1、1 如图 10，已知点 A 的坐标是（1，0），点 B 的坐标是（9，0），以 AB 为直径作 O，交 y 轴的负半轴于点 C，连接 AC、BC，过 A、B、C 三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 AC 延长线上一点， BCE 的平分线 CD 交O于点 D，连结 BD，求直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P，使得PDB CBD?如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由2 如图（1），在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，-2），点 B 的坐标为（3，-1），二次函数 的图象为 . 2yx1l（1）平移抛物线 ，使平移后的1l抛
2、物线过点 A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线 ，使平移后的1l抛物线过 A、B 两点，记抛物线为 ，如图（2），求抛物线 的函数解析式及l顶点 C 的坐标.（3）设 P 为 y 轴上一点，且，求点 P 的ABS坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线 上是否存在点 Q，使 为等腰三角形. 若存在，请判断点2l ABQ 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由. 3 如图，抛物线 与 y 轴交于点 C（0，4），与 x)0(2acxay轴交于点 A、B，点 A 的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是
3、线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC ，交 BC 于点 E，连接 CQ。当CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）若平行于 x 轴的动直线 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，l点 D 的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线 ，使得 ODF 是等腰三角形？l若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。4 如图，在直角坐标系 中，点 为函数 在第一象限内的图象上的任一点，点 的坐标为 ，直线xOy214yxA(01)，过 且与 轴平行，过 作 轴的平行线分别交 轴， 于 ，连结 交 轴于 ，直线 交 轴l(01)B， lCQ， xHPy于 R（1）求证： 点
4、为线段 的中点；HAQ（2）求证：四边形 为平行四边形；PR平行四边形 为菱形；（3）除 点外，直线 与抛物线 有无其它公共点？并说明理由214yx图 10yox图（1）yo x图（2）l1 l2YXCADQBOxlQCPAOB HRyAOBMDC图 12yx5 已知抛物线 21yx与 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C（1）求 A、B 、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积（3）在 x轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，
5、请说明理由6 如图 12，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 与该二次函数的mxy图象交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴 上.（1）求 的值及这个二次函数的关系式；m（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合），过 P 作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为 ，点 P 的横坐标为 ，求 与 之hxh间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；x（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不
6、存在，请说明理由.7 已知：抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OB OC）是方程 x210x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x2（1）求 A、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求ABC 的面积；（4）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合） ，过点 E 作 EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE，设AE 的长为 m， CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （5）
7、在（4）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由 8 24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图 12，点 A、B、C、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心 M 的坐标为(1,0)，半圆半径为 2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点 C 的“蛋圆 ”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相
8、信你能求出经过点 D 的“蛋圆”切线的解析式.CPByA oxEBACP图 12O xyD图 10 答案图 2图 10 答案图 11 (1) 以 AB 为直径作 O，交 y 轴的负半轴于点 C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，又AOC= COB=90，AOC COB， 1 分 OACB又 A(1，0)，B(9，0) ， 19O，解得 OC=3(负值舍去) C(0，3)，设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09) ，解得 a= 13，二次函数的解析式为 y= 3(x+1)(x9)，即 y= 3x2 8x3 4 分(2) AB 为 O的直径，
9、且 A(1，0) ，B(9，0)，OO=4，O(4，0)， 5 分点 E 是 AC 延长线上一点，BCE 的平分线 CD 交O 于点 D，BCD= 12BCE= 90=45，连结 OD 交 BC 于点 M，则BO D=2BCD=245=90，OO =4，OD= 12AB=5D(4，5)设直线 BD 的解析式为 y=kx+b（k0） 90,45.kb解得 1,9.kb直线 BD 的解析式为 y=x9.8 分(3) 假设在抛物线上存在点 P，使得PDB= CBD，解法一：设射线 DP 交O于点 Q，则 ABCD分两种情况(如答案图 1 所示 )：O(4，0)，D(4，5) ，B(9，0)，C(0，
10、3) 把点 C、D 绕点 O逆时针旋转 90，使点 D 与点 B 重合，则点 C 与点 Q1 重合，因此，点 Q1(7，4)符合 A，D(4，5)，Q 1(7，4) ，用待定系数法可求出直线 DQ1 解析式为 y= 13x 9 9 分解方程组 29318.yx，得19426xy， ； 2419.6y，点 P1 坐标为( 94， 94)，坐标为( 412， 41)不符合题意，舍去Q1(7，4) ，点 Q1 关于 x 轴对称的点的坐标为 Q2(7， 4)也符合 ABCDD(4 ，5)，Q 2(7，4)用待定系数法可求出直线 DQ2 解析式为 y=3x17解方程组 23718.yx，得 138xy，
11、 ； 2145.，点 P2 坐标为(14，25)，坐标为 (3，8)不符合题意，舍去符合条件的点 P 有两个：P 1( 942， 9416)，P 2(14，25) 解法二：分两种情况(如答案图 2 所示) ：当 DP1CB 时，能使PDB= CBDB(9，0) ，C (0，3)用待定系数法可求出直线 BC 解析式为 y= 13x3又 DP1CB，设直线 DP1 的解析式为 y= x+n图 10 答案图 3把 D(4，5) 代入可求 n= 193，直线 DP1 解析式为 y= x 9 分解方程组 2938.yx，得19426y， ； 241.6xy，点 P1 坐标为( 94， 94)，坐标为(
12、9412， 941)不符合题意，舍去在线段 OB 上取一点 N，使 BN=DM 时，得 NBDMDB(SAS)，NDB= CBD由知，直线 BC 解析式为 y= 13x3取 x=4，得 y= 53，M(4， 5)，ON=O M= 5，N( 173，0) ，又 D(4，5)，直线 DN 解析式为 y=3x17解方程组 218.3yx，得 18xy， ； 2145.，点 P2 坐标为(14，25)，坐标为 (3，8)不符合题意，舍去符合条件的点 P 有两个：P 1( 942， 946)，P 2(14，25) 解法三：分两种情况(如答案图 3 所示) ：求点 P1 坐标同解法二 10 分过 C 点作
13、 BD 的平行线,交圆 O于 G,此时，GDB =GCB=CBD由(2)题知直线 BD 的解析式为 y=x9,又 C（0，3）可求得 CG 的解析式为 y=x3,设 G（m,m3），作 GHx 轴交与 x 轴与 H，连结 OG,在 RtOGH 中，利用勾股定理可得，m= ，由 D（4，5）与 G(7，4)可得，DG 的解析式为 17y， 11 分解方程组 238.x，得 138xy， ； 2145.，点 P2 坐标为(14，25)，坐标为 (3，8)不符合题意，舍去 12 分符合条件的点 P 有两个：P 1( 92， 96)，P 2(14，25) 说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此
14、步骤给分.2（1） 等 （满足条件即可） 1 分22345yxyx或（2）设 的解析式为 ，联立方程组 ，l bc2193bc解得： ，则 的解析式为 ， 3 分91,2bc2lyx点 C 的坐标为（ ） 4 分746（3）如答图 23-1，过点 A、B、C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F，则 ，2A， ， ， ， .1FED54F3E得： . 5 分156ABCEDBCFEDSS梯 形 梯 形 梯 形 A延长 BA 交 y 轴于点 G，直线 AB 的解析式为 ，则点 G 的坐标为（0， ），设点 P 的坐标为2yx52（0， ）h当点 P 位于点 G 的下方时， ，连结 A
15、P、BP，则 ，又 ，52PhABPAPGSSh156ABCPS得 ，点 P 的坐标为（0， ）. 6 分51616当点 P 位于点 G 的上方时， ，同理 ，点 P 的坐标为（0， ）.512516综上所述所求点 P 的坐标为（0， ）或（0， ） 7 分52(4) 作图痕迹如答图 23-2 所示.由图可知，满足条件的点有 、 、 、 ，共 4 个可能的位置. 10 分1Q233 4 （1）法一：由题可知 1AOCQ， ， 90AOHHAOHQC ，即 为 的中点法二： ， ， （1 分）C(0)， (1)B， B又 轴， （2）由（1）可知 ， ，BQx RHP， ，RP P ， AR又
16、， 四边形 为平行四边形设 ， 轴，则 ，A Q214Pm， y (1)Qm，则 214m过 作 轴，垂足为 ，在 中，PGytAG22211144A P平行四边形 为菱形（3）设直线 为 ，由 ，得 ， 代入得：QRPRykxbOHC2m， 214P，直线 为 设直线 与抛物线的公共点为 ，代入直201.4mkb， 21.4mkb， 214mPR2x，答图 23-2EF答图 23-1线 关系式得：PR， ，解得 得公共点为 所以直线 与抛物线 只22104mx21()04xmx214m， PH214yx有一个公共点 5 （1）令 0y，得 210x 解得 1x令 ，得 A (,) B (,)
17、 C (,) （2 分）（2）OA=OB=OC= BAC= ACO= BCO= 45AP CB， PAB= 45过点 P 作 PEx轴于 E，则 APE 为等腰直角三角形令 OE= a，则 PE= 1 P (,1)a点 P 在抛物线 2y上 2 解得 1， （不合题意，舍去）PE = 34 分）四边形 ACBP 的面积 S= 12ABOC+ ABPE= 346 分）(3) 假设存在 PAB= BAC = 45 PA ACMG x轴于点 G， MGA= PAC = 90在 Rt AOC 中， OA=OC=1 AC = 2在 Rt PAE 中， AE=PE= 3 A P= 7 分） 设 M 点的横
18、坐标为 m，则 M (,)点 M 在 y轴左侧时，则 () 当 AMG PCA 时，有 = GCAG= 1，MG= 21即23解得 1m（舍去） 23（舍去）() 当 MAG PCA 时有 AC= MG即 23解得： 1（舍去） 2mM (,) （10 分） 点 M 在 y轴右侧时，则 () 当 AMG PCA 时有 AG= MCAG= 1，MG= 21 23m解得 1（舍去） 243m M 47(,)9 () 当 MAG PCA 时有 AC= MG GM第 28 题图 3CByPA oxGM第 28 题图 2CByPA ox即 213m解得： （舍去） 24m M (4,5)存在点 M，使以
19、 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似M 点的坐标为 (,3)， 7(,)9， (,15) （13 分）6 (1) 点 A(3,4)在直线 y=x+m 上， 4=3+m. （1 分） m=1. （2 分）设所求二次函数的关系式为 y=a(x-1)2. （3 分） 点 A(3,4)在二次函数 y=a(x-1)2的图象上， 4=a(3-1) 2, a=1. （4 分） 所求二次函数的关系式为 y=(x-1)2. 即 y=x2-2x+1. （5 分）(2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE . PE=h=y P-yE （6 分）=(x+1)-(x2-2x+1) （7 分）=-x
20、2+3x. （8 分）即 h=-x2+3x (0x3). （9 分）(3) 存在. （10 分）解法 1：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 PE=DC. （11 分） 点 D 在直线 y=x+1 上, 点 D 的坐标为(1,2), -x 2+3x=2 .即 x2-3x+2=0 . （12 分）解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) （13 分） 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. （14 分）解法 2：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 BPCE. （11 分）设直线 CE 的函数关系式为 y=x+b. 直线 CE 经过点 C(1,
21、0), 0=1+b, b=-1 . 直线 CE 的函数关系式为 y=x-1 . 得 x2-3x+2=0. （12 分）12xy解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) （13 分） 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. （14 分）7 解：（1）解方程 x210x160 得 x12，x 28 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OBOC点 B 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，8）又抛物线 yax 2bx c 的对称轴是直线 x2由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0）A、B、C 三点的坐标分别是 A（6，0）
22、 、B（2，0） 、C （0，8）（2）点 C（0，8）在抛物线 yax 2bxc 的图象上c8，将 A（ 6，0） 、B（2，0）代入表达式 yax 2 bx8，得Error! 解得Error!所求抛物线的表达式为 y x2 x8 23 83（3）AB8，OC8S ABC 88=3212（4）依题意，AEm，则 BE8m ，OA6，OC8， AC10EFAC BEFBAC 即 EF EFAC BEAB EF10 8 m8 40 5m4过点 F 作 FG AB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB45 FG 8mFGEF 45 45 40 5m4S S BCES BFE （8m）8 （8m
23、） （8m ）12 12 （8m） （88m） （8m）m m24m 12 12 12自变量 m 的取值范围是 0m8 （5）存在 理由：S m24 m （m4） 28 且 0，12 12 12当 m 4 时， S 有最大值，S 最大值 8m 4， 点 E 的坐标为（2，0）BCE 为等腰三角形8 (1)解法 1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；则设抛物线的解析式为 (a0) )31(xay又点 D(0，-3)在抛物线上，a(0+1)(0-3)=-3，解之得： a=1 y=x 2-2x-33 分自变量范围：-1x3 4 分解法 2：设抛物线的解析式为 (a0)cbxay2根据题意可
24、知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0 ，-3)三点都在抛物线上 ，解之得：309cba321cbay=x 2-2x-33 分自变量范围：-1x3 4 分(2)设经过点 C“蛋圆”的切线 CE 交 x 轴于点 E，连结 CM，在 RtMOC 中，OM=1，CM=2，CMO=60,OC= 3在 RtMCE 中，OC=2，CMO=60，ME=4点 C、E 的坐标分别为(0 ， )，(-3,0) 6 分3切线 CE 的解析式为 8 分xy(3)设过点 D(0，-3) ，“蛋圆” 切线的解析式为：y=kx-3( k0) 9 分由题意可知方程组 只有一组解32xk即 有两个相等实根，k=-2 11 分323xkx过点 D“蛋圆”切线的解析式 y=-2x-312 分AOBMDC解图 12yxE
