1、固体物理学概念和习题 固体物理基本概念和思考题： 1. 给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2. 给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些 中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3. 二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高
2、的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德- 琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩- 卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的 关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含 N 个原胞，每个原胞含 p 个 原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
3、 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。固体物理学黄昆 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量 之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin ）方程。 30. 描述金属
4、、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 37. 什么叫费米液体？ 38. 请给出纯金属的电导率随温度的关系。 39. 请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。 40. 请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。 41. 请列出铁磁性固体的主要特征。 42. 请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。 43. 什么是格波和声子？晶体中声子有多少种可能的量子态？
5、44. 请说明 Debye 热容量模型的基本假设，为什么说 Debye 热容量模型在低温下 是正确的？ 45. 什么是近自由电子近似和紧束缚近似？ 46. 请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点？ 47. 什么是 n 型半导体和 p 型半导体？什么是本征半导体？ 48. 试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。 固体物理学习题 注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢 q 的定义（q=1/）与课堂上所用 的波矢 k 相差 2（k=2/）；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其 与国际单位制之间的转换 1. 在 14 种布喇菲格子中，为什么没有
6、底心四方、面心四方和底心立方格子？ 2. 在六角晶系中常用 4 个指数（h,k,i,l ）来表示，如图，前三个指数表示晶面族 中最靠近原点的晶面在互成 120的共平面轴 a1,a2,a3 上的截距为： a1/h,a2/k,a3/i，第 4 个指数表示该晶面在六重轴 c 上截距为 c/l,证明：i=-(h+k), 并将下列用(h,k,l) 表示的晶面改用 (h,k,i,l)表示：(001)( 33)(1 0)(3 3)(100)1 1 2 (010)( 3)。 21 答：根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超 过三个。前三个指数中只有两 个是独立的，它们之间 存在以下关系：i-( h +
7、k ) 。（0001 ），（1323 ）， （1100 ），（ 3213），（ 1010），（0110）， （2133 ）。 3. 证明理想六角密堆积结构的 c/a 比是 =1.633，如果 c/a 值比这个值大得多，8/3 可以把晶体视为由原子密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。 4. 在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪个晶面的原 子面密度最大？ 答：单晶硅中，晶面上的原子密度是(111)(110)(100)；面心立方晶格中，晶面 原子排列密度（111） (100) (110)。 5. 如图的两种正六边形（边长为 a）平面格子是布喇菲格子还是复式格子？应如 何选取其基
8、矢和原胞？ 6. 六角空间点阵，六角空间点阵的基矢可以取为： ； ； ；= 32+2 = 32+2 = （1） 证明：原胞的体积是 ； 322 （2）证明：倒易点阵的基矢是： ， ，= 23+2 =23+2 ；因此直接点阵就是它本身的点阵，但轴经过了转动；= 2 （3） 描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区。 7. 证明第一布里渊区的体积是 此处 Vc 是晶体初基晶胞的体积。 (2)3 8. 金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个 原子组成； （1） 给出这个基元的结构因子； （2） 求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足 h+k+l=4n， 且所有指数
9、都是偶数，n 是任何整数；否则所有指数都是奇数。 体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。如：面心立方晶体惯用晶胞基 元包含几个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件 9. 如果 a 表示晶格常数， 表示入射光束与衍射光束之间的交角，证明对于简 单立方晶格， 式中（h k l）为密勒指数，为入射光波sin 2=2(2+2+2)12 长。 10. 画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在（100 ），（110），（111）面 上的原子排列。 11. 若一晶体的总互作用能可表示为： ，试求： ()=2(+) （1） 平衡间距 r0； （2） 结合能 W； （3） 体弹性模量
10、； （4） 若 m=2,n=10,r0=3,W=4eV,求 、 的值。 12. (黄昆教材 2.6)用雷纳德- 琼斯势计算 Ne 在体心立方和面心立方结构中的结 合能之比。 13. (黄昆教材 2.7)对于 H2，从气体的测量得到雷纳德 -琼斯势中的参数为： =5010-23J，=2.96，计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的结合 能。(A 12=12.13, A6=14.45) 14. (固体物理习题集 1.15 和黄昆教材 1.11) 证明六角晶体的介电常数张量为 ( 1 0 00 2 0 0 0 2) 15. (固体物理习题集 2.1) 设两原子间的互作用能可表示为： 式中，第一
11、项为引力能； ()=+ 第二项为排斥能；、 均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必 须 nm。 16. (固体物理习题集 2.2) 设两原子间的互作用能可由： 表述。若 m=2,n=10，而且两 ()=+ 原子构成稳定的分子，其核间距离为：310 -10m，离解能为 4eV,试计算： （1） 和 ； （2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距； （3）使原子间距比平衡距离减少 10%时所需要的压力。 17. (固体物理习题集 2.11) 有一晶体，平均每对离子的互作用能为： 式中，R 是最 ()=2 RR 近邻离子间距； 是马德隆常数； 、A n 为常数。若 n=
12、10, =7.5,平衡时最近 邻距离 R0=2.8110-10m。求由 2N=21022 个离子组成的这种晶体平衡时的总互 作用能。 18. (固体物理习题集 2.21) 设 LiF 晶体(NaCl 结构) 的总互作用能可写成： ， 式中，= 2(/2/) N、Z、R 分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距； 是马德隆常数； 、 为参量。求平衡时最近邻间距 R0、总结合能 U0 和体积弹 性模量 B 的表达式。 19. (固体物理习题集 2.32) 设 NaCl 晶体的互作用能可表示为： 式中的()= 2(2/) N、R、A 分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径
13、和排斥能参数。 实验测定，NaCl 晶体近邻离子的平衡间距 R0=2.8210-10m，体积弹性模量 K=2.41011dyn/cm2，已知 NaCl 结构的马德隆常数 =1.7476，试求 NaCl 晶体 的排斥核半径 和排斥能参数 A。 20. 2N 个正负离子组成一个一维链晶体。平衡时两个最近邻正负离子间距为 R0。 试证： (1)该晶体的马德隆常数为 2ln2。 (2)自然平衡状态下的结合能为 。(0)= 22ln2400(11) -q +q 21. (固体物理习题集 3.5) 已知由 N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为： 式中 m 是格波的最高频率。求证它的振动模
14、总数恰好等()= 2(22)1/2 N。 22. (固体物理习题集 3.8) 设有一维原子链（如图），第 2n 个原子与第 2n+1 个原子之间的恢复力常数为 ，第 2n 个原子与第 2n-1 个原子之间的恢复力常数为 （0) (1) 已测得带顶电子的有效质量 ,试求参数 A; =222 (2) 试求能带宽度； (3) 试求布里渊区中心点附近电子的态密度。 所以能态密度为 44. (固体物理习题集 7.13) 设 vF, TF 分别为费米面电子的速度和平均自由时间，g(E F)为费米能级处的状态密度， 证明：对于球形费米面的情况，电导率 =e2 vF2TF g(EF)/3 45. (固体物理习
15、题集 8.1) 证明：在一给定温度下，当电子浓度 n=ni(h/e)1/2，空穴浓度 p=ni(e/h)1/2 时， 半导体的电导率为极小。这里 ni 是本征载流子浓度， e 和 h 分别为电子和空穴的 迁移率。 46. (固体物理习题集 8.27) 实验得到一锗样品不呈现任何霍尔效应。已知锗中电子迁移率为 3500cm2/Vs， 空穴迁移率为 1400cm2/Vs，问电子电流在该样品的总电流中所占的比例等于多 少？ 47. (黄昆教材 4.12) 设有二维正方晶格，晶体势场为 (,)=4(2)cos(2) 用近自由电子近似的微扰论（简并微扰）近似求出布里渊区顶角（/a,/a）处的 能隙。(本
16、题类似于基特尔教材（7.6）) 48. (黄昆教材 5.1) 设有一维晶体的电子能带可以写成 ()=22(78cos+18cos2) 其中，a 是晶格常数，试求： （1）能带的宽度； （2）电子在波矢 k 状态的速度； （3）能带底部和能带顶部的有效质量。 49. (黄昆教材 5.2) 晶格常数为 2.5 的一维晶格，当外加 102V/m 和 107V/m 电场时，试分别估算电 子自能带底运动到能带顶所需要的时间。 50. (黄昆教材 5.6) 若已知 E(k)=Ak2+c(kxky+kykz+kzkx)，导出 k0 点上的有效质量张量，并找出主 轴方向（使用空间旋转矩阵）。 51. (黄昆教
17、材 6.1) He3 的自旋为 1/2，是费米子。液体 He3 在绝对零度附近的密度为 0.081g/cm3。 计算费米能 EF 和费米温度 TF。 52. (黄昆教材 6.3) 若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量： （1）费米能和费米温度； （2）费米球半径； （3）费米速度； （4）费米球面的横截面积； （5）在室温及低温时电子的平均自由程。 银的密度等于 10.5 g/cm3，原子量等于 107.87，电阻率等于 1.6110-6cm （在 295K） 0.03810-6cm（在 20K）。 53. (黄昆教材 7.1) InSb 的电子有效质量 me=0.015m（m 为
18、电子静质量），介电常数 =18，晶格 常数 a=6.479，试计算： （1）施主的电离能； （2）基态的轨道半径； （3）若施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓 度应高于多少？ 54. (黄昆教材 7.3) 已知 Si 中只含施主杂质 ND=1015/cm3。现在 40K 下测得电子浓度为 1012/cm3， 试估算施主杂质的电离能。 E=1.381102340ln(10151012)1.26610181024 =1.1561020=0.0722 55. (黄昆教材 7.4) 某一 N 型半导体电子浓度为 11015/cm3，电子迁移率为 1000cm2/Vs，求其
19、电 阻率。 56. (基特尔教材 4.5) 孔氏异常（Kohn anomaly）：假定晶面运动方程 中=(+) 平面力常数 Cp 取如下形式 ,其中 A 和 k0 是常数，而 p 遍取所有= sin0 的整数值。这种形式是对于金属的预期结果。利用这个公式和式 求出 2 和 2/K 的表达式，证明 K=k0 时， 2=20(1cos) 2/K 是无穷大，于是在 k0 处 2 对 K 或 对 K 的图形有一条垂直的切线：即 在 k0 处色散关系 （K）有一个扭折。（W. Kohn, Phys.Rev.Lett. 2(1959)393 曾 预言了与此有关的一个效应。） 57. (基特尔教材 7.2)
20、 约化能区中的自由电子能量。（a）在空点阵近似下考虑面心立方晶体在约化 能区图式表示中的自由电子能带，在约化能区图式表示中所有的 k 都变换到 第一 布里渊区内。粗略绘出111方向上的所有能带的能量，直至相当于布里渊区边界 k=(2/a)(1/2,1/2,1/2)处的最低带能量的 6 倍。就令这个能量为能量的单位。这 个问题表明，为什么带边不一定要在布里渊区中心。当考虑到晶体势场时，有几个 简并（能带交叉）被消除。 58. (基特尔教材 7.4) 金刚石结构中的势能。（a）试证对于金刚石结构，在 G=2A 时，一个电子所 感受的晶体势场的傅立叶分量 UG 为零，其中 A 是惯用立方晶胞的倒易点
21、阵中的基 矢。（b)证明在周期点阵中波动方程通常的一级近似解中与矢量 A 末端垂直的布 里渊区边界面上的能隙为零，并且证明在二级近似中该能隙不为零。 59. (基特尔教材 7.6) 正方点阵。考虑在二维情况下具有晶体势场 U(x,y)=4Ucos(2x/a)cos(2y/a) 的正方点阵。应用中心方程近似求出布里渊区角点（/a,/a）处的能隙。这个问 题只需解一个 22 的行列式方程就足够了。(本题类似于黄昆教材 4.12) 60. (基特尔教材 9.3) 六角密堆积结构. 考虑点阵常数为 a 和 c 的三维简单六角点阵晶体的第一布里 渊区，令 表示平行于晶体点阵的 轴的最短倒易点阵矢量。(a
22、)证明六角密堆积 晶体结构的晶体势 U( )的傅立叶分量 U( )为零； (b) U(2 )是否也为零？(c) 为什 么原则上可以得到由处于简单六角点阵的阵点上的二阶原子所构成的绝缘体？(d) 为什么不可能得到六角密堆积结构的单价原子构成的绝缘体？ 解：设原胞中有 m 个原子，他们在原胞中的位置由 表示，则晶格势能为nRGriGmnRrinn eSUerUrn1c1其 傅 里 叶 展 开 为 其中 nRiGnS1 正倒格矢分别为： 0,a0,2312a1,ca0,321ab,32b,cb ，对于平行于 c 轴的最短的倒格矢 G，有 2321mieGS0,0c1 GSmi所 以 同理，对于六角密
23、堆结构，当 G= 时，02022cCUS所 以 简单六角原胞中含有一个原子，第一个能带可容纳 2N 个电子。若晶体是双价原子 组成的，则 N 个原子的体系可提供 2N 个价电子，这样能带可能全被填满。所以 在原则上其可构成绝缘体。 同理：单价原子构成的六角密堆结构，是不可能成为绝缘体的。 61. (方俊鑫教材 32 题) 平面正六方形晶格（如图），六角形两个对边的间距是 a，基矢 ; = 2+32 ;试画出此晶体的第一、二、三布里渊区。 = 2+32 如图所示： 62. (方俊鑫教材 38 题) 某晶体中电子的等能量曲面是椭球面 ，求能量 E 到 ()=22(21+21+21) E+dE 之间的状态数。 63. 某二维晶体，其原胞的基矢 =2， =2； 。设晶体有 N 个原胞，|1| |2| a1a2 每个原胞内平均有 1 个电子：(1)画出该晶体的第一、二布里渊区；(2)在扩展布里 渊区图上画出自由电子的费米面。 本文档来源于第一文库网：
