1、论 文 题 目：数学史与中学教育目 录数学史与中学教育摘要本文密切联系中学数学学习和数学教学工作，对在中学数学教学中渗透数学史教育进行了研究。从目前中学数学教学面临的尴尬和原因分析，数学史在中学数学教学中的意义、作用和原则，在中学数学教学中渗透数学史教育的方法等方面讨论了数学史在中学数学教学中的渗透问题。并讨论了在中学数学教学中渗透数学史教育应注意的问题，最后提出了在中学数学教学中渗透数学史教育的一些建议。在理论和实践相结合的基础上给出了在中学数学教学中渗透数学史教育的具体方法。指出了数学史在中学数学教学中渗透对改善中学数学教学的作用。关键字： 数学史，中学数学教育，地位，作用西 南 大 学
2、网 络 教 育 学 院毕 业 论 文数学史与中学教育一引言作为一门学科，“数学史”一词对于广大中学教师来说也许并不熟悉，毕竟决大多数教师都未曾把它当作一个学科来研究或学习过。不过，如果把它作为一般的名词“数学的历史”来理解当然不会陌生。因为我们以前的老课程尽管在这方面并不是非常注重，但有些教师还是会有意无意地获得一些与数学知识本身发展的来龙去脉有关的知识。 就我从事中学数学教育多年所得到的经验而言，中学数学教学不得不面对的一个尴尬:想学，学不懂；想教，又教不会。这大大影响了数学教学质量的提高和创新能力的培养。首先学生是想学，学不懂。大多数学生都认为数学重要，很想学好。不少学生虽然学习数学也很努
3、力，但成绩却总不尽如人意。在他们看来，学数学比登天还难，教科书中那一行行数字、一串串符号，简直就是一个个砸不开、敲不烂的顽石，很难知道其中包含着什么，只好死记硬背，使得数学学习变得枯燥乏味，毫无兴趣。无兴趣、无激情自然无动力，学习灵感就更谈不上了。再者是教师想教，又教不会。不少数学教师常常为教不会数学而犯难。他们为了讲好数学课确实下了一番工夫，有的废寝忘食的工作，有的通宵达旦的备课，有的一遍又一遍的讲述，但有些学生就是不理解。他们只好布置大量的作业，实行题海战术，到头来学生作业负担加重，学习成绩还是上不来。造成这种尴尬局面的原因是多方面的，其中最主要的原因恐怕是学科本身的特性和教学方法的不当。
4、数学来源于实践，是在解决实际问题中产生的。随着数学的发展，理性的思辨数学产生了，人们从纯理论的假设出发，推导出相应的数学理论，形成纯粹数学，将数学从原始形态转化为学术形态，内容的抽象、结构的严谨、应用的广泛和知识的连续特征逐渐显现。数学教材从知识的逻辑性出发，将原来数学形成的历史一扫而空，剩下的只是公式的堆积和字母数字的堆砌，学生根本看不到活的数学。正如一位数学家所讲:“过度形式化，把光彩照人的数学女王，用 X 光看成一副骨架。”在数学教育中再也看不到实际的需求和理性的假设，数学成为死的知识。加之数学教师不会合理有效地把数学的学术形态转化为教育形态，仍然采取“烧中段”的教学法，便出现了教师教死
5、书、死教书，学生读死书、死读书的数学学习法。因而，枯燥、乏味、难理解，就自然而然地成为数学的代名词。就上述原因而言，解决的方法也很多，在中学数学教学中渗透数学史教育就是较好的方法之一。二数学史在中学数学教育中的作用著名数学家、数学教育家克莱因认为数学史教育能激励学生不断进取，他曾指出:“历史可以在教学中扮演很重要的角色。例如，假如告诉初学微积分的学生们:尽管牛顿和莱布尼兹是声名显赫的前辈，他们自己也没有透彻理解微积分的许多概念，数学家们大约经过将近 200 年的努力才把这些概念弄准确。那么，学生们在开始时不能很好地理解这些概念，也就不至于感到迷茫。相反他们将得到鼓舞而继续学习。历史还有许多其它
6、的教育价值。当代杰出的美国数学家、教育家 G波里亚认为通过接触数学史可使学生加深对知识的理解，学习数学只有看到数学的产生，按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时，才能更好地理解数学。从上述观点来看，教育工作者的任务是要让学生的意识经历他们上一代人所经历的，迅速地通过某些阶段，但不会跳过任何阶段。对学生来说这是最自然的方法学习数学。 具体来讲，数学史在数学教育中至少有一下几种作用：（一） 数学专业方面1 数学史为数学学习提供了资源数学史为数学学习提供了大量的、相关的题目、问题。而这些资源不仅仅是它们的内容具有教育价值，而且它们对学习者是一种潜在的动机，可以激发学习数学的兴趣，吸引学生解决数学
7、问题。2.数学史提供了数学学习的活动历史上重要的题目、问题和解答为数学学习提供了广泛的活动，无论是对原始资源的直接使用，还是用现代语言重新建构的问题，学生们通过问题的错误的观点、启发式的观点，不确定的、怀疑的、直观的观点，争议的、可选择的方法学习，这不仅是合理的，而且是数学产生过程的一个完整部分。在数学课堂中，读和写的活动常与上述一些观点和方法有机地结合为一种自然的活动，这种活动不是人为造出来的。通过这些活动，学生会更加理解为什么（在过去的）推测和证明不能提供已经存在问题满意的回答，间接地，学生也许会被鼓励去形成自己的问题，产生推测，捕获它们。通过数学史组织的数学活动可以发展学生个人的成长和技
8、能，不仅仅是必须的数学方面的发展，如阅读、写、寻找资源和文献，讨论、分析和探讨数学（不是做数学）。3.数学史提供了一种非线性的方式学习数学数学观点发展的进程不像现代教科书上所呈现得那么平稳地发展。在教科书上呈的“作为完成品的数学”与“产生过程中的数学”是完全不同的。大多数数学的观点不会以它们被发现的方式呈现在教科书上，然而现代教科书将数学的发展假扮成非线性的方式，与此同时，这些教科书哄骗学生相信数学知识遵循着他们预先知道的那样平稳地发展。从本质上将人类的思考从数学的发展中除去。当一个问题已经被解决，这个结果就转变为理论。教师将教这个理论，但是不会提及这个理论被发现时的问题。正如弗赖登塔尔（Fr
9、eudenthal）所指出的：这个顺序被颠倒了。这被他称作为“反教学法的倒置”（anti-didactical inversion），因此他建议：“年轻的学习者重蹈人类学习过程，尽管方式改变了”11。他所建议的方式指的是：对于知识点 P 与 Q，即使知识点 P 在逻辑上先于知识点 Q，但是如果 Q 在历史上先于 P 出现，那么我们还是要先教 Q，而数学史恰好可以提供这种学习方式。（二） 数学教育方面1数学史提供了教师组织数学知识的方式数学的教学总是以演绎推理的组织形式进行，然而数学历史的发展展示了数学原理的演绎推理的组织要在这个原理达到成熟才能产生，因此，在教学时有必要对这些逻辑的和完整的结构
10、背后包含的现象进行描述。Freudental（1983）描述了这一现象：“没有数学观点是以它被发现的顺序公布，如果一个问题已经解决，那么解决问题的过程被隐藏。” 数学通常被全面地重新组织，一方面，这种重新组织可以防止扭曲和冗长的描述。另一方面，问题和题目（这些是构成观点发展的主要动机）被隐藏在线性组织和演绎知识的背后。这样新的知识以简单的积聚方式增加。因此教师可以用数学发展的顺序来组织数学知识，这样可以帮助发现“数学概念、结构、观点是怎样被发明用来作为一种工具，组织物理社会和思维世界的现象（Freudental 1983） ”。以这种方式，对于数学概念、结构、观点的学习，学生能够从它们是为什么
11、被创造中获得动机。教师可以通过历史发展中数学原型的学习、认识数学知识背后的动机，从而组织数学。当然，这种方式并不是要确切地遵循复杂的历史发展来描述数学主题。数学史能够以最自然地方式，最好的可能的方法描述数学，通过保持最少的逻辑代沟，特别地引进概念、方法和证明，以这种方式，数学史料可以帮助教师重新组织教科书上的知识，帮助教师教数学。2 数学史能够使教师意识到学生学习数学的困境国外一些学者指出，学生的错误、认知障碍与数学历史发展中的问题之间有一定的联系，并且坚信历史上大数学家所遇到的困难正是学生也会遇到的学习障碍，因而历史是教学的指南。举负数做例子：从一流数学诞生开始，数学家花了 1000 年才认
12、识负数概念，又花了 100 年才接受负数概念，因此我们可以肯定，学生学习负数时必定会遇到困境，而且他们克服这些困难的方式与数学家也是大致相似的。历史的重要瞬间的知识能够提供教师一种工具来发现数学学习中的认知障碍，它能帮助教师更好地理解在某一主题中的错误和误概念，能够帮助解释现今学生发生的困难。3数学史能丰富教案，提高教学水平许多学者提到在教师培训课程中教授数学史的必要性，这样可以影响教师的观点，丰富教师的教案。教师可以通过使用数学史中的解释、例子、多样的方法来呈现数学主题或问题解决，从而丰富教学内容。这是一种提高教学技能的方法。数学史可以扩大并加深教师对某一数学主题的理解，用数学史中的多样的例
13、子和方法来呈现某一数学主题，教师可以通过阅读旧的资源，可以更好地洞察什么是数学的本质，从而改善教师的教学技巧。（三） 其他方面1.学习数学史有利于培养学生正确的数学思维方式现行的数学教材一般都是经过了反复推敲的，语言十分精练简洁。为了保持了知识的系统性，把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，缺乏自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生接受知识，但很容易使学生产生数学知识就是先有定义，接着总结出性质、定理，然后用来解决问题的错误观点。所以，在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾：一方面，教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识，将知识系统化；
14、另一方面，系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的。影响了学生正确数学思维方式的形成。数学史的学习有利于缓解这个矛盾。通过讲解一些有关的数学历史，让学生在学习系统的数学知识的同时，对数学知识的产生过程，有一个比较清晰的认识，从而培养学生正确的数学思维方式。数学史的学习也可以引导学生形成一种探索与研究的习惯，去发现和认识在一个问题从产生到解决的过程中，真正创造了些什么，哪些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的实质性进步。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，有利于学生对一些数学问题形成更深刻的认识，了解数学知识的现
15、实来源和应用，而不是单纯地接受教师传授的知识，从而可以在这种不断学习，不断探索，不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式。2. 学习数学史有利于提高学生学习兴趣，更好感知数学美通过对数学史的学习，可以使学生更好地感知和理解数学美提高他们的审美情趣，陶冶情操，从而更热爱数学这门学科，执迷于对数学的探索数学美指的是数学具有简洁性、对称性、和谐性和奇异性德国数学家弗希纳做过一次别出心裁的试验，他召开了一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形结果矩形的长与宽之比为 0.618 的矩形被为是最美的矩形0.618“黄金比值”，这一神秘的数字，蕴涵着奇异的数
16、学美，这一美的密码一经被人类掌握，立即成为服务于人类的法宝艺术家们则用它创造出更加令人神往的艺术珍品；设计家利用它设计出巧夺天工的建筑；科学家们则在科学的海洋尽情地欢奏 0.618 这一美的旋律此外像对数螺线、裴波那契数列，哥德巴赫猜想、费马最后定理、四色问题、多阶幻方等给人以美的欢乐、醉心的向往.三数学史教育在中学数学教育中的定位数学的发展不仅仅是因为数学内部发展的需要，从更广泛的角度讲，文化和社会的因素同样推动数学的发展，有学者指出教师的责任中强调了数学教师是数学文化的传递者。而通过数学史恰恰可以揭示其中的联系。数学史可以帮助提供鼓励多文化的方法。现代形式下的数学几乎被看成是西方文化的产物
17、，通过历史的学习，出现在其它文化背景下的很少被人所知的数学方法（例如民俗数学）可以被考虑到。让学生认识到这些民俗数学方法在他们的进程中所起的作用。在一些情况下，对这些文化的自如运用能够帮助教师在课堂上更好的调动学生的热情，更容易激发兴趣，更好的与学生交流。通过重新评价当地文化遗产，能够帮助发展同学之间的坚韧性和相互尊重。数学史给学生一个历史的模型，使数学学习与人类的情感和动机联系起来。通过数学史料的研究，学生能够有机会看到推动数学发展不仅仅是功利的原因，而且还有数学自身的价值取向。推动数学发展的动力有美学的标准、智力上的好奇、挑战和愉快、再创造的目的等，通过数学史可以使学生了解这些动力，了解在
18、数学发展过程中人类孜孜以求的人文精神。数学史能使学生获得更加准确的数学图式和他们在学习过程中的角色，它使学生确信一个人文的侧面被放置到课题中，而这些则被长期忽视。使用数学史的一个重要方面是与作出数学贡献的人的真实故事相联系，通过将学生带入到数学家的调查和特殊数学发展所在背景的调查，可以提供学生对数学作为人类文化活动的意识，而且使得数学不会很枯燥，从而提高学生对数学学习的兴趣。最重要的是通过数学史学生意识到：“数学不是偶然发生的，而是在数学家所工作的时代精神（流行文化的本质）和政策、社会经济情况的影响下，数学被促进或阻碍。同时，学习数学史可以提高学生的美学修养。数学是美的，无数数学家都为这种数学
19、的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质，数学史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。例如毕达哥拉斯定理（勾股定理）是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定理，有着极为广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣，意大利著名画家达芬奇、印度国王 Bhaskara、美国第 20 任总统Carfield 等都给出过它的证明。1940 年，美国数学家卢米斯在所著毕达哥拉斯命题艺术的第二版中收集了它的 370 种证明，充分展现了这个定理的无穷魅力。黄金分割同样十分优美和充满魅力，早在公元前 6 世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，近代以来人们又惊讶地
20、发现，它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。同时，在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时，可以形成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也得到了提高，这是德育教育一个新的突破口。普通高中数学课程标准（实验）在教学内容上增加了数学史方面的内容，提供了有关的 11 个专题，指出要通过数学史的学习使学生“体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。”数学不是一些结果的严格的结构化系统，而是一个连续的进化着的人类智力进程，与其它学科、文化和社会紧密相连。在 HIMED90（H
21、istory in Mathematics Education）的会议上提出了这样一个问题：数学是否应该发展更多的人文化的侧面，这个问题的回答是肯定的。在一些情况下，展示数学文化是一种目标。在另一些情况下，作为在历史的观点中的教学结果。因此，事实上，数学史教育就是数学教育中的人文科学教育，是目前素质教育的重要组成部分。四数学史与中学数学教育的融合方式探讨中学的数学史教育亟待发展，数学史料亟待丰富在目前的教材中数学史料仅以序言、注解、正文简介的形式出现，已远远满足不了学生的需要，本文提出如下建议：1.制定教学计划，把数学史作为选修内容，明确要求同数学知识同等重要，中小学教材应结合教材内容，又要适
22、合学生的不同年龄阶段增加数学史的内容2.增加中学数学史料的内容，把它同数学知识有机地结合起来如中学数学中的几何图形的面积计算，在九章算术中有记载，介绍给学生理解面积的计算很有价值如邪田（梯形）的面积的算法是“并两邪而半之，以乘正从（高）”就是说：梯形面积上底与下底之和的一半再乘高3.教材中数学史知识不能仅限于中国数学史，世界上一切重大的数学成就都应看成是人类的共同财富应客观、公正地提供与教学内容相关的数学史知识4.加强在职教师的数学史知识培训，鼓励教师自学，有条件的学校可以派教师到大学去进修再带动其它教师5.以多种渠道、多种方式渗透数学史 以阅读材料或附录的形式在章末出现，这在国外已有成功的经
23、验它的优点既不打破原教材的格局，又能发挥数学史料的作用 以选修课的形式出现，介绍世界数学史，使学生开阔眼界 发挥学生的主观能动性，让学生主编数学板报，介绍数学家的事迹、历史名题等 改变教材的版面设计，以学生喜闻乐见的形式出现现在的小学教材正向这种趋势过渡这样增加了趣味性，寓教于乐 充分利用电脑、多媒体等现代化教学手段，制成多媒体教学光盘，供教师、学生用 充分利用科普读物的传播功能近年来优秀的科普读物实在太少，希望数学家们多出版一些有关数学史的科普读物 经常在学校举办一些数学史的专题讲座选择一些情节生动、发展曲折具有教育意义的专题古今中外的数学史中，蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败
24、的教训将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力措施，也是摆在数学史专家、教材编写专家及广大数学教师的一项艰巨任务数学史知识的运用必然会推动数学教育事业的巨大发展，使巍峨的数学宫殿更加金碧辉煌！参考文献：中华人民共和国教育部制订 普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社 2003张楚廷 著 教育部高等教育司 组编 数学文化 高等教育出版社 1999Freudental,HDidactical phenomenology of mathematical structuresDordrecht：Reidel1983克莱因 M古今数学思想M北京大学数学系数学史翻译组译上海：上海教育出版社，1979赵鸿涛 李华轩 高中生数学学习情况的调查 新乡教育学院学报 2003 年 04期张楚廷 著 教育部高等教育司 组编 数学文化 高等教育出版社 1999致谢：在此，我感谢奥鹏学习中心的指导老师，教授为我悉心指导：特别感谢西南大学的张广祥教授，为我的学位论文提纲，初稿到终稿为我提供宝贵意见、建议。使我在西南大学的学习生活过程中感到快乐。
