1、第 1 页 共 6 页南昌大学第八届高等数学竞赛(医学类)答案 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1、0； 2、 ； 3、 ；4、 ；5、0.221cosln(1cos)xxC(2)fa(2)x二、 单项选择题(每题 3 分，共 15 分) 1、 D；2、 A；3、 C；4、 A；5、 D第 2 页 共 6 页三、 （本题满分 6 分）求极限 .11lim35(2)n n 解：135(21)= 1() ()235221n=1 )= ()21n故1 11limlim()35(2)22n n 四、 （本题满分 6 分）设 ，试确定 、 的值，使)(1li)(2Nnxbxaxf nn ab
2、都存在.与)(lim1xfx1lix解：当 时， ，故 ； |221limli0nnnxx2()fxabx当 时，|1x1()f2, ,(),1,1,xfxabx11lim(),lim(),1x xffab 1abx 故 ， 。 0第 3 页 共 6 页五、 （本题满分 7 分）计算 .1ln()lxdx解：原式 1ln()ln1l()llnnxdxdxxc六、 （本题满分 7 分）设 在 上有二阶连续偏导数， ，令 ，)(xf1.0)(f xfg)(，证明)0(,fgx1） 在 处连续，且可导，并计算 ；)()0(g2） 在 处也连续.证明：（1），故 在 处连续 00()lim()li(0
3、)xxfgfg)(x0200 ,()()()1()lilim“(0)2x xffffg f（2） 2000()“()lim()lili “()0xx xffffxffg第 4 页 共 6 页七、 （本题满分 8 分）一张 1.4 米高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛 1.8 米.问观察者应站在距墙多远处看图才最清楚（即视角最大时看图最清楚）？解：设观察者与墙的距离是 米，则视角 可表示为 的函数xx1.481.3.21.8arctnarctnarctarctn,(0,)由于观察者距墙太远或太近，看图都不太清楚。因此 在 内确实有最大值。由于223.1.8x令 ， 求得函数 在 内的唯一
4、稳定点 0(0,)2.4x根据费马定理，函数 的最大值只可能在 取得，即观察者应站在距墙 2.4 米处.看图最清楚。 八、 （本题满分 7 分）设函数 具有二阶连续偏导数，求(,)ufxyz2.uzy解：令 ，则,pxqyrxzrufz2 ()rrqruxfyfxfxzzy第 5 页 共 6 页九、 （本题满分 7 分）求极限： .120limxyxye解： 12 20 2224120limli()()lili0limxy xyx xyxyxyxyxxyxxy xyxyeeeeee十、 （本题满分 7 分）设 求2240,xyz2.zx解：令 则22(,),Fxyz2 222 2 324,()()().xxzzxzzxxzxz 第 6 页 共 6 页十一、 （本题满分 8 分）讨论 在（0，0）点的连续性和可2,(),(,)0,xyfx微性。解：（1）连续性： 2(,)(0,)(,)(0,)(,)(0,) (,)(0,)2lim,limli li1()xyxyxy xyxyf 从而连续. （2）可微性322()fyxx322fyy令 (,),xk321f显 然 不 连 续 ,y同 样 不 连 续 所 以 不 可 微 .十二、 （本题满分 7 分）设 1()ln,(0)xFtdtF求解： 100()ln()llnnlimlilim01xxxxFtdt
