1、第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 的概率分布如下表所示:XY X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.3 0.5 0.2 0 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 1.3214.0)( XE9053Y 因为 ，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较)( 好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X表示取出的3 个球中的 最大编号，求E(X ). 解：X 的可能取值为 3,4,5. 因
2、为 ； ；1.0)3(5CP 3.01)4(352CXP6.)(3524 所以 5.40.1.0XE 4.3 设随机变量 X 的概率分布 其中 是个常数，1(0,2),()kaPX 0a 求 () 解: ，下面求幂级数 的和函数， 1121 1()()()k kk kaaE:1kx 易知幂级数的收敛半径为 ，于是有R1 2()(),1()kkxx x 根据已知条件， ，因此 ，所以有0a1a .221()()EX: 4.4 某人每次射击命中目标的概率为 , 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, p 求射击次数的期望. 解：因为 的可能取值为1,2,。依题意，知 的分布律为XX 1(),
3、12,kPqk 所以 )()()()( 111 qppkEkkq)(22 4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15 分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期 望能得到多少分？ 解：设 4 次射击中命中目标的子弹数为 X，得分为 Y，则 XB(4,0.6) 因为 0256.4.60)(4CXP13.131)2(2445606.313CXP29)(4 所以 Y 的分布律为 Y 0 15 30 55 100 P 0.0256 0.1536 0.3456 0.3456 0.1296 故
4、期望得分为 1296.03456.03456.0156.26.)( E = 44.64 4.6 设随机变量 X 的概率分布为 说明 的期望不132()(1,),kPX X 存在。 解:级数 发散,不符合离散型随机变量期望定义的要11 132()kkkkxp 求,从而 的期望不存在.X 4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其 概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望. 解：设遇到红灯次数为 X，依题意，知 XB(3,0.4) 故 2.1403)(E 4.8 设随机变量X的概率密度函数为 , 求 ,()2120,xf其 他 ().EX 解： 31
5、212320101()()()().xEXxfdxdx 4.9 设随机变量 X 的概率密度函数为,2,()40,axfbc其 他 又 ,求常数 的值.3()21EXP,abc 解： 由 ，得 (fxd2402()xdx 126cba 因为 xf420)()() 6358 所以，由 ，得 XE6358cba 又 dxdxP221)()31( cba25 由 ，得 44c 解联立方程，得 ， ，a1b 4.10 设随机变量X的概率密度函数为 说明 的期望不2(),1)fxxX 存在. 解:积分 ,显然,积分发散,根据连续型随机220()(1)1xxxfddd 变量期望的定义, 的期望不存在.X 4
6、.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为 72 分, 96 分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率. 解：设 ，依题意得，),(2NX72)(E 又 ，则023.%.96P )2(9.06XP 即有 所以 得 )(7(91 所以 1,2NX 故所求的概率为 )|127(|)|72(|)8460( XPXPP68.013.2) 4.12 对习题4.1 中的随机变量X, 计算 .22()(54)EX、 解： 1.03.3.014.0)(22 E45)(5 4.13 设随机变量X的概率密度函数为 , ,0()
7、xef 分别计算 的期望和 的期望2Y2XYe 解：因为 ，其中 ，所以 )(EX11)(E 故 2)(23)( 002 dxexedxfeX 4.14 对球的直径做近似测量, 设其值均匀分布在区间 内, 求球体积的均值.()ab 解：设球的直径测量值为 ，体积为 ，则有 .显然 的概率密度函数为XV316X1,()0axbfxb其 他 因此,球体积的均值为 . 23311()()64baabEVXxd 4.15 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光, 电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从 底层起运行. 设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且 , 求06XU 该游客等候时间
8、的期望. 解: 用随机变量 表示游客的等候时间 (单位: 分钟), 则 ,其函数关系为Y()Yg 5,05,22(),66.xyg 由于 ,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为0XU 5255600 2570()()()()()().6EYgxdxdxdxd 4.16 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)Y , 2101(,),yxfx其 他 求 .2()EXYEXY 解：因为，当 时，10x 30241,( xdyyxff x 当 时，y )(),)dyyY 所以， 54()( 310xdxfXEX 3)(2)yyY dyxxf102,()( 213105104dxyxx
9、又 34)()(22 fXEX 5)1(102 yyyYY 故 6)()(222 E 4.17 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 概率密度函数分别为 和2,01(),Xxf其 他 5,()0yef 求 .EY 解： ， 32)()(10xdxf )(555yyeey6155 ye 因为 X 和 Y 相互独立，所以 .432)()(YEX 4.18 设二维随机向量 服从圆域 上的均匀分布,求(,)22(,):DxyR .2(EXY 解: 根据二维随机向量的计算公式： 2222()(,) ,xyRxyfddxy 此积分用极坐标计算较为方便，于是有 2201()3REXYr 4.19 设随机变量
10、X 与 Y 相互独立,并且均服从 ,求 .(0)U(max,)EXY 解：由于 X 服从 ，故其分布函数为(0)U 同理，Y 服从 ，故其分布函数为 0,()1,.XxFx(0,)U 于是根据公式 3.7.5， 的分布函数为 0,(),1.Yyymax,XY 求到后得密度函数 2max0,()1,.zFzz 2max,0,().zzf 其 他 因此 +max-2()=().3EXYfzd 4.20 民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出, 沿途有10个车站. 若到达一个 车站时没有旅客下车, 就不停车. 设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的, 求 汽车的平均停车次数. 解：用随机
11、变量 表示汽车的 10 个车站总的停车次数，并记X1,0ii第 站 有 旅 游 下 车 ， 第 站 无 旅 游 下 车 ， 1,20,i 显然， 均服从两点分布，且 ，于是有i 1210X2099(),(),1i iPXP 由此求得 .20 20()().874,()1()874iEEX 4.21 将一颗均匀的骰子连掷10 次, 求所得点数之和的期望. 解：设 Xi 表示第 i 次掷出的点数(i =1,2,10)， 则掷 10 次骰子的点数之和为 。 10iiX 因为 Xi 的分布律为 (k =1,2,6)，6)(Pi 所以 27615143126)( iE 故 .1010 3527)()(i
12、iiXE 4.22 在习题4.4中, 若直到命中目标 次为止, 求射击次数的期望.n 解：设 是从第 次命中目标到第 次命中目标之间的射击次数， 的分布律为k1kkX 1()(,2,12,mkPXp 记随机变量 ，并且注意到随机变量 概率分布相同，因12n n 此 1()().Enp 4.23 求习题 4.1 中随机变量 的方差.,XY 解：由 T4.1 知 ， ，由 T4.12 知1)(E90)( 2)(XE 又 3.10.25.3.22 故 1)()( XXVar .490.222EYY 4.24 求习题 4.9 中随机变量 X 的方差 解: 由 T4.1 知 ，()22422323011
13、4()()().xfdxxd 故 3VarXE 4.25 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)Y , 1,1,(,)40xyyf其 他 求 和 .()VarX()rY 解：因为，当 时，1x 214),()(1dyxdyxffX 即 ),(U 所以 ，021)(XE31)(12)(2XVar 由对称性得 ，Y3 4.26 设随机变量 ,并且 X 与 Y 相互独立,求 和(0,4)()NYU()VarXY .(23)VarXY 解：因为 ，,(),( 所以 ，4)ar 34)0(122YVar 又 X 和 Y 相互独立，故 6)()()( XV .283499432 Yarrar 4.27 设
14、二维随机向量 的概率分布如下表:(,)Y XY -1 0 1 0 1 0.1 0.3 0.1 0.1 0.1 0.3 求 (,).Cov 解 容易求得 的概率分布为：X0.3,PX10.7, 的概率分布为：Y1.4,Y2Y4PY 的概率分布为： ，1,0.3,1,10.3,P X010.4XYYPXYYPXY 于是有 ().3.70,E ，1421.4Y().3.Xov,()()0CEYX 4.28 设二维正态随机向量 的概率密度函数为(,)XY21(4)()3(,),2xyfxyexy 问 与 是否互不相关?XY 解：二维随机变量 具有概率密度的标准形式为：),( 221212)(212),
15、( yxxeyxf 其中 均为常数,且 ,由此得到：,21 |,0,21 因为 所以 与 互不相关。()(4;30)XYN:XY 4.29 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)XY , 求 .,02,(,)8xyxyf其 他 XY 解：因为，当 时，0x 418),()(20 xdyffX 所以 67)341)()( 020 xdxdfXE 5)()()( 202022 xfx 于是 361)75)(222EXXVar 由对称性得 ，67)(YVar 又因为 dyxdxyf 208),(10420232 )3(81yx34)62(203 所以 361734)()(),( YEXYXCOV 故
16、 .)/1()6/()(,ar 4.30 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)XY , ()0,(,),xyeyf其 他 求 和 .CovYX 解：由二维随机向量 的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度：(,) ，0(), xXef其 他 0,yYef其 他 显然， ，所以 与 相互独立，从而互不相关。()XfyfXY 4.31 设 ,求 和 .25,36,Varar0.4()VarXY()ar 解：由 得)(YVCOXY 123654.0)(),( arXX 因为 ),2)(YCOVarVar 所以 8513625)(Y7Xr 4.32 设 服从 求 .(0.,)cos,UXY 解：因
17、服从 所以 .于是有5()0Eov(,)()(CXYE 是关于随机变量 的函数,根据求随机变量函数期望的法则,有csX .又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积0.5(,)oxd 分为 0,于是 =0.)(,YVarCOXY 第四章 定义、定理、公式、公理小结及补充： 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设 是离散型随机变量， XnkpxE1)( （要求绝对收敛） 设 是连续型随机变量，其概率X 密度为 ，()fxdfE （要求绝对收敛） 函数的期望 ()YgXnkkpxE1 ()YgXdxfE)( 方差 ，.)()(2XED 标准差 ， )()(kkpXxD2)()( xf
18、XxD)()(2 矩 定义 设 和 为随机变XY 量, 为正整数, 称 lk)(kE 为 阶原点矩(简称 阶矩阵); 为 阶中心矩;)kE 为 阶绝对原点矩;| 为 阶绝对中|(kX 心矩; 为 和 的)lYY 阶混合矩;lk由左边定义可知: (1) 的数学期望X是 的一阶原点矩;)(X(2) 的方差 是)(D的二阶中心矩; (3)协方差 是),(YXCov 和 的二阶混合中心矩.X （1） 一维 随机 变量 的数 字特 征 切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=，方差 D（X）= 2，则对于 任意正数 ，有下列切比雪夫不等式 2)(P 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布
19、的情况下，对概率 )(P 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2） 期望 的性 质 1. 设 是常数, 则C;)(CE 2若 是常数，则k);(Xk 3. )()(2121XE 4. 设 独立, 则 ;Y)(YE （3） 方差 的性 质 1. 设 常数, 则 ;C0)(D 2. 若 是随机变量, 若 是常数, 则XC);()(2XD 3. 设 是两个随机向量,则Y );()(2)()( YEEYXD 特别地, 若 相互独立, 则X).()(D 注: 对 维情形, 有: 若 相互独立, 则nnX,21 .)(,)(12111 iiiniii XCDX 期望 方差 0-1 分布 ),(pBp )
20、1(p 二项分布 nnp n 泊松分布 )(P 几何分布 pGp121p 超几何分布 ),(NMnHNnM1NnMn 均匀分布 ),(baU2ba2)(ab 指数分布 e11（4）常见分布的期望和方差 正态分布 ),(2N2 分 布2n 2n t 分布 0 (n2)2n 期望 niipxXE1)(njjyY1)( dxfXEX)()(yfYY)()( 函数的期望 ,XGEijijipyx)( ,XGE dxyfyx),(, 方差 i iXExXD2)()(j jpYYfXED)()(2dyfYy)()(2 （5） 二维 随机 变量 的数 字特 征 协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶
21、混合中心矩 为 X 与 Y 的协1 方差或相关矩，记为 ，即),cov(YX或.)(1EEXY 与记号 相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为 与 。Y 相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称)(Y 为 X 与 Y 的相关系数，记作 （有时可简记为 ） 。X | |1，当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关：1)(baP 完全相关 ，时负 相 关 ， 当 ，时正 相 关 ， 当 )0(1a 1. ;1|XY 2. 若 和 相互独立, 则 .0XY 3. 若 ,则 当且仅当存在常数 0,D1|).0(,ab 使 , 而且当 时, ;当
22、时, .1baXYPaXY0a1XY 注: 相关系数 刻画了随机变量 Y 与 X 之间的“线性相关”XY 程度. 的值越接近 1, Y 与 X 的线性相关程度越高;|XY 的值越近于 0, Y 与 Y 的线性相关程度越弱.| 当 时, Y 与 X 的变化可完全由 X 的线性函数给出.1|X 当 时, Y 与 X 之间不是线性关系.0 协方差矩阵 YX 混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有 存在，则称之为 X 与 Y 的)(lkYXE k+l 阶混合原点矩，记为 ； k+l 阶混合中心矩记为：kl.)()(lkklu （6） 协方 差的 性质 );(,cov()1XD,c2Y ,其中 是常数;)ov,3abba, 为任意常数;C0)()4 ).,cov(),c(,cov52121 YXX (6) 若 与 相互独立时,则Y.0, （7） 独立 和不 相关 （i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ；反之不真。XY （ii） 若（X，Y）N（ ） ，,212 则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。
