1、- 1 -九、椭圆与双曲线的离心率一、选择题1 【2017 年浙江卷】椭圆2194xy的离心率是A. 3 B. 5 C. 3 D. 5【答案】B【解析】椭圆2194xy中 2222945abcab， ， .离心率 5e3ca，故选 B.2已知焦点在 x轴上的椭圆213xym的离心率为 2，则 m（ ）A. 6 B. C. 4 D. 2【答案】C3 【2018 届南宁市高三摸底联考】已知椭圆 的一条弦所在的直线方程22+22=1(0)是 ，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是（ ）+5=0 (4,1)A. B. C. D. 12 22 32 55【答案】C【解析】设直线与椭圆交点为 ，分别代入椭圆
2、方程，由点差法可知(1,1),(2,2)- 2 -代入 k=1,M(-4,1),解得 ，选 C.=22, 22=14,=1()2=324 【2018 届浙江省温州市高三 9月测试】正方形 的四个顶点都在椭圆 上，22+22=1若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. ( 512 ,1) (0,512 ) ( 312 ,1) (0,312 )【答案】B5 【2018 届江西省南昌市高三上学期摸底】已知双曲线2:1(0,)xyCab的左右焦点分别为 12,F， P为双曲线 C上第二象限内一点，若直线 恰为线段 2PF的垂直平分线，则双曲线 的离心率为A.
3、B. 3 C. 5 D. 6【答案】C【解析】设 2,0Fc，渐近线方程为 byxa，对称点为 ,Pmn，即有 acb，且1bmna，解得2,nc，将2,abc，即2,c，代入双曲线的方程可得 2241ab，化简可得241ca，即有 e2=5，解得 5，故选 C6 【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9月测试】已知 为椭圆与双曲线的公共焦点，1,2是它们的一个公共点，且 ，则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为（ 12=45）A. B. C. D. 24 22 1 2【答案】B- 3 -在PF 1F2中由余弦定理得，4c2=（a 1+a2） 2+（a 1a 2） 22（a 1+a2） （a
4、 1a 2）cos ，45化简得：（ ）a 12+（ ）a 22=4c2，即 ，2+221 +2+222 =4又 9 ，2+221 +2+222 222212 =2212 ，即 ，22124 12 22即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 22故选：B7 【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知双曲线21(0,)xyab，若存在过右焦点 F的直线与双曲线交于 A， B两点，且 3AFB，则双曲线离心率的最小值为（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线 C相交于 A、B 两点，且 3FB，故直线与双曲线相交只能交于左右两只，即 A 在左
5、支，B 在右支，设 1,xy ， 2,xy ，右焦点,0Fc，因为 3F，所以 123cx ， 2c ，由于12xa，所以 12,xa ，故 14xa，即 ,a 即 e ，选 C.- 4 -8 【2018 届甘肃省兰州第一中学高三 9月月考】设点 P是椭圆21xyab（ 0a）上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为PF 1F2的内心，若 S IPF1 S IPF2 2S IF1F2 ，则该椭圆的离心率是A. 2 B. C. 32 D. 4【答案】A9 【2018 届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆 关于直2+2345=0线 对称，则双曲线 的离心率为（ ）=0(0,0)
6、2222=1A. B. C. D. 43 53 54 74【答案】C【解析】圆的半径为： ，满足题意时，直线过圆心，即 ，(32,2) 322=0,=34双曲线的离心率为： .=2+22 =54本题选择 C选项.10 【2018 届广西钦州市高三上第一次检测】已知双曲线 （ ， ）的左、2222=1 0 0右焦点分别为 、 ，焦距为 （ ） ，抛物线 的准线交双曲线左支于 ， 两点，1 2 20 2=2 且 （ 为坐标原点） ，则该双曲线的离心率为（ ）=30- 5 -A. B. 2 C. D. 3+1 2+1 5+1【答案】A11 【2017 届湖北省黄冈中学高三三模】已知中心在坐标原点的椭
7、圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 12,F，这两条曲线在第一象限的交点为 P， 12F是以 1P为底边的等腰三角形.若 0P，记椭圆与双曲线的离心率分别为 12,e，则 e的取值范围是（ ）A. 1,3 B. 1,5 C. 1,9 D. 0,【答案】A【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|=m,|PF2|=n,(mn)，由于PF 1F2是以 PF1为底边的等腰三角形。若|PF 1|=10，即有 m=10，n=2c，由椭圆的定义可得 m+n=2a1，由双曲线的定义可得 mn=2a2，即有 a1=5+c, a2=5c,(c10，可得 c 52,即有 由离心率公式可得2121215
8、ceac由于 214c,则有 2531c.则 12,e的取值范围为( ,+).故选：A.- 6 -12 【2018 届山西省名校高三五校模拟联考一】设双曲线 2:10,xyCab的左、右焦点分别为 1F， 2， 12c，过 2F作 x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A，已知 3,aQc， 2A，点 P是双曲线 右支上的动点，且112PF恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. 0, B. 7,6 C. 10,2 D. 10,2【答案】B二、填空题13 【2018 届浙江省温州市高三 9月测试】双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 4，离心率为 ， 3则该双曲线的标准方程为_，渐进线方程为_
9、【答案】 2428=1 =2【解析】 实轴 ，又 离心率 ， ， ， 2=4,=2 =3 =23 =22=22双曲线方程为 ，渐进线方程为 ，故答案为 ，2428=1 =2 2428=1.=2- 7 -14 【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知双曲线 的2222=1(0,0)焦点与抛物线 的焦点重合，则双曲线的离心率为_2=16【答案】 4【解析】由题意知， ， ，双曲线的离心率 2+2=422=15 =1+22=415 【2018 届江苏省仪征中学高三 10月检测】设 P为有公共焦点 1,F的椭圆 1C与双曲线2C的一个交点，且 12PF，椭圆 1C的离心率为 1e，双曲线
10、2的离心率为 2e，若13e，则 e_.【答案】 52cea, 2e2221b221ccee即 12,121 533，- 8 -故答案为 53.16 【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知椭圆 的两个焦22+22=1(0)点分别为 ， ， 为椭圆上一点，且 ，则此椭圆离心率的取值1(,0)2(,0) 12=32范围是_【答案】 55， 12三、解答题17已知椭圆2:1(0)xyCab过点 ,2M，离心率是 63（）求椭圆 的方程（）直线 l过点 2,0N且交椭圆 C于 A、 B两点，若 90AOB（其中 为坐标原点），求直线 的方程【答案】 （1）214xy（2） 32yx或 2
11、3yx【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得 4b，再根据离心率求得 21a（2）设,Axy， 2,Bxy，则由 90AOB得 120xy，再设直线方程，化简得12，和与积的关系，最后联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人关系式，求解得斜率，注意验证斜率不存在时是否满足条件- 9 -试题解析：（）将 0,2M代入方程可得 24b，离心率23cabe， 21a， C的方程为： 214xy可得 2221310kxk， 122， 1223x，121ykx242813k 20xy，22813kk， 40，- 10 - 3k直线 l的方程为 23yx或 23yx18 【2018 届云南师范大学附属
12、中学月考一】已知椭圆 （ ）的两个:22+22=1 0,0顶点分别为 ， ，点 为椭圆上异于 的点，设直线 的斜率为 ，直线 的(,0)(,0) , 1 斜率为 ， .212=12（1）求椭圆 的离心率；（2）若 ，设直线 与 轴交于点 ，与椭圆交于 两点，求 的面积的最大=1 (1,0) , 值.【答案】(1) ;（2）面积的最大值为 .=22 22试题解析：（1） ，设 (0， 0)， 代入 椭圆 的方程有：202+202=1整理得： ，20=22(202)又 ， ，所以 ，1= 00+ 2=00 12= 20202=12 联 立两个方程有 12=22=12， 解得： =22（2）由（）知 ，又 ，2=22 =1所以椭圆 C的方程为 .22+21=1设直线 的方程为： 代入椭圆的方程有： ， =1， (2+2)221=0设 ，(1， 1)， (2， 2)由 韦 达定理： 1+2= 22+2， 12= 12+2，
