1、巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 1 页 共 11 页 1 圆锥曲线综合应用专题二 1已知椭圆 1C的方程为 214xy ，双曲线 2C的左、右焦点分别是 1C的左、右顶点，而 2C的左、右顶点分 别是 的左、右焦点 . （1）求双曲线 2的方程； （2）若直线 :lykx与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2O （其中 O 为原点） ，求k 的范围. 2如图,过抛物线 24xy 的对称轴上任 一点 (0,)Pm作直线与抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点 设点 P 满足 A （ 为实数） ， 证明： ()QB； 设直线 AB 的
2、方程是 210xy，过 A、B 两点 的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程 3一束光线从点 ),(1F出发，经直线 032:yxl上一点 P反射后，恰好穿过点 )0,1(2F （）求点 关于直线 l的对称点 1的坐标； （）求以 1、 2为焦点且过点 P的椭圆 C的方程； （）设直线 l与椭圆 C的两条准线分别交于 A、 B两点，点 Q为线段 AB上的动点，求点 Q 到 2F的距离与 到椭圆 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点 的坐标 4已知平面上一定点 (1,0)和一定直线 :4.lx为该平面上一动点，作 ,Pl垂足为 ，2()2(PCQP . (1) 问点
3、在什么曲线上？并求出该曲线方程； 点是坐标原点， AB、 两点在点的轨迹上，若 1OABC （ ） ， 求 的取值范围 5如图，已知 E、F 为平面上的两个定点 6|EF ， 0|G，且 EGH2， P 0， （G 为动 点，P 是 HP 和 GF 的交点） ABPOQxy G F P H E 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 2 页 共 11 页 2 （1）建立适当的平面直角坐标系求出点 P的轨迹方程； （2）若点 P的轨迹上存在两个不同的点 A、 B，且线段 的中垂线与 EF （或 EF的延长线）相交于一点 C，则 |O 5 9 （ 为 的中点） 6已知动圆过定点
4、1,0，且与直线 1x相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 的方程； (2) 是否存在直线 l，使 过点（0，1） ，并与轨迹 C交于 ,PQ两点，且满足 0OPQ ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 7已知 ),(,4NM若动点 P 满足 |6NM （1）求动点 P 的轨迹方 C 的方程； （2）设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 012:yxl的距离的最小值. 8 已知抛物线 x 2=2py(p0)，过动点 M(0,a)，且斜率为 1 的直线 L 与该抛物线交于不同两点 A、B，|AB|2p, （1）求 a 的取值范围； （2）若 p=2，a=3，求直线 L 与抛物
5、线所围成的区域的面积； 9如图，直角梯形 ABCD 中， 0DAB ，ADBC ，AB=2，AD= 2 3 ，BC= 1 椭圆 F 以 A、B 为焦点且过点 D， （）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程； （）若点 E 满足 ABC21 ,是否存在斜率与的 直 线 lk0M、F交 于椭 圆 N 两点，且 |NE，若存在，求 K 的取值范围；若不存在，说明理由. 10已知 0,Pxy是函数 ()lnfx图象上一点，过点 P的切线与 x轴交于 B，过点 P作 x轴的垂线，垂足 为 A . （1）求点 B坐标； （2）若 0, 1x，求 AB的面积 S的最大值，并求此时 0x的值. C B D A
6、巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 3 页 共 11 页 3 参考答案 1解：（1）设双曲线 2C的方程为 21,xyab （1 分） 则 243a，再由 2c得 ， （3 分） 故 2C的方程为 21xy （4 分） （2）将 2kx代入 23 得 2(13)690 （5 分） 由直线 l与双曲线 C2 交于不同的两点得：2220(6)3(1)6()0kkk （7 分）2k 且 2 （8 分） 设 12(,)(,)AxyB，则 1212269,33kxxk2112)()k121227()(31kkxx （10 分） 又 OAB ，得 12y2k 即 2390k ，解得：
7、 3, （12 分） 由、得： 213k ，故 k 的取值范围为 3(1,)(,1) . （14 分） 2解依题意,可设直线 AB 的方程为 mkxy,代入抛物线方程 yx4 2 ，得： 240xkm 分 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 4 页 共 11 页 4 设 A、B 两点的坐标分别是 1(,)xy、 2(,)，则 12,x是方程的两根， 所以， 124xm 分 由点 P 满足 （ 为实数， 1） ，得 021x ， 即 12x 又点 Q 是点 P 关于原点的以称点，故点 Q 的坐标是 (,)m，从而 (,)QPm 12(,)(,)ABxymxy 1212.xy
8、1( = )(42221xxm = 2 121)(m = 2 214)(xx =0 6 分 所以， )QPAB 7 分 由 2104xy 得点 A、B 的坐标分别是 (6,9)、 4,) 由 yx 2 得 2 ， ,x 所以，抛物线 4 2 在点 A 处切线的斜率为 63xy 9 分 设圆 C 的方程是 22)()(rbyax ， 则 22229163()()(4)()ba 11 分 解得： 22215,4brab 13 分 所以，圆 C 的方程是 )3()(22yx 14 分 ABPOQxy 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 5 页 共 11 页 5 3解：（）设 1
9、F的坐标为 ),(nm，则 2 1 且 032nm 2 分 解得 5 2,9nm ， 因此，点 1F的坐标为 )5,9( 4 分 （） 1PF，根据椭圆定义， 得 |22121a 2)05()19(2 ，5 分 ， b 所求椭圆方程为 12yx 7 分 （） 2ca ， 椭圆的准线方程为 2x 8 分 设点 Q的坐标为 )3,(t)2(t,1d 表示点 到 2F的距离， d表示点 Q到椭圆的右准线的距离 则 105)3()( 2ttt ， 2td2221 )(105ttd ， 10 分 令 2)()tf )(t ，则 342 )2(86)()()2( tttttf ， 当 0,34tft ，
10、0)(,34tft ， 3 t ， 0)(tf )(tf在 时取得最小值 13 分 因此， 2 1d 最小值 2 )34(5f ，此时点 Q的坐标为 )31,4( 14 分 注： )(tf的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得 说明：求得的点 Q )31,4( 即为切点 P， 2 1d 的最小值即为椭圆的离心率 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 6 页 共 11 页 6 4解:(1)由 (2)(2)0PQCP ,得: 2240QPC ,（2 分） 设 (,)xy,则 41xy,化简得: 13xy ,（4 分） 点 P 在椭圆上,其方程为 23 .（6 分） (2
11、)设 1()Axy、 2(,)B，由 (1)OABC 得： 0AB ， 所以， 、B 、C 三点共线.且 0,得: 2,(1,)xyxy, 即: 12xxy （8 分） 因为 2143 ,所以 22(1)()143xy （9 分） 又因为 2xy ,所以 22()() （10 分） 由-得: 222(1)()14x ,化简得: 2 35x ,（12 分） 因为 2x,所以 35 . 解得: 13 所以 的取值范围为 1, . （1分） 5解：（1）如图 1，以 EF所在的直线为 x轴， EF的中垂线为 y轴， 建立平面直角坐标系.-1 分 由题设 GH2， 0P |P，而 a2|-3 分 点
12、是以 、 为焦点、长轴长为 10 的椭圆， 故点 的轨迹方程是： 1625yx -4 分 （2）如图 2 ，设 ),(1A， ),(2B， )0,(xC， 1x，且 |C，-6 分 即 210)(y20)(yx 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 7 页 共 11 页 7 又 A、 B在轨迹上， 16251yx ， 16252yx 即 1 216y ， 22 -8 分 代入整理得： )(59)(21012xx 21x， 210 -10 分 5， 52x ， 10102x 21x， 01 5 90 ，即 |OC 5 9 -14 分 6 （1）如图，设 M为动圆圆心， F1,
13、0，过点 M作直线 1x的垂线，垂足为 N，由题意知：FN ， 2 分 即动点 到定点 与定直线 1x的距离相等，由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线，其中 1,0F为 焦点， 1x为准线， 动点 R的轨迹方程为 xy4 2 5 分 （2）由题可设直线 l的方程为 ()0xky， 由 2()4xky 得 24 160， 1k或 7 分 设 ),(yxP， ),(2yxQ，则 24yk， 12yk9 分 由 O ，即 1,Px ， ,OQx ， 于是 120xy，11 分 即 12ky， 22211()()0kykyk ， 224()4kA ，解得 4或 0（舍去） ，13 分 P B G E
14、A xH FO y C 图 2 oAx1,0FMNx 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 8 页 共 11 页 8 又 41k， 直线 l存在，其方程为 40xy 14 分 17解：（1）设动点 P（x，y） ，则 ),1(),3(),( yxPNM 由已知得 24,)(1(6)4(3 222 yxy化 简 得 ， 34 2即 点 P 的轨迹方程是椭圆 C： 13x （2）解一：由几何性质意义知，椭圆 C 与平行的切线其中一条 l和 l 的距离等于 Q 与 l 的距离的最小值. 设 0: Dyxl ，入椭圆方程消去 x 化简得： 0)4(3126 2Dy58|412|)(
15、914 2距 离 的 最 小 值 为与 距 离 的 最 小 值 为与 lQl D 解二：由集合意义知，椭圆 C 与平行的切线其中一条 l和 l 的距离等于 Q 与 l 的距离的最小值.设切点为134,134:),( 2000 yxyxlyxR且则 ， 2 1430yxk ，解得 23100yx或2 l为 ， 58|412|距 离 的 最 小 值 为与 距 离 的 最 小 值 为与 lQl 解三：由椭圆参数方程设 sin3,co2(Q） 则 Q 与 l 距离 5 )30sin(4125|s| d8412)30sin(min时 解四：设 3 ),(200yx ，且 Q 与 l 距离 5 |12|0
16、yxd 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 9 页 共 11 页 9 由柯西不等式 2020020 )()32()14(3(16 yxyxyx 4|2|0yx ， 5 8mind 18解：(1)设直线 L 方程为：y=x+a 与抛物线联立方程组得 pyxa2 x 2-2px-2ap=0 =4p 2+8ap0 a- 2 p x 1+x 2=2p x 1x =-2ap AB= k 2= 21 214)(x = ap84 2 解得 a- 4 p ， - p a- (2)若 p=2，a=3，则直线 L 方程为：y=x+3 抛物线方程为 x 2=4y yx432 x 2-4x-12
17、=0 方程两根为 -2 和 6 直线与抛物线所围成区域的面积为： S= 6224)3( = 1 x +3x- 2 36 = 8 19 （）以 AB 中点为原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，如图 则 A（-1,0） B(1,0) D(-1, 2 3 ) (1 分) 设椭圆 F 的方程为 0(12bayax （2 分） 得 123)(2ba （4 分） 得 30474 2 所求椭圆 F 方程 12yx （6 分） （）由 ),(EABC得 ，显然 )0(kmxlABl 方 程设时 不 合 条 件 代入 08)43(34 222 mkxyx得 （7 分）l 与椭圆 F 有两不同公共
18、点的充要条件是 0)12)()8(22mkkm (8 分) 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 10 页 共 11 页 10 即 0342mk 设 、yxM),(1 ),(),(02yxPMNyx中 点 ， MNPENME等 价 于|202210 43438kmk (9 分)206mkxy （10 分） kxyMNPE10得 （11 分） 得 km43216 得 2 43km （12 分） 代入 043022k得 4 1422kk得 （13 分） 又 )21,0(,(0取 值 范 围 为故 （14 分） 解法 2， 设 ),(),(21yx、NM， 得 1342yx 得
19、0)(3)(2121yx 2121 21 4xyx得 设 0 03),(ykyPMN得中 点 得 004 3xk （9 分） MNEE即| 巨人高考网 巨人教育 做感动中国人的教育！ 理科数学 第 11 页 共 11 页 11 得 kx y120 得 20 kxky （11 分） 由、得 3,0 且 P（x0,y0）在椭圆 F 内部 得 4 1134922kk得 （13 分） 又 )21,0(),(0取 值 范 围 为 （14 分） 20解: （1） 1()fx ， 2 分 过点 P的切线方成为 00lnyx 4 分 令 0y，得 00lxx，即点 B的坐标为 00ln,x 6 分 （2） 0nlnAB， ()PAf 201lSPx 9 分 20001lnlnlxx 11 分 由 S得， 2 1e ， 20,x 时， S单调递增； 21,xe 时 S单调递减； 13 分 2max21lnSe . 当 02，面积 的最大值为 2e. 14 分
