1、1.2-1.3 探究摆钟的物理原理 探究单摆振动的周期 学习目标定位 1.理解单摆模型及其振动特点.2.理解单摆做简谐运动的条件，知道单摆振 动时回复力的来源.3.知道相位的概念，知道同相振动与反相振动的步调特点.4.会用控制变 量法探究单摆的周期与哪些因素有关.5.掌握单摆的周期公式，掌握用单摆测定重力加速度 的原理和方法 1一个做往复运动的物体，当它所受到的回复力满足 Fkx ，则这个物体做简谐运动 2物理学中对于多变量的问题，常采用控制变量法把多变量的问题变成单变量的问题 3如图 1 所示，细线上端固定，下端系一小球，如果细线的伸缩可以忽略，细线的质量与 小球相比可以忽略，小球的直径与细
2、线的长度相比也可以忽略，这样的装置就可看成单 摆单摆在摆角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律 图 1 4相是描述振动步调的物理量两个单摆振动步调一致，我们称为同相；两个单摆振动步 调正好相反，叫做反相 5单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，周期公式 T2 . lg 一、探究摆钟的物理原理 问题设计 一阵风吹过，大厅里的吊灯微微摆动起来，久久不停，伽利略就是通过观察教堂吊灯 摆动发现了吊灯摆动的等时性，惠更斯按照伽利略的构想，发明制作了一个摆钟摆钟的 往复运动是简谐运动吗？你能用所学的知识证明吗？ 答案 是简谐运动 证明：把摆钟等效成一个小球，当小球运动到图中的任意位
3、置 P 时，小球受到的回复力是 小球所受重力 G 沿着圆弧切线方向的分力 G1，FG 1mgsin .若摆角 很小，则有 sin ，并且位移 x ，考虑了位移和回复力的方向后，有 Fmg (“”表示 AOPlAPxl 回复力 F 与位移 x 的方向相反)，m 是小球的质量，l 是摆长， g 是重力加速度，它们都有 确定的数值， 可以用一个常数 k 来表示，则上式又可以写成 Fkx ，也就是说，在摆 mgl 角很小时，小球所受到的回复力跟位移大小成正比而方向相反，所以小球做简谐运动 要点提炼 1单摆 (1)模型：摆线是不可伸长，且没有质量的细线，摆球是没有 大小只有质量的质点，这样的 装置叫单摆
4、，它是实际摆的理想化模型 (2)实际摆看作单摆的条件：摆线的形变量与摆线的长度相比 小得多，摆线的质量与摆球 的质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线 摆球直径的大小与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质 点 2单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力 (2)回复力的特点：在摆角很小时，F x. mgl (3)运动规律：在摆角很小时做简谐运动，其振动图像遵循 正弦函数规律 延伸思考 单摆经过平衡位置时，合外力为零吗？ 答案 不为零单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在 切线方向的分力摆球所受的合外力在
5、法线方向(摆线方向) 的分力作为摆球做圆周运动的 向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力的因此摆球经过平衡位置时，只是回复 力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力) 例 1 对于单摆的振动，以下说法中正确的是( ) A单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D摆球经过平衡位置时所受合外力为零 解析 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分 力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为 mv2/l，可见 最大摆角处向心力为零，平衡位置处向
6、心力最大，而回复力在最大摆角处最大，平衡位置 处为零，故应选 C. 答案 C 二、研究振动的步调问题 问题设计 1如图 2 所示，在铁架台上悬挂两个相同的单摆，将两个摆球拉离平衡位置且保证摆角相 同，然后同时放开，可观察到什么现象？ 答案 它们的运动总是一致的，也可以说是步调一致，即同时沿相同方向经过平衡位置， 并同时达到同一侧最大位移处 图 2 图 3 2如图 3 所示，再将两个摆球拉开相同的摆角，先放开一个，等它摆到另一边最大位移处 时，再放开第二个，又可观察到什么现象？ 答案 它们的运动总是相反的，也可以说是步调相反，即同时沿相反方向经过平衡位置， 并同时达到两侧最大位移处 要点提炼 1
7、相(或相位、位相、周相)：描述振动步调的物理量 (1)两个单摆振动步调一致，称为同相； (2)两个单摆振动步调不一致，就说它们存在着相差； (3)两个单摆振动步调正好相反，叫做反相 2相差：指两个相位之差 在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调 差异 例 2 如图 4 所示是在同一个坐标系里画出的三个振动系统的振动图像，下列说法正确的 是( ) 图 4 Aa、b、c 三个振动系统的频率相同 Ba、b 两个系统振动时存在着相差 Ca、b 两个系统振动同相 Da、c 两个系统振动反相 解析 由题图可知，三个振动系统的周期相同，故频率相同，A 正确；a、b 两
8、个系统振动 的振幅不同，但总是同时来到正向(或负向) 的最大位移处，同时同方向经过平衡位置，故 a、b 同相，B 错误，C 正确；a、c 两个系统总是同时来到反向的最大位移处，同时以相反 方向经过平衡位置，故 a、c 反相，D 正确 答案 ACD 三、探究单摆振动的周期 问题设计 1如图 5 所示，两个单摆同时释放，我们可以观察到振动的周期不同影响周期的因素可 能有单摆的质量、振幅、摆长，这么多因素我们应采用什么方法研究？ 图 5 答案 控制变量法具体做法为： (1)只让两摆的质量不同(2)只让两摆的振幅不同( 都在小摆角下)(3) 只让两摆的摆长不 同 比较以上三种情况下两摆的周期，可以得到
9、周期与质量、振幅、摆长之间的定性关系 2具体做法是什么？得出影响周期的因素是什么？ 答案 首先，研究周期和质量有没有关系，就应控制其他条件不变 做法：用两个摆长相同，摆球质量不同的单摆将它们拉到同一个高度(注意摆角要小) 释 放，观察两摆的运动 现象：两摆球摆动总是同步的，说明两摆球周期相同，即周期与摆球质量无关 其次，研究单摆的周期和振幅的关系 做法：用一个单摆，分两次从不同高度释放(振幅不同) ，用秒表测量单摆振动 30 次所用时 间并比较两次所用时间 结论：两次所用时间近似相等，故周期与振幅无关 再次，研究单摆的周期和摆长的关系 做法：取两个摆长不同，质量相同的两个摆球从同一高度同时释放
10、，观察两摆的运动 现象：两摆振动不同步，摆长大的振动慢，说明单摆的周期与摆长有关 由此可知单摆的周期与摆球质量、振幅无关，与摆长有关 要点提炼 1单摆的周期公式 T2 . lg 2摆长 l (1)实际的单摆的摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点 到摆球球心的长度：即 ll ，l为摆线长，d 为摆球直径 d2 (2)等效摆长：如图 6 所示，甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆 长为 lsin_，这就是等效摆长，所以其周期为 T2 . lsin g 图 6 3重力加速度 g 若系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即 g ，式中 GMR2 R 为物体到
11、地心的距离，M 为地球的质量， g 随所处地表的位置和高度的变化而变化另 外，在不同星球上，M 和 R 一般不同，g 也不同，g 取 9.8 m/s2 只是在地球表面附近时的取 值 例 3 如图 7 所示，MN 为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球 A 放在 MN 的圆心 处，再把另一小球 B 放在 MN 上离最低点 C 很近的 B 处，今使两球同时自由释放，则在不 计空气阻力时有( ) 图 7 AA 球先到达 C 点 BB 球先到达 C 点 C两球同时到达 C 点 D无法确定哪一个球先到达 C 点 解析 A 做自由落体运动，到达 C 所需时间 tA ，R 为圆弧轨道的半径 2Rg 因为圆
12、弧轨道的半径 R 很大，B 球离最低点 C 又很近，所以 B 球在轨道给它的支持力和重 力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为 R 的单摆) ，则运动到最低点 C 所用的时间是 单摆振动周期的 ，即 tB tA，所以 A 球先到达 C 点 14 T4 2 Rg 答案 A 四、测定当地的重力加速度 问题设计 在地球表面，不同纬度重力加速度不同，不同高度重力加速度不同，利用本学案的知识怎 样测出当地的重力加速度？ 答案 由单摆周期公式得 g ，如果测出单摆的摆长 l、周期 T，就可以求出当地的重 42lT2 力加速度 g. 要点提炼 1原理：测出摆长 l、周期 T，代入公式 g ，求出重力加速度
13、 g. 42lT2 2器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔) 、停表、细线(1 m 左右)、米尺、游标卡尺 3实验步骤 (1)让细线穿过金属小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆 (2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上 端固定在铁夹上，使摆球自由下垂在单摆平衡位置处做上标记 (3)用米尺量出悬线长 l( 准确到 mm)，用米尺和三角板( 或游标卡尺)测出摆球的直径 d(准 确到 mm)，然后计算出悬点到球心的距离 ll 即为摆长 d2 (4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于 5，再释放小球当小球摆动 稳定以后，经
14、过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动 30 次(或 50 次) 的时间， 求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期 (5)改变摆长，反复测量三次，算出周期 T 及测得的摆长 l 代入公式 g ，求出重力加速 42lT2 度 g 的值，然后求 g 的平均值，即为当地的重力加速度的值 4五点注意 (1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于 1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过 2 cm. (2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、 摆长改变的现象 (3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度
15、应很小 (4)小球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆方法是将小球拉到一定 位置后由静止释放 (5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球应从同一方向通 过最低点时计数，要多测几次(如 30 次或 50 次) 全振动的时间，用取平均值的办法求周 期 例 4 下表是“用单摆测定重力加速度”实验中获得的有关数据： 摆长 l/m 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 周期平方 T2/s2 1.6 2.2 2.4 3.2 4.0 4.8 (1)利用上述数据，在图 8 中描出 lT 2 的图像 图 8 (2)利用图像，取 T25.2 s 2 时，l _ m
16、 ，重力加速度 g_ m/s 2. 解析 (1)描点作图如图所示 (2)由图可知，当 T25.2 s2 时，l 1.3 m，将它代入 g 得：g 42lT2 42lT2 m/s29.86 m/s 2. 43.1421.35.2 答案 (1)见解析图 (2)1.3 9.86 单摆Error! 1单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( ) A摆线质量不计 B摆线长度不伸缩 C摆球的直径比摆线长度短得多 D只要是单摆的运动就是一种简谐运动 答案 ABC 解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线 不伸缩但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆
17、角很小(5)的情况下才能 视单摆运动为简谐运动，故正确答案为 A、B、C. 2单摆振动的回复力是( ) A摆球所受的重力 B摆球重力在垂直悬线方向上的分力 C悬线对摆球的拉力 D摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力 答案 B 解析 摆球振动的回复力是其重力沿圆弧切线方向的分力，即摆球重力在垂直悬线方向上 的分力，B 正确 3已知单摆 a 完成 10 次全振动的时间内，单摆 b 完成 6 次全振动，两摆长之差为 1.6 m， 则两单摆长 la与 lb分别为( ) Al a2.5 m，l b0.9 m Bl a0.9 m ， lb2.5 m Cl a2.4 m ， lb4.0 m Dl a4.0 m
18、，l b2.4 m 答案 B 解析 设两个单摆的周期分别为 Ta和 Tb，由题意 10Ta 6Tb，得 TaT b35. 根据单摆周期公式 T2 ，可知 l T2， lg g42 由此得 lal bT T 925.则2a 2b la 1.6 m0.9 m， 925 9 lb 1.6 m2.5 m. 2525 9 4用单摆测定重力加速度，根据的原理是( ) A由 g 看出，T 一定时，g 与 l 成正比 42lT2 B由 g 看出，l 一定时，g 与 T2 成反比 42lT2 C由于单摆的振动周期 T 和摆长 l 可用实验测定，利用 g 可算出当地的重力加速度 42lT2 D同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比 答案 C 解析 g 是由所处的地理位置的情况来决定的，与 l 及 T 无关，故只有 C 正确
