1、巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 1 页 共 12 页 1圆锥曲线综合应用专题一1点 A、B 分别是以双曲线 162x0y的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且位于 x 轴上方， 0PFA （1）求椭圆 C 的的方程；（2）求点 P 的坐标；（3）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小值.2 已知在平面直角坐标系 xoy中，向量 32),10(的 面 积 为OFPj，且3,OFPtOPj.（I）设 43,tOFP求
2、向 量 与 的 夹 角的取值范围；（II）设以原点 O 为中心，对称轴在坐标轴上，以 F 为右焦点的椭圆经过点 M，且|,)1(,| 2ctcF当取最小值时，求椭圆的方程.3设 A、B 是椭圆 3x2y2= 上的两点, 点 N(1,3)是线段 AB 的中点.(1)确定 的取值范围, 使直线 AB 存在, 并求直线 AB 的方程 .(2)线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C,D 两点, 求线段 CD 的中点 M 的坐标(3)试判断是否存在这样的 , 使得 A、B 、C、D 四点在同一个圆上 ?并说明理由.4设 12(,)()PxyQ是抛物线2:(0)ypx上相异两点，且 0OPQA，直线 P
3、与 x轴相交于 E（）若 ,到 轴的距离的积为 4，求 的值；（）若 p为已知常数，在 x轴上，是否存在异于 E的一点 F，使得直线 与抛 物线的另一交点为 R，而直线 Q与 轴相交于 T，且有 3RTQ，若存在，求出F点的坐标（用 表示） ，若不存在，说明理由5已知点 A、B 的坐标分别是 (1,0)， (,.直线 ,AMB相交于点 M，且它们的斜率之积为2.()求动点 M 的轨迹方程;()若过点1(,)2N的直线 l交动点 M 的轨迹于 C、D 两点, 且 N 为线段 CD 的中点，求直线 l的方程.6已知 0,，点 A在 x轴上，点 B在 y轴的正半轴，点 P在直线 AB上，且满足， A
4、PB，AP.（）当点 在 轴上移动时，求动点 P的轨迹 方程；（）过 (2,0)的直线 l与轨迹 C交于 E、 F两点，又过 E、 F作轨迹 C的切线 1l、 2，当 12l，求直线xyOPQRE FT巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 2 页 共 12 页 2BA NMF2F1yxol的方程.7已知点 C 为圆 8)1(2yx的圆心，点 A（1，0） ，P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且.,0AMPMQ（）当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；（）若直线 12kxy与（）中所求点 Q的轨迹交于不同两点 F，H，O 是坐标原点，且 43
5、32，求FOH 的面积8如图，在直角坐标系 xy中，已知椭圆 )0(1:2bayaxC的离心率 e32，左右两个焦分别为 21F、过右焦点 2且与 x轴垂直的直线与椭圆 C相交 M、N 两点，且|MN|=1() 求椭圆 的方程；() 设椭圆 的左顶点为 A,下顶点为 B，动点 P 满足4PABm， （ R）试求点 P 的轨迹方程，使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 C上. 9已知椭圆 E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 2,0A、 ,、31,2三点（）求椭圆 的方程；（）若直线 l： 1ykx（ 0）与椭圆 E交于 M、 N两点，证明直线 AM与直线 BN的交点在直线4x上10如图,
6、过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点.()设点 P 分有向线段 所成的比为 ，证明);Q()设直线 AB 的方程是 x2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程.参考答案1解（1）已知双曲线实半轴 a1=4，虚半轴 b1=2 5，半焦距 c1=620，巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 3 页 共 12 页 3椭圆的长半轴 a2=c1=6，椭圆的半焦距 c2=a1=4，椭圆的短半轴 2b= 2046，所求的椭圆方程为36
7、2x10y（2）由已知 ),(A, 4(F，设点 P 的坐标为 ),(yx，则),yxPyx由已知得221360()4xy则 1892，解之得623x或， 由于 y0，所以只能取x，于是5y，所以点 P 的坐标为325,9 分（3）直线 063:yAP，设点 M 是 )0,(m，则点 M 到直线 AP 的距离是6m，于是 26m， 又点 M 在椭圆的长轴上，即 62 当 时，椭圆上的点到 )0,2(的距离 2222 2549()4()15xdxyx又 6 当9时，d 取最小值 2解：（1）由 34sin|cos,in34|,sin|213 tFPOFPOFP由得，得 .4tan3 分,03ta
8、n13t夹角 的取值范围是（,4）6 分（2） ).,(),(),(00 cOFycxFPyx则设巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 4 页 共 12 页 4200 0(,)(,)(31)314|232OFPxcyxctcxcS8 分22204| ()26xycc10 分当且仅当)32,(,|,3 OPOPc此 时取 最 小 值时即 ),2(10),2(OM或312 分椭圆长轴12,48)03()2()0()2(22 baa或 217,7112 b故所求椭圆方程为 26yx.或 2792yx14 分3(1)解: 依题意 ,可设直线 AB 的方程为 y=k(x1
9、)3, 代入 3x2y2=, 整理得(k2 3)x22k(k3)x (k3)2=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是方程的两个不同的根,=4(k23) 3(k3)20.且 x2x1= , 由 N(1,3)是线段 AB 的中点, 得 =1 , k(k 3)=k232k(k 3)k2 3 x1 x22解得 k=1, 代入得 12, 即 的取值范围是(12, ), 直线 AB 的方程为 y3= (x1),即 xy4=0(2)CD 垂直平分 AB, 直线 CD 的方程为 y3=x1, 即 xy2=0,代入椭圆方程, 整理得4x24x4=0 又设 C(x3,y3),D(x4,
10、y4),CD 的中点 C(x0,y0), 则 x3,x4 是方程的两根, x3x4=1, 且 x0= (x3x4)= , y0 =x02 = , 即 M( , )12 12 32 1232(3)由弦长公式可得|CD|= |x1x2|= 1+(- -f(1,k)2 2( 3)将直线 AB 的方程 xy4=0,代入椭圆方程得 4x28x16=0 同理可得|AB|= |x1x2|= 1 k2 2( 12)当 12 时, , |AB|12, 使得 A、B、C、D 四点共圆, 则 CD 必2( 3) 2( 12)为圆的直径, 点 M 为圆心, 点 M 到直线 AB 的距离为d= = = . 于是由、式和
11、勾股定理可得.|x0 y0 4|2 | 12 32 4|2 322|MA|2=|MB|2=d2 | |2 = = = | |2. 故当 12 时, A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, | | AB2 92 122 32 CD2 CD2巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 5 页 共 12 页 5为半径的圆上.4.解： （） 0，则 x1x2y1y20， 1 分OP OQ 又 P、Q 在抛物线上，y12 2px1，y222px2， y1y20， y1y2 4p2 ，y122py222p |y1y2|4p2， 3 分又|y1y2| 4，4p24，p=1 4 分
12、（）设 E(a,0） ，直线 PQ 方程为 xmya , 联立方程组 , 5 分x my ay2 2px)消去 x 得 y22pmy2pa 0 , 6 分 y1y22pa , 7 分设 F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：y1y32pb , 8 分由 、可得 , 9 分y3y2 ba若 3 ，设 T(c,0)，则有TR TQ (x3c,y3 0)3(x2c,y2 0), y3 3y2 即 3, 10 分y3y2将 代入 ，得 b3a 11 分又由（）知， 0 ,OP OQ y1y24p2，代入，得2pa4 p2 a2p, 13 分 b 6p,故，在 x 轴上，存在异于 E 的一点 F(6
13、p,0)，使得 3 14 分TR TQ 注：若设直线 PQ 的方程为 ykxb，不影响解答结果5解: () 设 (,)M1 分因为 2ABk,所以211yxx.3 分化简得: xy. .4 分() 设 12(,)(,)CD 当直线 lx 轴时,直线 l的方程为12x,巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 6 页 共 12 页 6则16(,)(,)22CD,其中点不是 N,不合题意6 分设直线 l的方程为1()ykx将 12(,)(,)x代入 21yx得2y(1) 2(2) .8 分(1)-(2)整理得:1212()12yxkxy11 分直线 l的方程为()y即所
14、求直线 的方程为 230x12.分解法二: 当直线 lx 轴时,直线 l的方程为12x,则61(,)(,)2CD,其中点不是 N,不合题意.故设直线 l的方程为1()yk,将其代入 2yx化简得2 2()()0kxx由韦达定理得22212212244()10(1)()()(3)kkxk,又由已知 N 为线段 CD 的中点,得122()kx1,解得 2k,将 1k代入(1)式中可知满足条件.此时直线 l的方程为1()2yx,即所求直线 l的方程为 230xy巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 7 页 共 12 页 76 （）解：设 P(,)xy 则(,Ax,)B
15、y.2 分由 B 得 2Ax， .4 分又 (,)AM(,)Py即 (2,)MAx， (,)Pxy6 分由 0 得 20x.8 分（）设 1(,)Ey， 2(,)Fy因为 x ，故两切线的斜率分别为 1x、 210 分由方程组2()yk得 240k 12xk 124xk.12当 12l时， ， 12x，所以 8所以，直线 l的方程是 ()yx.14 分7解：（1）由题意 MQ 是线段 AP 的垂直平分线，于是|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 2|CA|=2，于是点 Q 的轨迹是以点 C，A 为焦点，半焦距 c=1，长半轴 a= 2的椭圆，短半轴 ,12cab点 Q 的轨迹
16、E 方程是：2yx.4 分（2）设（x1，y1）H（ x2，y2） ，则由122kxy，消去 y 得 )0(8,014)12(22 kkxk ,21221x6 分分分81212)(412)( 7)1)(222 21 kkkxx kxkyOHF巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 8 页 共 12 页 8.12)1(4)(1 )()(| 10,124312321212 21221 kxxk xyxyFHkk 分又点 O 到直线 FH 的距离 d=1，2()|2SdFHk 、221,3(),ttktA22111()()tttt223823,949ttt23.3t、6
17、.14S 、8解：() 2MFx轴， 2|F,由椭圆的定义得： 1|2MFa，-2 分21|()4c，21()4ac，-4 分又3e得2223,0a 22214bac，-6 分所求椭圆 C 的方程为21xy-7 分()由（）知点 A(2,0)，点 B 为（0，1） ，设点 P 的坐标为 (,)xy则 2,)PAxy， (2,)A,由 Bm4 得 4xym，点 P 的轨迹方程为 2yxm-9 分设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 0(,)B，则由轴对称的性质可得：0001,2yxm，巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 9 页 共 12 页 9解得： 00423
18、,55mxy，-11 分点 0(,)B在椭圆上， 2243()()45m，整理得 23m解得 1或 点 P 的轨迹方程为 2yx或32yx，-13 分经检验 1yx和 都符合题设，满足条件的点 P 的轨迹方程为 21yx或32yx-14 分9 （）解法一：当椭圆 E 的焦点在 x 轴上时，设其方程为21yab（ 0a） ，则 2a，又点31,2C在椭圆 上，得 2194b解得 23椭圆 E的方程为 43xy当椭圆 E 的焦点在 y 轴上时，设其方程为21xyba（ 0b） ，则 2b，又点31,2C在椭圆 E上，得 294解得 23a，这与 b矛盾综上可知，椭圆 的方程为2143xy 4 分解
19、法二：设椭圆方程为2mn（ 0,n） ，将 2,0A、 ,B、1,C代入椭圆 E的方程，得419.mn解得 4， 3n椭圆 的方程为2143xy 4 分巨人高考网 http:/ 巨人教育 做感动中国人的教育！理科数学 第 10 页 共 12 页 10（）证法一：将直线 l： 1ykx代入椭圆 E的方程2143xy并整理，得 222348430kx， 6 分设直线 l与椭圆 E的交点 1,Mxy， 2,Nxy，由根与系数的关系，得 122834k，2143k 8 分直线 A的方程为：1yx，它与直线 4x的交点坐标为164,2yPx，同理可求得直线 BN与直线 4x的交点坐标为2,yQ 10 分下面证明 P、 Q两点重合，即证明 P、 两点的纵坐标相等： 1ykx， 21ykx，22112166kx22121212834085kkxxx因此结论成立综上可知，直线 AM与直线 BN的交点在直线 4上 14 分证法二：将直线 l： 1ykx，代入椭圆 E的方程213xy并整理，得222348430kx， 6 分设直线 l与椭圆 E的交点 1,Mxy， 2,Nxy，由根与系数的关系，得 122834k，2143k 8 分直线 A的方程为：1yx，即12xy
