1、空间几何体的体积,香港道教联合会圆玄学院第三中学赖俊荣老师韶关始兴县始兴中学教育交流12.12.2005,圆玄三中,柱体的体积,柱体的体积 (正方体、长方体、棱柱、圆柱、)V柱体= Sh 其中S 为底面面积、h 为柱体的高,柱体的体积例：圆玄三中校舍,V校舍 = 80 3 0 50= 120 000 m3,锥体的体积,锥体的体积 (棱锥、圆锥)V锥体= Sh其中S 为底面面积、h 为锥体的高,锥体与柱体体积之间的关系,锥体的体积,V锥体 = 22 2.7= 3.6 m3,台体的体积,台体 (棱台、圆台)V台体 = (S + + S)h其中S ,S 分别为上, 下底面面积、h 为台体的高,V布丁
2、 = (S + + S)h= ( 32 + + 52) 4 = 205.3 cm3,台体的体积例：布丁,V柱体 = Sh (其中S为底面面积、h为柱体的高)V锥体 = Sh (其中S为底面面积、h为锥体的高)V台体 = (S + + S)h(其中S ,S分别为上, 下底面面积、h为台体的高),柱体、锥体及台体的体积之间的关系,您能发觉三者之间的关系吗?,其实, 柱体及锥体可以看作为 “特殊” 的台体柱体的上底面与下底面的面积是一样, 即 S = SV柱体= (S + + S)h = ( 3S )h = Sh,柱体、锥体及台体的体积之间的关系,柱体、锥体及台体的体积之间的关系,锥体的上底面的面积
3、是0, 即 S = 0V锥体= (0 + + S)h = Sh,柱体、锥体及台体的体积之间的关系,各面积公式之间的关系,A平行四边形= 高 底 A三角形 = (高 底) 2 A梯形 = (上底下底) 高 2,这跟柱体、锥体及台体的体积之间的关系的情况一模一样！,各面积公式之间的关系,球的体积,球的体积V球 = 其中R为球的半径,名为“Fanfare”三维的空心球体结构上面均匀分布了350个银色风车，5层楼高直径为20米，重达19吨。 (悉尼 ),球的体积例：空心球,某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/m3）. 每个钢球重145kg, 并且外径等于50cm. 试根据以上数据, 判断钢球是实
4、心的还是空心的. 如果是空心的, 请你计算出它的内径（取3.14, 结果精确到0.1cm）.解：由于外径为50cm的钢球的质量为7.9 517 054g街心花园中钢球的质量为145 000g, 而145 000 517 054, 所以钢球是空心的.,解(续)：设球的内径为2x cm. 那么球的质量为7.9 x3 = 145000解得x3 11240.98x3 22.4,球的体积例：空心球,某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/m3）. 每个钢球重145kg, 并且外径等于50cm. 试根据以上数据, 判断钢球是实心的还是空心的. 如果是空心的, 请你计算出它的内径（取3.14, 结果精确到
5、0.1cm）.,解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体的差，即V = 122610 10 2956 (mm3) 答：该六角螺帽的体积是2956 mm3,空间几何体的体积例：55页例1改,已知一个六角螺帽的底面积是正六边形, 边长为12mm, 内孔直径为10mm, 高为10mm. 求该六角螺帽的体积.,空间几何体的体积例：56页第2题,已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2, 高为4cm, 现将它熔化后铸成一个正方体的铜块, 那么铸成的铜块的棱长为多少(不计损耗)?解：设 x cm 为正方体铜块的棱长因为V五棱柱= V正方体16 4 = x3 x = 4,空间几何体的体积例：组合体 (56页例
6、2),图中是一个奖杯的三视图(单位：cm), 试画出它的直观图, 并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm).,空间几何体的体积例：组合体 (56页例2),直观图,空间几何体的体积例：组合体 (56页例2),V正四棱台 = 5 (152 + 15 11 + 112) 851.667V长方体= 6 8 18 = 864V球 = 113.097V = V正四棱台 + V长方体+ V球 = 1828.76 (cm3),空间几何体的体积例：60页第9题,一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)。试画出它的直观图；求它的体积。,空间几何体的体积例：60页第9题,(2)梯形面积 A = ( 1 +
7、2 ) 1= 1.5 m2几何体的体积 V= 1.5 1= 1.5 m3,2,1,1,1,小结,柱、锥、台体的体积之间是否存在一定的关系?图形的面积之间是否也存在这关系?球是比较特别的空间几何体, 它的体积公式是什么?怎样利用软件, 由三视图士想象出空间几何体的形状?,体积的近似计算,以下是两种常用的近似计算体积的方法：网格标高法用网格分割某区域, 如果知道每个网格点的高度(深度) , 我们就能估算一区域的体积。平均面积法如果几何体的剖面由一种形状逐渐变化为另一种形状, 这时可用两头面积的平均值来估算。,网格标高法,一小区域的体积 A 整块区域的体积 V A (H1 + 2H2 + 3H3 +
8、 4H4)其中, Hn = 仅位于n个小区域上的格点的高度之和 ( n = 1, 2, 3, 4),网格标高法,体积 V X1 + X2 + X3 + X4 + X5 2491.9 (立方单位),X1 ( 5.183 + 5.023 + 5.015 + 5.102 ) = 5.081X2 ( 5.023 + 4.942 + 4.934 + 5.015 ) = 4.979 X3 ( 4.942 + 4.823 + 4.755 + 4.934 ) = 4.864 X4 ( 5.102 + 5.015 + 5.007 + 5.018 ) = 5.036 X5 ( 5.015 + 4.934 + 4.
9、887 + 5.007 ) = 4.961,网格标高法,H1 = 5.183 + 4.823 + 4.755 + 5.018 + 4.887 = 24.666 (单位)H2 = 5.023 + 4.942 + 5.102 + 5.007 = 20.074 (单位)H3 = 4.934 (单位)H4 = 5.015 (单位)V 100 (24.666 + 2 20.074 + 3 4.934 + 4 5.015) (立方单位) 2491.9 (立方单位),平均面积法,V l其中A1, A2 为两个横断面的面积l 为相邻两个横断面的距离,平均面积法,A1与A2之间的体积V1 (25.3 + 24.
10、8) 28 701.4 (m3)A2与A3之间的体积V2 (24.8 + 21.7) 31 720.8 (m3)A3与A4之间的体积V3 (21.7 + 19.4) 18 369.9 (m3)V 701.4 + 720.8 + 369.9 1792.1 (m3),A1 = 25.3 m2A2 = 24.8 m2A3 = 21.7 m2A4 = 19.4 m2,练习,空间几何体的体积第56页 第1 4题体积的近似计算第59页 第1题 (网格标高法)第59页 第2题 (平均面积法),网上资源,http:/www.hktayy3.edu.hk/maths/special/sg.php其中包括： 教学简报 附件 网上自我评估,
