mr2/2， = v /r，可得 2m1gh kh2 = m1v2 + mv2/2，解得 = 1.48(ms-1)21ghkv2.36 均质圆轮 A 的质量为 M1，半径为 R1，以角速度 绕 OA 杆的 A 端转动，此时，将其放置在另一质量为 M2 的均质圆轮 B 上，B 轮的半径为 R2B 轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动放置后，A 轮的重量由 B 轮支持略去轴承的摩擦与杆 OA 的重量，并设两轮间的摩擦因素为 ，问自 A 轮放在 B 轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？解：圆轮 A 对 B 的压力为
13、 N = M1g，两轮之间的摩擦力大小为 f = N = M1g，摩擦力对 A 的力矩大小为 MA = fR1 = M1gR1，摩擦力对 B 的力矩大小为 MB = fR2 = M1gR2，设 A 和 B 的角加速度大小分别为 A 和 B，转动惯量分别为 IA 和 IB，根据转动定理得方程 MA = IAA，即 A = MA/IA同理可得 B = MB/IB当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度 v，A 的角速度为 A = v/R1，B 的角速度为 B = v/R2根据转动运动学的公式得 A = -At， B = Bt，即 v/R1 = -At，v/R 2 = Bt，化得 v - R1
14、= -AR1t，v = BR2t，将后式减前式得 R1 = (R1A + R2B)t， 解得 t12/ABMII12gR12g经过的时间为 21()t注意在此题中，由于 A、B 两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律O AR1R2Bm1m1mhr图 2.3542.37 均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为 0，转动时受到空气的阻力阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为 k试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半设薄板竖直边长为 b，宽为 a，薄板质量为 m解：在板上距离转轴为 r 处取一长度为 b，宽度为 dr 的面积元，其面积为
15、 dS = bdr当板的角速度 时，面积元的速率为 v = r，所受的阻力为 df = kv2dS = k2r2bdr，阻力产生的力矩为 dM = rdf = k2r3bdr，因此合力矩为3401aMkka板绕转轴的转动惯量为 I = ma2/3，其角加速度为 ，24kaIm负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反由于 = d/dt，可得转动的微分方程 ，2d34kbat分离变量得 ，积分得 2234kbam21baCm当 t = 0 时， = 0，所以 C = -1/0，因此转动方程为 20314kbat当 = 0/2 时，解得时间为 2043tkba2.38 一个质量为 M，半径为 R 并
16、以角速度 旋转的飞轮（可看作匀质圆盘） ，在某一瞬间突然有一片质量为 m 的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上（1）问它能上升多高？（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能解：（1）碎片上抛的初速度为 v0 = R，根据匀变速直线运动公式 v2 v02 = -2gh，可得碎片上升的高度为 h = v02/2g =2R2/2g（2）余下部分的角速度仍为 ，但是转动惯量只有 ，21IMRm所以角动量为 L = I = R2(M/2 m)转动动能为 21kEI2.39 两滑冰运动员，在相距 1.5m 的两平行线上相向而行，两人质量分别为 mA = 60kg，
17、m B = 70kg，它们速率分别为 vA = 7ms-1，v B = 6ms-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为 1.5m求该瞬时：（1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量；（2）系统的角速度；（3）两人拉手前、后的总动能这一过程中能量是否守恒？arbdSrO图 2.37R图 2.385解：（1）设质心距 A 的平行线为 rA，距 B 的平行线为 rB，则有 rA + rB = r，根据质心的概念可得 mArA = mBrB，解方程组得 ， rAB两运动员绕质心的角动量的方向相同，他们的总角动量为= 630(kgm2s-1)ABLvr()ABArv（2）
18、根据角动量守恒定律得 L = (IA + IB)，其中 IA 和 IB 分别是两绕质心的转动惯量IA = mArA2 和 IB = mBrB2角速度为 = L/(IA + IB) = 8.67(rads-1)（3）两人拉手前的总动能就是平动动能 = 2730(J)；221kEmv拉手后的总动能是绕质心的转动动能： = 2730(J)，2ABII可见：这一过程能量是守恒的讨论（1）角动量根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为，2()ABABBmIrr2ABrm角速度为 vLI可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关（2）损失的能量两人的转动动能为，21()kAB
19、EI21()ABvm因此动能的变化量为 E = Ek2 Ek1 221()ABABmv简化得 ，()ABv负号表示能量减少可见：如果 mAvAm BvB，则 E0，即能量不守恒在本题中，由于mAvA = mBvB，所以能量是守恒的2.40一均匀细棒长为 l，质量为 m，以与棒长方向相垂直的速度 v0，在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点 O 发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方 l/4 处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过 O 点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度 0解：以 O 点为转动轴，棒的质心到轴的距离为 l/4，在碰撞之前，棒对转轴的角动量为 mv0l/4在碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为 I0棒绕质心的转动惯量为 Ic = ml2/12，根据平行轴定理，棒绕 O 点为转动惯量为 2cImd22217()48llml根据角动量守恒定律得 mv0l/4 = I0，所以角速度为 012/47vmI v0l l/4 Ol/4图 2.40vBrvAmAmBrArB5
