1、 直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查的重点和热点，涉及交点个数问题、弦的问题、对称问题、最值问题、取值范围问题等，现将其分类总结如下，供同学们复习时参考。 一、直线与圆锥曲线交点问题研究直线与圆锥曲线交点问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，将交点个数问题转化为一元二次方程解的问题，利用判别式讨论之注意：（1）数形结合思想的运用；（2）在用到直线斜率时注意斜率不存在的情况；（3)在研究直线与双曲线时注意 直线与双曲线的渐近线平行的情况。例 1 已知集合 与集合 ，当 为(,)|1Mxyk2(,)|9Nxyk何值时MN 有两个元素MN 只有一个元素MN
2、没有元素【解析】：由 消去 整理219kxy2(9)180k若 即 ，则 =1032184()k236(9)k当 即 且 时，MN 有两个元素2k3当 即 时，MN 只有一个元素03当 即 或 时，MN 没有元素2kk若 即 时，直线 与双曲线 的渐近线平行，2190131yx29xy直线 与双曲线 只有一个交点，即 MN 只有一个元素ykx29x综上所述当 且 时，MN 有两个元素313k当 或 时，MN 只有一个元素2k当 或 时，MN 没有元素3k【评析】 本题研究的是直线与圆锥曲线交点个数问题，将其转化为直线方程与圆锥曲线方程联立组成的方程组解的个数问题，注意数形结合和特殊情况。二、圆
3、锥曲线上点关于直线对称问题这类问题通常，先设出对称点的坐标，写出过对称点的直线方程，与圆锥曲线方程联立化为一元二次方程，利用根与系数关系和中点公式，求出对称点的中点坐标，利用对称点的中点在直线上，对称点连线与对称轴垂直解题。例 2 已知抛物线 y=x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B ，则|AB| 等于A.3 B.4 C.3 D.422【解析】：设直线 的方程为 ， ， 由 ，得 AByxb1(,)Ay2(,)Bxy23xb由韦达定理知230xb12 的中点 ，又 在直线 上1(,)2Mb(,)Mb0xy 解得 ， ， ， ，20x12x12x由弦长公式 2|4()32
4、ABk故选 C【评析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系 三、参数的取值范围问题 这类问题有两种方法， （1）根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式(组） ，通过解不等式组求出参数的范围；（2）将所讨论的参数表示为关于另一个参数的函数问题，用求函数值域的方法求解。例 3 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过定点 的直线 与1F2142yx )2,0(Ml椭圆交于不同的两点 、 ，且 为锐角（其中 为坐标原点） ，求直线 的斜率ABO的取值范围.k【解析】：显然直线 不满足题设条件，可设直线 ： ， ，0xl2ykx12,Ay2,Bxy联立 ，消去 ，整理得：214kyy221430kxk 1
5、2123,4xxkk由 得： 或224032k又 009cos0ABABO 12Oxy又 212121124ykxkxx223841k21k ，即 223014k24kk故由、得 或32k2k【评析】为了求参数的取值范围，用的是函数法 四、直线与圆锥曲线中的最值问题解决这类问题，通常结合图形，转化为函数的最值问题，用求函数的最值的方法求解，注意函数的定义域和直线斜率不存在的情况。例 4 已知椭圆 C:，直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直213xy线 l 的距离为 ，求AOB 面积的最大值.2【解析】： 设 ， 1()Axy， 2()Bxy，（1）当 轴时， B 3（
6、2）当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 Aykxm由已知 ，得 231k2(1)4把 代入椭圆方程，整理得 ，yx223630kxkm， 12631km2(1)x221()AB222361()()k22222139()(31)kk242111233(0)3496 696kkk当且仅当 ，即 时等号成立当 时， ，2k3k3AB综上所述 maxAB当 最大时， 面积取最大值O max1322SAB【评析】本题是将其转化为关于直线斜率的函数问题，利用均值不等式求最值。 五、直线与圆锥曲线位置关系中的弦的问题对弦长问题，将其化为一元二次方程，运用韦达定理与弦长公式解之；弦的中点问题或中点轨迹问题
7、常用参数法或平方差法处理之。例 5 已知双曲线 ，求过点 M（3，1）的弦的中点轨迹方程。24yx【解析】：设过 M（3，1）的弦的中点 ,弦的端点坐标为 A ，B()Pxy1(,)xy2(,)xy 214214yx12x -得 12y 12121212()() 04yy当 时， = = = ， =12xABK21yx24xyMPK3x又A，B，M，P 共线， =ABMP即 = ，化简得4xy132410xyx当 时，P（3，0）也适合12过 M（3，1）的弦的中点的轨迹方程为 2410xyx【评析】本题是双曲线的弦的中点的轨迹问题，用的是平方差法，本题也可用参数法。练习：1、已知以 F1（2
8、,0） ，F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个交点，043yx则椭圆的长轴长为（A） （B） （C） （D）2367222、中心在原点，焦点在坐标为(0，5 )的椭圆被直线 3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为 ，则椭圆方程为( )1 1257D. 152C.1257B. 752A.2 yxyxyxyx3 、斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A、B 两点，则| AB|的最大值为( )4A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:
9、/w.xjkygcom126t:/.j 55045084、抛物线 上的点 P 到直线 有最短的距离,则 P 的坐标是A,(0,0) B, C, D,(,)2()2(,)25、经过抛物线 y 的焦点 F 的直线 L 与该抛物线交于 A,B 两点x4（） 线段 AB 的斜率为 k，试求中点 M 的轨迹方程；（） 直线的斜率 k2，且点 M 到直线 3 x+4y+m=0 的距离为 ，试确定 m 的取51值范围6、已知抛物线 y2=2px(p0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、 B，且 |AB|2p 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)
10、求 a 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7、已知倾斜角为 的直线 过点 ，若直线 与双曲线45l(12)A，l相交于 两点，且线段 的中点坐标为 ，求 的值2:1(0)xCyaEF，EF(4)，a答案 1、C 2、C 3、C 4、C5、 (1) 设 A( 直线 AB 的方程为 y=k(x-1) (k0), 代入),(),21yxB得,42xyk x -(2k +4)x+k =0222设 M(x ,y)，则 .2,12kyx点 M 的坐标为(
11、 ),2k于是消去 k，可得 M 的轨迹方程为 2(0)yx(2) 由于d= ,515432mk所以 ,1862k即 0 , 得0 ,32m即 或 152194,故实数 的取值范围为 (,)6、(1)设直线 l 的方程为 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=xa,代入抛物线方程得(xa) 2=2px,即 x22(a+p)x +a2=0|AB|= 2p 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4ap+2p 2p 2,即 4app 2，又p0,a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )(42a 4(2)设 A(x1,y1)、B(x
12、2,y2)，AB 的中点 C(x,y),由(1)知，y 1=x1a,y 2=x2 a,x1+x2=2a+2p,则有 x= =p 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 21p线段 AB 的垂直平分线的方程为 yp=(xap),从而 N 点坐标为(a+2p,0） ，点 N 到 AB 的距离为 pa|从而 SNAB = 224)(21a当 a 有最大值 时，S 有最大值为 p2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 47、解：由题意易知，直线 的方程为 ，l3由方程组 得231yxa2610xa设两个交点分别为 ，12()()ExyF，则 ，因为 的中点坐标为 ，2126ax(41)所以 ，即 ，得 423412a
