1、 第 1 页 共 6 页 第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛高二年级初赛（）卷试题一、填空题（每小题 5 分，共 40 分）1圆心在原点，半径为 1 的圆交 轴正半轴于 点，一只大蚂蚁与一只小蚂蚁同时从xA点出发沿圆周作匀速运动，大蚂蚁沿逆时针方向A每秒钟转 ，小蚂蚁沿顺时针方向每秒钟转 ，那么当两只蚂蚁第五次相遇时，该点的坐标为 2图 1 是一位老师用来证明某个不等式时制的教具，观察图 1 请你判断这位老师所证明的不等式是 ，该不等式的广义形式是 3 工厂启动资源回收利用项目：从回收的直径WL为 的圆形铁瓶盖中截去一矩形，从而使截料与余料都能直接利用回收效益与截去的矩d形面积成正比，为最大
2、限度的获得回收效益，则这个项目中矩形截料的面积为 4恒山建材公司在恒山路上每隔 10000m 依次有 五个连锁店，现要对其ABCDE，中的 4 个店面同时进行扩建，需把所有的货物集中存放在一个店内，现存货物为 店 10 吨， 店 20 吨， 店 40 吨，其余两店刚好脱销，如ABE果每吨货物运输 1000m 需要 5 元的运费，则运费最少是 元5重新排列图 2 所示的九枚棋子，使它从原先 8 行每行 3 枚变为 10 行每行 3 枚，则重排后的图形是 6一种长宽为整数的台球桌，仅四角置有球袋，一球从一角以 角被45击出，反弹若干次后，最终落入一个球袋已知台球桌长与宽的最简整数比为 ，那么mn反
3、弹次数 与 满足的关系式为 Nmn，7图 3 是上海金属期货交易市场在 1 月 4 日至 4 月 2 日铜的价格与成交量的变化趋势，观察此图，则正确结论的序号为 平均成交量大于 2500 吨 1 月 8 日到 1 月 13 日价格下跌最快 成交量大，价格必然高ABCDMNP3ab21ab123a123b图 1图 2第 2 页 共 6 页 成交量的第二高峰发生在较低价格时 价格的总趋势呈下降趋势8为保证长江中下游的航运安全和畅通，长航管理处加大了巡逻和督查力度，以制止不法分子在江中采沙今巡逻艇在 处，发现在其东偏北 方向 海里的 处，一艘私自B4510aA采沙船正以每小时 海里的速度沿南偏东 方
4、向航行，巡逻艇立即出发，如果要 20 分18a7钟追上采沙船，则巡逻艇的航行方向和速度分别为 二、选择题（每小题 5 分，共 40 分）99 月 26 日，台风“珍妮”袭卷佛罗里达州后，其中心从 地以每小时 20 千米的速度向A西北方向移动，离台风中心 30 千米的地区为危险区，城市 在 的正西 40 千米处，则B市处于危险区内的时间为（ ）B0.5 小时 1 小时 1.5 小时 2 小时10在一次股票交易中，股民甲以每股 2 元购入 种股票 1000 股，现欲以每股 4.05 元价格卖出在卖出时甲应向国家交纳印花税 ，向证券公司交纳佣金 ，交易过程中的通3%4%讯费为 5 元，过户费为 1
5、元，则甲在这次交易中的净收益（ ）不到 2000 元超过 2000 元，但不到 2015 元超过 2015 元，但不到 2020 元超过 2020 元11 ，InoetlignceTst：thrwasEhquioaheflowing4？（ ）HmytilesrtFi26 22 20 18122004 统一冰红茶“闪亮之星”大学生歌手选拔赛某赛区邀请了 20 位裁判给选手打分，打分规则为：裁判给出的分数均为整数，去掉一个最高分，一个最低分，余下的 18 个分数的平均数为该选手的得分一位选手的得分若取一位小数为 9.4（四舍五入） ，若取两位小数，那么最小值应为（ ）9.35 9.38 9.39
6、9.4013米丽将长为 的细绳，两端固定在画板上的 和2a1F两点 ，用铅笔尖把细绳拉紧画椭圆（如2F1()c图 5 所示） 是笔尖经过的四点，它们向234P，长轴 作垂线，垂足恰好五等分 ，则ABAB1234P，到 的距离之和为（ ）2F a42ac2acAB1P234P2F图 5 4Fig，第 3 页 共 6 页 14如图 6 所示，棱长为 5 的正方体模型无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为 1 的正方形孔今要将该模型所有的面都涂上清漆，则清漆所涂的面积为（ ）210 222 234 25815体育管理员为加强体育器械的管理，订做了一个半径为 ，高为 的圆柱形铁筐2R0（既有盖也有底）
7、 ，用来盛放半径为 的篮球，则该筐最多可放篮球（ ）R24 个 25 个 26 个 27 个16一种电文其发送过程如下：() (密 钥 )加 密 方 法 传 输 解 密 方 法 (密 钥 ) 电 文明 文 密 文 发 电 机 收 报 机 密 文 电 文加密的方法为：利用模 2 的同余式运算 ， 01010例如：明文为 01001001100密钥为 10101010101（是周期为 2 的流密码）则密文为 11100011001若采用该加密方法得到的密文为 11001000101，则解密后明文应为（ ）01100010000 10011101111 00110111010 01101100101
8、三、解答题（每小题 20 分，共 40 分）17一个演示动点 与动的正三角形 关系的 Flash 课件（如图 7 所示）：其中动BC，ABC点 在直径为 2 的半圆上移动， 为不动点且 ，你能判断出 点运动到什么位O，2B置时，四边形 面积最大吗？最大面积是多少？A18红旗大街的十字路口是对称且宽度一致的，其相关数据如图 8 所示（绿线为停车线） ，为确保交通安全与畅通，当东西方向的红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒后才亮，即当绿灯时最后一秒驶出来的骑车人不与另一方向绿灯亮时驶出来的机动车相撞一般情况下过十字路口时自行车车速为 4m/s，机动车车速为 8m/s，则红绿灯的时间差 如何设置t才
9、符合要求四、开放题（本题 30 分）19我国体育法规定，国家对优秀运动员和教练员实行奖励雅典奥运会上中国体育代表团荣获 32 枚金牌，取得世界排名第二的好成绩，国家体育总局为雅典奥运会制定的奖励标准为：冠军 20 万元、亚军 12 万元、季军 8 万元其中奥运冠军的奖金推算公式为：奥运冠军国家奖金额当年全国职工平均工资 （上届奥运会奖励人均工资相对强度奖米m北南 东西骑车人 米n机动车 图 8图 72CAO第 4 页 共 6 页 金相对强度增长率 年） 公元年数2000，奖金相对强度增长率是从 1984 年至N2000 年奖金相对强度的增长率；据悉，悉尼奥运会冠军奖金是 15 万元，奖金相对强
10、度为16.00；洛杉矶奥运会冠军奖金是 6000 元，奖金相对强度为 8.90；2004 年全国职工的平均工资额为 12261.37 元 请你联系实际分析奥运冠军奖金的推算公式是否合理尝试设计一个奥运冠军奖金推算公式，并给出你的设计依据五、附加题（本题 50 分）20动手实践作品展示1作品形式：小发明、小创造、小模型、小程序、小课件、研究报告以及小论文等（凡属于运用数学知识、方法、思想，并通过动手、动脑具体操作或借助计算机技术，来完成的原创作品均可） ；2作品要求：附相关实物、图形、文字说明以及相关报道、评价等第 5 页 共 6 页 第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛高二年级初赛试题（）卷参
11、考答案及评分标准一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）1 3()2，2 ，2222131313()()ababab（2 22 22)n nnb 都为正数）121n ，3 45000 5d6 7 8北偏东 ， 海里小时2Nmn 3(arcsin)4142a二、填空题（每小题 5 分，共 40 分）9 10 11 12 13 14 1516三、解答题（每小题 20 分，共 40 分）17解：设 ，则由 ，AOB21AOB，依余弦定理，得 ， （6 分）2 cos54cs （12 分）23(54cos)4ABCS ini2AOBSA35353si2si(60)244OABABCS 四 边 形 （
12、当 时，等号成立） （18 分）150第 6 页 共 6 页 故当 时，四边形 的面积最大，最大面积为 （20 分）150OACB532418 （视交通情况， 适当大于 较为合理） 36mnt t316mn提示： 到 的距离为 （3 分）12CFG2n由红绿灯时间差为 秒，设骑车人从 线到 线时另一方向绿灯亮，此时骑车人前进距t12Ck离为 ， 线到 线距离为 （8 分）4tkFG4mnt骑车人从 线到 线需要的时间为 秒， （13 分）()28mntt到 线距离为 12DE2机动车从 到 需要的时间为 秒 （18 分）12F186nA由题意知：骑车人通过 线比机动车通过 线要早一些才行，GEF，即 （20 分）86mnt 36mt四、开放题（本题 30 分）19提示：信息筛选处理能力，要求出奖金相对强度增长率： 16.089.4（5 分）2004 年冠军奖金 万元 （10 分）126.37(.04)2.7设计的公式科学严谨，其依据合情合理、有理有据即可酌情给分（20 分）分析过程：（可结合运动员的运动生涯与经济增长、工资增长幅度、个人投入、国家投入等因素，分析合理即可） （30 分）GFE骑车人机动车1C21D2k
