1、1楚雄师范学院数学系课程教案(数学分析(二),周学时 6 节)周 次第 1 周 (2008.2.28-2008.3.2)课 题第七章 实数的完备性7.1 关于实数的完备性的基本定理学 时2学时教学内容（主要）一.闭区间套定理二.柯西收敛准则三.聚点定理教 学 目 标1.深刻理解并掌握闭区间套定理2.深刻理解并掌握柯西收敛准则3.深刻理解并掌握聚点的概念及聚点引理教学重点1.闭区间套定理的证明思想和证明方法2.柯西收敛准则的证明思想和证明方法3.聚点的概念及聚点引理教学难点1.柯西收敛准则的证明思想和证明方法2.聚点引理的证明思想和证明方法教学方法与手段分析教学方法、综合教学方法、探索式的教学方
2、法(借助多媒体辅助教学)教 学 进 程(教学设计)第七章 实数的完备性7.1 关于实数的完备性的基本定理极限理论是数学分析的基础理论,极限理论的问题首先是极限存在问题,数列是否存在极限,不仅与数列自身的结构有关,而且与数列所在数集有关,单调有界必有极限这一结论在实数集中成立，但在有理数集中却不成立.实数集关于极限运算封闭的这种性质叫做实数的完备性或实数的连续性.刻划研究这种实数集的特性,方法有多种,各种教材也有不同的处理研究办法,首先介绍学习我们教材的办法,再介绍其它的办法.一.闭区间定理定义 1.若闭区间列 具有如下性质：,nab(1).1,(2,)nab(2). lim0n则称 是闭区间套
3、,简称区间套.n定理 1.（闭区间套定理）若 是一闭区间套,则存在唯一点nab,nab,即 .(12) nnab(,2)证明:存在性由条件(1), 单调有上界, 单减有下界,故它们存在极限.由条件(2),n3.令 ,则 .limlinnablilimnnab,nab(1,2)唯一性再设存在 , : ,则 ,故12,n(12) 12nab(12)12推论:若 是闭区间套, ,则 当 ,当nab,nab() 0,N时, .nN()U【注】:将 换为 ,则结论不成立.,nn二.柯西收敛准则定理 2. 收敛 当 时,na0,Nnpa(1,2) 当0,N,.nma证明: 因 收敛,故可设 ,于是 ,当n
4、lin0Nn时, .故当 时na2nmnmaa,由条件,存在,当 时, .特别取 ,当 时,0,NnmanN有 ,即当 时 中的所有项均在 之内，换言之，nman,N中所有除有限项外均在 之中.,a取 ,则存在 , 除有限项外,均在区间 中,即211Nn 111,2Na记中几乎所有的项均在区间na1取 ,则存在 , 除有限项外,均在区间在 内,22na 22,N,则 中几乎所有的项均在区间 中,222 11,N记 n 且 , .1,取 ,则存在 , 除有限项外,均在区间在 内,3223na 3321,Na,则 中几乎所有的项均在区间333 21,Na记 n中,且 .123321,.一般地,反复
5、重复上述的方法,则可以得到一闭区间套 :,n(1). , .1nn12nn(,)(2). .lim0(3). 中几乎所有的项均在区间 中.nan,4故由闭区间定理,存在 .,n(1,2)再由定理 1 推论, ,当 时, .且 内含有N0),(Un),(中除有限项外的所有项,故 .nalimna三.聚点定理定义 1 .设 是数轴上的点集, 是一已知的点(可以属于 ,也可以不属于 ),SSS若 , 内都含有 中的无穷多个点,则称 是点集 的聚点.0)(US例 1. 有两个聚点 与 . n1例 2.设 ,则 及 与 均是其聚点.(,)Sabab例 3. 都没有聚点,且任何有限集均无聚点.Z例 4.若 收敛,则其极限是聚点,但反之不然.n引理:下列条件等价(1). 是 的聚点；S(2). , ；0U(3).存在各项互异点列 使 .nxSlimnx证明: (1) (2).显然.(2) (1)设 ,则取0,()则存在 .1011xUS取 则存在 ,且 .2min,022,xS21x取 则存在 .且 .),3(23x33,3.一般地,令 ,则存在 且 .1in,n0,nnxUS1nx于是得各项互异的数列 ,且 ,故 .x1lim(3) (1).显然.课后教学总结1课 外 作 业7.1习题:1,2,3,6.实 践 与 思 考单元测试与分析
