1、2013 高考数学备考训练-正弦定理和余弦定理应用举例一、选择题1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 之间的关系是( )A BC90 D180答案 B2如图，在河岸 AC 测量河的宽度 BC，图中所标的数据 a，b，c ， ， 是可供测量的数据下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )Ac 和 a Bc 和 bCc 和 Db 和 答案 D3已知 A、B 两地的距离为 10 km，B、C 两地的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A、C 两地的距离为( )A10 km B. km3C10 km D10 km5 7答案 D解析 AC AB2 BC2
2、 2ABBCcos120 10 (km)102 202 2102012 74某人在山外一点测得山顶的仰角为 42，沿水平面退后 30 米，又测得山顶的仰角为 39，则山高为(sin42 0.6691 ，sin39 0.6293，sin30.0523)( )A180 米 B214 米C242 米 D266 米答案 C解析 BCA42 ，BDA39 ，DBC3.在BDC 中，DC30， ，DCsin3 BCsin39BC .30sin39sin3在 RtABC 中，ABBCsin42 242.30sin39sin42sin35在 200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30，60，
3、则塔高为( )A. m B. m4003 40033C. m D. m20033 2003答案 A解析 在 Rt BAC 中ABC30，AB200，BC ，ABcos30 4003 3EBD30， EBC60 ，DBC30， BDC120，在BDC 中， ，DCsin30 BCsin120DC (m)BCsin30sin1204003 31232 40036有一长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为 10，则斜坡长为_千米( )A1 B2sin10C2cos10 Dcos20答案 C解析 由题意知 DCBC1，BCD160，BD2DC 2CB 22DC CBcos16011
4、211cos(18020)22cos204cos 210，BD2cos10.二、填空题7(2010潍坊质检)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km，B 船在灯塔 C 北偏西 40处，A、B 两船间的距离为 3 km，则 B 船到灯塔 C 的距离为_km.答案 16解析 如图，由题意可得，ACB120， AC2，AB 3.设 BCx， 则由余弦定理可得：AB2BC 2AC 22BC ACcos120，即 32x 22 222x cos120，整理得 x22x5，解得x 1.68如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出
5、入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米答案 17500解析 连接 OC，在OCD 中，OD100， CD150，CDO60，由余弦定理得：OC2100 2150 22100150cos6017500.9(2011沧州七校联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和30，第一排和最后一排的距离为 10 米( 如图所示)，旗杆底部与第一排在一个
6、水平面6上若国歌长度约为 50 秒，升旗手应以_( 米/秒) 的速度匀速升旗答案 0.6解析 在BCD 中，BDC45， CBD30，CD10 ，由正弦定理，得 BC620 ；CDsin45sin30 3在 RtABC 中，ABBCsin6020 30(米) 332所以升旗速度 v 0.6(米/秒)ABt 3050三、解答题10如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75，距离为 12 n mile，在 A 处6看灯塔 C 在货轮的北偏西 30，距离为 8 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看3灯塔 B 在北偏东 120.求：(1)A 处与 D 处的距离；(2)灯
7、塔 C 与 D 处的距离解析 (1)在ABD 中，ADB 60 ，B45，由正弦定理得 ，ADsinB ABsinADB即 AD 24(n mile)ABsinBsinADB1262232(2)在ACD 中， AC8 ，CAD30，3由余弦定理得 CD2AD 2AC 22AD ACcosCAD24 2(8 )22248 cos303 3192.即 CD8 14(n mile)3因此 A 处与 D 处的距离为 24 n mile，灯塔 C 与 D 处的距离 约为 14 n mile.11.如图，港口 B 在港口 O 正东方 120 海里处，小岛 C 在港口 O 北偏东 60方向、港口 B北偏西
8、30方向上一艘科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 30的 OA 方向以 20 海里/时的速度驶离港口 O.一艘快船从港口 B 出发，以 60 海里/时的速度驶向小岛 C，在 C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要 1 小时，问快艇驶离港口 B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析 设快艇驶离港口 B 后，最少要经过 x 小时，在 OA 上点 D 处与考察船相遇，连结CD，则 快艇沿线段 BC、CD 航行在OBC 中，BOC30，CBO60，BCO90. 又 BO120，BC60，OC 60 .3快艇从港口 B 到小岛 C 需要 1 小时在OCD 中， C
9、OD30，OD 20x ，CD60(x2) 由余弦定理，得 CD2OD 2OC 22ODOCcos COD.602(x 2)2(20x) 2(60 )2220x60 cos30.3 3解得 x3 或 x .x1，x3.38答：快艇驶离港口 B 后最少要经过 3 小时才能和考察船相遇12.(2010陕西卷)如图， A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 )海里的两个观测点现3位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，3该救援船到达 D 点需要多长
10、时间？答案 救援船到达 D 点需要 1 小时解析 由题意知 AB5(3 )海里，3DBA906030，DAB90 4545，ADB180(4530)105，在DAB 中，由正弦定理得 ，DBsinDAB ABsinADBDB 10 (ABsinDABsinADB 53 3sin45sin105 53 3sin45sin45cos60 cos45sin60 53 3 13 12 3海里) ，又DBCDBA ABC30(9060)60， BC20 (海里) ，3在DBC 中，由余弦定理得CD2BD 2BC 22BDBCcosDBC3001200210 20 900，3 312CD30( 海里 )，
11、则需要的时间 t 1(小时) 3030答：救援船到达 D 点需要 1 小 时注：如果认定DBC 为直角三角形，根据勾股定理正确求得 CD，同样给分1.(南京第一次调研)如图，海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A，B，灯塔 B 位于灯塔 A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔 A 的北偏西 75方向，与 A 相距 3 海2里的 D 处；乙船位于灯塔 B 的北偏西 60方向，与 B 相距 5 海里的 C 处则两艘轮船之间的距离为_海里答案 13解析 连接 AC，ABBC，ABC60， AC5；在ACD 中，AD3 ，AC5，DAC45 ，由余弦定理得 CD .2 132甲船在 A 处观察乙
12、船在它的北偏东 60的 B 处，此时两船相距 a 海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的 倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行3驶了多少海里？解析 如图所示，AC 为甲船的航行路线，BC 为乙船的航行路线，设甲船取北偏东 的方向去追赶乙船，在 C 点处追上，若乙船行驶的速度是 v，则甲船行驶的速度是 v，由于甲、乙两3船到达 C 点的时间相等，都为 t，则 BCvt ，AC vt.ABC120.3由余弦定理可知AC2AB 2BC 22AB BCcos120，即 3v2t2a 2v 2t2avt.所以 2v2t2avta 20.解得 t1 ，t2 (舍去)av a2v所以 BC
13、a，CAB30，30.即甲船应取北偏东 30的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶 a 海里3(2010福建卷，文) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/ 小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航
14、行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由解析 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则S 900t2 400 230t20cos90 30 900t2 600t 400 ，900t 132 300故当 t 时，S min10 ，v 30 .13 3 10313 3即小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇 时小艇的航行距离最小3(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，如图所示由题意可得：(vt) 220 2(30 t)222030t cos(9030)，化简得：v2 900400( )2675.400t2 600t 1t 34由于 00
15、)，400t2 600t 1t于是 400u2600u900v 20.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：Error!解得 15 u30.3所以 v 的取值范围是(15 ，30)34.如图，某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地，ABC 外的地方种草，ABC的内接正方形 PQRS 为一水池，其余地方种花若 BCa，ABC ，设ABC 的面积为S1，正方形 PQRS 的面积为 S2，将比值 称为“规划合理度” S1S2(1)试用 a， 表示 S1 和 S2.(2)当 a 为定值， 15，求“规划合理度”的值解析 (1)如题图，在 RtABC 中，AC asin ，ABacos，S 1 a2sincos a2sin2，12 14设正方形的边长为 x，则 BQx cot，RCxtan，xcotx x tana.x ，acot tan 1 asin22 sin2S2( )2( )2.acot tan 1 asin22 sin2(2)15时， S1 a2sin30 a2，14 18S2( )2 ， asin302 sin30 a225 S1S2 258
