1、48数学分析教学大纲(288 学时,16 学分)一、课程目标1、课程性质数学分析是数学系的一门重要基础课，它是一系列后继课程如微分方程，微分几何，复变函数，实变函数，泛函分析，概率论以及相关课程如普通物理，理论力学等不可缺少的基础。学习这门课程的基本内容与方法对于培养学生的分析思维能力与实际工作能力有着重要的作用。 本课程的基本内容包括：实数与极限理论，一元及多元函数的微分学与积分学，级数理论。 2、教学方法:课堂讲授和练习结合为主3、课程学习目标和基本要求通过教学与练习，要求学生掌握微积分的基本概念，基本理论,基本思想方法和基本运算，并获得运用这些知识的能力。4、课程学时：本课程的安排三学期
2、授课，分为数学分析(上)、(中)、(下)，总学时为90+108+90，学分为 5+6+55、课程类型：专业基础课二教学内容1、 集合与映射：集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合运算的交换律、结合律、分配律，笛卡儿乘积，映射、满射、单射、双射、逆映射，像与逆像，映射的复合，映射的限制与延拓，一元函数，函数的四则运算与复合以及反函数，函数的图象，初等函数，函数的单调性、有界性、周期性与凸性。2、 极限与连续：数列极限的定义，数列极限的唯一性，收敛数列的有界性，极限的四则运算，极限的不等式，单调有界原理，数 e，无穷小量与无穷大量，函数极限的定义，与数列极限性质相平行的函数极限的性质，函数极限与
3、数列极限的关系，单侧极限与无穷远处的极限，复合函数的极限，两个重要的极限，无穷小量与无穷大量的阶，函数的连续与间断，单侧连续，函数连续的局部性质，连续函数的四则运算，反函数与复合函数的连续性。间断点的分类，初等函数的连续性，函数连续的整体性质。一致连续的概念和 cantuo 定理.3、 导数与微分：导数及其几何意义，导数的四则运算，反函数与复合函数的求导，参数方程所表示的函数与隐函数的求导，基本初等函数的导数，可导与连续的关系，单侧导数，高阶导数，Leibniz 公式。线性函数与微分，微分与导数的关系，微分的四则运算，反函数与复合函数的微分， 一阶微分形式的不变性，高阶微分。4、 微分学基本定
4、理及其应用：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy中值定理。Taylor 公式，Taylor 公式的 Peano 余项及 Lagrange 余项。某些初等函数的 Taylor 展开式。微分学应用：待定型的定值法，函数的升降，极值，最值，凸性，拐点的判定，渐近线，函数的作图，曲率，曲率半径，曲率圆。5、 不定积分：原函数与不定积分，基本积分公式，运算法则。 不定积分的换元法与分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些可有理化的函数的积分。496、 黎曼积分：R-积分，达布上、下和与上、下积分，R-可积的充要条件，R-可积与函数运算，重要的可积函
5、数类，R-积分的线性性、可加性与正性，第一积分中值定理，变动上限积分所定义的函数的连续性与可微性。黎曼积分的计算：N-L 公式，换元法与分部积分法，R-积分的近似计算。定积分的元素法与应用：面积、体积、弧长、旋转面的面积、重心、压力、功。7、 实数理论与连续函数的整体性质：上、下确界，确界原理，单调有界原理，闭区间套定理，致密性定理，柯西收敛原理，有限覆盖定理，实数系的公理体系。有界闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最值定理，介值定理。反函数连续性定理，一致连续性定理。8、 数项级数：数列的上、下极限，部分和极限。数项级数收敛与发散，级数收敛的必要条件，收敛级数的线性运算与结合律，柯西收敛原
6、理。单调有界原理，正项级数审敛法：比较判别法，柯西根值法，达郎贝尔比值法，积分判别法，拉伯判别法。任意项级数审敛法：莱布尼兹判别法，阿贝尔变换与阿贝尔判别法，狄里克莱判别法。绝对收敛级数与条件收敛级数，更序级数，黎曼定理，级数的乘法，柯西乘积。9、 广义黎曼积分：两类广义积分的收敛与发散，广义积分与级数，积分第二中值定理，比较判别法，柯西判别法，阿贝尔判别法，狄里克莱判别法，柯西积分主值。10、 函数项级数：函数项级数的一致收敛，一致收敛的柯西收敛原理，M-判别法，狄里克莱判别法，狄尼定理，一致收敛级数的和函数的连续性，可微性与可积性，逐项求导与逐项求积。幂级数的收敛半径，柯西-阿达玛定理，阿
7、贝尔第一、第二定理，幂级数的和函数的性质，函数的幂级数展开。Weierstrass 定理11、 Fourier 级数与 Fourier 变换：正交函数系，三角函数系的正交性，Fourier 系数，Fourier 级数。Dirichlet 积分，Riemann 引理，局部化定理，Dini 判别法，Dirichlet-Jordan 判别法，函数的 Fourier 级数展开，Fourier 级数的逐项求导与逐项求积，Fourier 级数的复数形式。Fourier 变换与逆变换，反演公式，Fourie 变换的性质12、 多元函数极限论：欧氏空间中的拓扑性质：范数，邻域，开集，闭集，开核，闭包，有界集，
8、紧集，连通集，区域，聚点，点列的极限，柯西收敛原理，交集定理，致密性定理，有限覆盖定理，多元函数的极限与累次极限，函数的连续性，有界闭区域上连续函数的性质。 13、 多元微分学：偏导数及其几何意义，线性函数与全微分，连续可微、可偏导之间的关系，链式法则，高阶偏导的次序交换定理，隐函数的偏导计算，高阶全微分，一阶微分形式的不变性。方向导数与梯度的定义与计算，梯度。Taylor 公式。14、 向量值函数：向量值函数的极限与连续，向量值函数的偏导数和方向导数，线性映射与全微分，坐标函数，链式法则，Jacobi 阵。15、 隐函数：压缩映射原理，正则映射，反函数定理，隐函数定理，函数行列式的性质，函数
9、相关。16、 多元微分学的应用：曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，极值与条件极值，Lagrange 乘数法。17、 含参变量积分：含参量常义积分所定义的函数的连续性、可微性、可积性，求导与积分,积分与积分的次序交换。含参变量广义积分的一致收敛及其判别法，含参量广义积分所定义的函数的性质，尤拉积分， 伽马函数与 B 函数。5018、 多重黎曼积分：重积分定义与性质，达布上、下和与上、下积分，可积的充要条件，可积函数类。重积分的计算：化重积分为累次积分，重积分的换元法，极坐标，柱坐标，球坐标。重积分的应用：曲面面积，重心，转动惯量，引力。广义重积分。19、 曲线积分与曲面积分：定向曲线，定向
10、曲面，两类曲线积分与两类曲面积分的定义，性质，计算及应用。20、 向量场分析初步： Green 公式，Gauss 公式，Stokes 公式，曲线积分与路径无关的条件，场的三度，保守场与管量场。三、学时分配 序号 内 容 课 时1 集合与映射 6 学时2 极限与连续 16 学时3 导数与微分 10 学时4 微分学基本定理及其应用 14 学时5 不定积分 8 学时6 黎曼积分 18 学时7 实数理论与连续函数的整体性质 14 学时8 数项级数 14 学时9 广义黎曼积分 6 学时10 函数项级数 14 学时11 Fourier 级数与 Fourier 变换 8 学时12 多元函数极限论 8 学时13 多元微分学 10 学时14 向量值函数 6 学时15 隐函数 10 学时16 多元微分学的应用 9 学时17 含参变量积分 11 学时18 多重黎曼积分 15 学时19 曲线积分与曲面积分 12 学时20 向量分析初步 12 学时总计 288四、课程资料教材：数学分析复旦大学数学系，高等教育出版社，2002 年第三版教学参考书：1、数学分析简明教程中山大学数学系，高等教育出版社，2001 年第一版2、 数学分析华东师大数学系编，高等教育出版社。2003 年第三版。
