1、第 1 页（共 21 页） 2015-2016 学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1下列函数是二次函数的是（ ） Ay=3x+1 By=ax 2+bx+c Cy=x 2+3 Dy= （x1） 2x2 2若反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，则 k 的取值可以是（ ） A3 B2 C 1 D0 3将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转 90，所得图形一定与原图形重合的是（ ） A平行四边形 B矩形 C正方形 D菱形 4已知二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为（2，0） ，则它与 x 轴的另一个交点
2、 坐标是（ ） A （1，0） B （ 1，0） C （2，0） D （3，0） 5已知 RtABC 中，C=90，AB=2 ，tanA= ，则 BC 的长是（ ） A2 B8 C2 D4 6抛物线 y= x2，y= 3x2，y=x 2，y=2x 2 的图象开口最大的是（ ） Ay= x2 By= 3x2 Cy= x2 Dy=2x 2 7b 是 a，c 的比例中项，且 a：b=1：3，则 b：c=（ ） A1：3 B3：1 C1：9 D9：1 8如图，O 的直径 AB=2，点 C 在O 上，弦 AC=1，则D 的度数是（ ） A30 B45 C60 D75 9如图，A 点是半圆上一个三等分点，
3、 B 点是弧 AN 的中点，P 点是直径 MN 上一动点， O 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为（ ） 第 2 页（共 21 页） A1 B C D 10已知函数 y= ，若使 y=k 成立的 x 值恰好有两个，则 k 的值为 （ ） A1 B1 C0 D1 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11抛物线 y=2（x 1） 2+5 的顶点坐标是_ 12若 = ，则 =_ 13一只小虫由地面沿 i=1： 2 的坡面向上前进了 10m，则小虫距离地面的高度为 _m 14已知抛物线 y1=2x2+2 和直线 y2=2x+2 的图象如图所示，当 x 任取一值时，x 对应
4、的函 数值分别为 y1、y 2若 y1y 2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2例 如：当 x=1 时，y 1=0，y 2=4， y1y 2，此时 M=0则下列结论中一定成立的是_（把 所有正确结论的序号都填在横线上） 当 x0 时，y 1y 2； 使得 M 大于 2 的 x 值不存在； 当 x0 时，x 值越大，M 值越小； 使得 M=1 的 x 值是 或 三、解答题（共 2 小题，满分 16 分） 15计算：6tan 230 sin60sin30 16如图，在ABC 中，C=90，在 AB 边上取一点 D，使 BD=BC，过 D 作 DEAB 交 AC
5、 于 E，AC=8 ，BC=6 求 DE 的长 第 3 页（共 21 页） 四、解答题（共 2 小题，满分 16 分） 17如图，二次函数 y=（x 2） 2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C 关于该函数图象 对称轴对称的点，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点 A（1，0）及点 B （1）求二次函数的解析式； （2）求一次函数的解析式 18如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，2） ， B（3，4）C （2，6） （1）画出ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后得到的A 1B1C1 （2）以原点 O 为位似中心，画出将 A 1
6、B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的A 2B2C2 五、解答题（共 2 小题，满分 20 分） 19已知：如图，M 是 的中点，过点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C，设O 的半径为 4cm，MN= cm （1）求圆心 O 到弦 MN 的距离； （2）求ACM 的度数 第 4 页（共 21 页） 20如图所示，在天水至宝鸡（天宝）高速公路建设中需要确定某条隧道 AB 的长度，已 知在离地面 2700 米高度 C 处的飞机上，测量人员测得正前方 AB 两点处的俯角分别是 60 和 30，求隧道 AB 的长 （结果保留根号） 六、解答题（共 1 小题，满分 12 分） 21如图，已知一次函数
7、 y1=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A、B 两点， 且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOB 的面积； （3）并利用图象指出，当 x 为何值时有 y1y 2；当 x 为何值时有 y1y 2 七、解答题（共 1 小题，满分 12 分） 22如图，在 RtABC 中，A=90，BC=10cm，AC=6cm，在线段 BC 上，动点 P 以 2cm/s 的速度从点 B 向点 C 匀速运动；同时在线段 CA 上，点 Q 以 acm/s 的速度从点 C 向 点 A 匀速运动，当点 P 到达点 C（或点 Q 到达点 A）时，两点运动停止，在运动过程
8、中 （1）当点 P 运动 s 时，CPQ 与ABC 第一次相似，求点 Q 的速度 a； （2）当CPQ 与ABC 第二次相似时，求点 P 总共运动了多少秒？ 八、解答题（共 1 小题，满分 14 分） 第 5 页（共 21 页） 23某水果经销商到大圩种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价 y（元/千 克）与采购量 x（千克）之间的函数关系图象如图中折线 ABBCCD 所示（不包括端点 A） ， （1）当 500x1000 时，写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）葡萄的种植成本为 8 元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过 1000 千克， 当采购量是多少时，大圩种植
9、基地获利最大，最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若经销商一次性付了 16800 元货款，求大圩种植基地可以获得多 少元的利润？ 第 6 页（共 21 页） 2015-2016 学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1下列函数是二次函数的是（ ） Ay=3x+1 By=ax 2+bx+c Cy=x 2+3 Dy= （x1） 2x2 【考点】二次函数的定义 【分析】依据一次函数、二次函数的定义求解即可 【解答】解：A、y=3x +1 是一次函数，故 A 错误； B、当 a=0 时，y=ax 2+
10、bx+c 不是二次函数，故 B 错误； C、y=x 2+3 是二次函数，故 C 正确； D、y= （ x1） 2x2 可整理为 y=2x+1，是一次函数，故 D 错误 故选：C 2若反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，则 k 的取值可以是（ ） A3 B2 C 1 D0 【考点】反比例函数的性质 【分析】先根据反比例函数的性质列出关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围，进而可得出 结论 【解答】解：反比例函 y= 的图象位于第一、三象限， 2k+10，解得 k ， k 的值可以是 0 故选 D 3将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转 90，所得图形一定与原图形重合的是（ ） A平行四边
11、形 B矩形 C正方形 D菱形 【考点】旋转对称图形 【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答 案 【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正 方形 故选：C 第 7 页（共 21 页） 4已知二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为（2，0） ，则它与 x 轴的另一个交点 坐标是（ ） A （1，0） B （ 1，0） C （2，0） D （3，0） 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】根据根与系数的关系， ，即可求出另一根，即可解答 【解答】解：a=1，b=1， ， 即：2+x= 1，解得：x=3，
12、 二次函数与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 故选 D 5已知 RtABC 中，C=90，AB=2 ，tanA= ，则 BC 的长是（ ） A2 B8 C2 D4 【考点】解直角三角形 【分析】根据题意可以设出 BC 和 AC 的长度，然后根据勾股定理可以求得 BC 的长，本 题得以解决 【解答】解：RtABC 中，C=90，AB=2 ，tanA= ， 设 BC=a，则 AC=2a， ， 解得，a=2 或 a=2（舍去） ， BC=2， 故选 A 6抛物线 y= x2，y= 3x2，y=x 2，y=2x 2 的图象开口最大的是（ ） Ay= x2 By= 3x2 Cy= x2 Dy=2x
13、2 【考点】二次函数的图象 【分析】根据二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正 确的 【解答】解：二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大， 又 ， 抛物线 y= x2，y= 3x2，y=x 2，y=2x 2 的图象开口最大的是 y= x2， 第 8 页（共 21 页） 故选 A 7b 是 a，c 的比例中项，且 a：b=1：3，则 b：c=（ ） A1：3 B3：1 C1：9 D9：1 【考点】比例线段 【分析】由 b 是 a、c 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得 a：b=b：c，又由 a：b=1：3，即可求得答案 【解答】解：b 是 a，c
14、的比例中项， b 2=ac， a：b=b：c， a：b=1：3， b：c=1：3； 故选 A 8如图，O 的直径 AB=2，点 C 在O 上，弦 AC=1，则D 的度数是（ ） A30 B45 C60 D75 【考点】圆周角定理 【分析】先根据圆周角定理求出ACB 的度数，再由 AC=1，AB=2 得出ABC=30 ，故 可得出A 的度数，根据圆周角定理即可得出结论 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB=90 AB=2，AC=1， ABC=30， A=90 30=60， D= A=60 故选 C 9如图，A 点是半圆上一个三等分点， B 点是弧 AN 的中点，P 点是直径 MN 上一动点，
15、 O 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为（ ） A1 B C D 第 9 页（共 21 页） 【考点】垂径定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称-最短路线问题 【分析】本题是要在 MN 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，设 A是 A 关于 MN 的对称点， 连接 AB，与 MN 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB 是最小值，可证OA B 是等腰直角 三角形，从而得出结果 【解答】解：作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点 P，则 PA+PB 最小， 连接 OA，AA 点 A 与 A关于 MN 对称，点 A 是半圆上的一个三等分点， AON=AON=
16、60，PA=PA ， 点 B 是弧 AN的中点， BON=30， AOB= AON+BON=90， 又OA=OA=1， AB= PA+PB=PA +PB=AB= 故选 C 10已知函数 y= ，若使 y=k 成立的 x 值恰好有两个，则 k 的值为 （ ） A1 B1 C0 D1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】首先在坐标系中画出已知函数 y= 的图象，利用数形结合的 方法即可找到使 y=k 成立的 x 值恰好有两个的 k 值 【解答】解：函数 y= 的图象如图： 第 10 页（共 21 页） 根据图象知道当 y=1 或 y=1 时，对应成立的 x 有恰好有 2 个， 则 k 的值
17、为1 故选：D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11抛物线 y=2（x 1） 2+5 的顶点坐标是 （1，5） 【考点】二次函数的性质 【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标 【解答】解：y=2（x 1） 2+5 是抛物线解析式的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5） 12若 = ，则 = 【考点】比例的性质 【分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解 【解答】解： = ， 4（ab）=3b ， 4a=7b， = 故答案为： 13一只小虫由地面沿 i=1： 2 的坡面向上前进了 10m，则小虫距离地面的高度为 2 m 【考点】解直角
18、三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】根据坡度的概念得到 CA、BC 的关系，根据勾股定理计算即可 【解答】解：AB=10 米，tanA= = 第 11 页（共 21 页） 设 BC=x，AC=2x ， 由勾股定理得，AB 2=AC2+BC2，即 100=x2+4x2，解得 x=2 ， AC=4 ，BC=2 m 故答案为：2 14已知抛物线 y1=2x2+2 和直线 y2=2x+2 的图象如图所示，当 x 任取一值时，x 对应的函 数值分别为 y1、y 2若 y1y 2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2例 如：当 x=1 时，y 1=0，y 2=4， y1
19、y 2，此时 M=0则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） 当 x0 时，y 1y 2； 使得 M 大于 2 的 x 值不存在； 当 x0 时，x 值越大，M 值越小； 使得 M=1 的 x 值是 或 【考点】二次函数的性质 【分析】若 y1=y2，记 M=y1=y2首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当 x0 时，利用函数图象可以得出 y2y 1；当1x0 时，y 1y 2；当 x 1 时，利用函数 图象可以得出 y2y 1；然后根据当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1、y 2若 y1y 2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M；即可求得答案 【解
20、答】解：当 y1=y2 时，即2x 2+2=2x+2 时， 解得：x=0 或 x=1， 当 x0 时，利用函数图象可以得出 y2y 1；当1x0 时，y 1y 2；当 x 1 时，利用 函数图象可以得出 0y 2y 1； 不成立； 抛物线 y1=2x2+2 的最大值为 2，故 M 大于 2 的 x 值不存在， 第 12 页（共 21 页） 成立； 抛物线 y1=2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1、y 2若 y1y 2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M； 当 x0 时，根据函数图象可以得出 x 值越大，M 值越大； 不成立； 如图：当1 x0
21、时，y 1 y2； 当 M=1，2x+2=1，x= ； x0 时，y 2y 1； 当 M=1，2x 2+2=1，x 1= ， x2= （舍去） ， 使得 M=1 的 x 值是 或 ， 成立； 故答案为： 三、解答题（共 2 小题，满分 16 分） 15计算：6tan 230 sin60sin30 【考点】实数的运算 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 【解答】解：原式=6（ ） 2 =2 =22=0 16如图，在ABC 中，C=90，在 AB 边上取一点 D，使 BD=BC，过 D 作 DEAB 交 AC 于 E，AC=8 ，BC=6 求 DE 的长 【考点】勾股定理；相似三角
22、形的判定与性质 【分析】依题意易证AED ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求出 DE 的长 【解答】解：在ABC 中，C=90，AC=8，BC=6 ， AB= =10， 又BD=BC=6 ，AD=AB BD=4， 第 13 页（共 21 页） DEAB，ADE=C=90， 又A= A， AEDABC， ， DE= = 6=3 四、解答题（共 2 小题，满分 16 分） 17如图，二次函数 y=（x 2） 2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C 关于该函数图象 对称轴对称的点，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点 A（1，0）及点 B （1）求二次
23、函数的解析式； （2）求一次函数的解析式 【考点】待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式 【分析】 （1）直接把 A 点坐标代入 y=（x 2） 2+m 中秋出 m 即可得到二次函数的解析式； （2）根据二次函数的性质得抛物线的对称轴为直线 x=2，再求出 C 点坐标，接着利用对称 性得到 B 点坐标，然后利用待定系数法求直线 AB 的解析式 【解答】解：（1）把 A（1， 0）代入 y=（x 2） 2+m 得 1+m=0，解得 m=1， 所以二次函数的解析式为 y=（x2） 21； （2）抛物线的对称轴为直线 x=2， 当 x=0 时，y=（x2） 21=3，则 C（0，3）
24、 ， 因为点 B 是点 C 关于该函数图象对称轴对称的点， 所以 B 点坐标为（4，3） ， 设一次函数的解析式为 y=kx+b， 把 A（1，0） ，B（4，3）代入得 ，解得 ， 所以一次函数解析式为 y=x+1 第 14 页（共 21 页） 18如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，2） ， B（3，4）C （2，6） （1）画出ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后得到的A 1B1C1 （2）以原点 O 为位似中心，画出将 A 1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的A 2B2C2 【考点】作图-位似变换；作图 -旋转变换 【分析】 （1）由 A（1，2）
25、 ，B（ 3，4）C（2，6） ，可画出 ABC，然后由旋转的性质， 即可画出A 1B1C1； （2）由位似三角形的性质，即可画出A 2B2C2 【解答】解：如图：（1）A 1B1C1 即为所求； （2）A 2B2C2 即为所求 五、解答题（共 2 小题，满分 20 分） 19已知：如图，M 是 的中点，过点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C，设O 的半径为 4cm，MN= cm （1）求圆心 O 到弦 MN 的距离； （2）求ACM 的度数 第 15 页（共 21 页） 【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形 【分析】 （1）连接 OM，作 ODMN 于 D根据垂径定理和勾股定理求解；
26、 （2）根据（1）中的直角三角形的边求得M 的度数再根据垂径定理的推论发现 OMAB，即可解决问题 【解答】解：（1）连接 OM， 点 M 是 的中点， OMAB ， 过点 O 作 ODMN 于点 D， 由垂径定理，得 MD= MN=2 ， 在 Rt ODM 中， OM=4，MD=2 ， OD= =2， 故圆心 O 到弦 MN 的距离为 2cm； （2）cosOMD= ， OMD=30， M 为弧 AB 中点，OM 过 O， ABOM ， MPC=90， ACM=60 20如图所示，在天水至宝鸡（天宝）高速公路建设中需要确定某条隧道 AB 的长度，已 知在离地面 2700 米高度 C 处的飞机
27、上，测量人员测得正前方 AB 两点处的俯角分别是 60 和 30，求隧道 AB 的长 （结果保留根号） 第 16 页（共 21 页） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】易得CAO=60，CBO=30，利用相应的正切值可得 AO，BO 的长，相减即可 得到 AB 的长 【解答】解：由题意得CAO=60，CBO=30， OA=2700tan30=2700 =900 m，OB=2700 tan60=2700 m， AB=2700 900 =1800 （m） 答：隧道 AB 的长为 1800 m 六、解答题（共 1 小题，满分 12 分） 21如图，已知一次函数 y1=kx+b 的图象
28、与反比例函数 的图象交于 A、B 两点， 且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOB 的面积； （3）并利用图象指出，当 x 为何值时有 y1y 2；当 x 为何值时有 y1y 2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）先利用反比例函数求出点 A、B 的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解 析式； （2）求出一次函数图象与 y 轴的交点坐标，然后求出AOC 与BOC 的面积，则 S AOB=SAOC+SBOC； （3）可根据图象直接写出答案 【解答】解：（1）点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2， y= =4， 第 17 页（共
29、 21 页） =2， 解得 x=4， A（2 ，4） ，B （4，2） ， 把点 AB 的坐标代入函数解析式，得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为 y=x+2； （2）一次函数图象与 y 轴的交点坐标为（0，2） ， S AOB=SAOC+SBOC， = 2|2|+ 24， =2+4， =6； （3）根据图象，当 x2 或 0x4 时，y 1y 2， 当2 x 0，x 4，y 1y 2 七、解答题（共 1 小题，满分 12 分） 22如图，在 RtABC 中，A=90，BC=10cm，AC=6cm，在线段 BC 上，动点 P 以 2cm/s 的速度从点 B 向点 C 匀速运动；同时在线段 CA
30、 上，点 Q 以 acm/s 的速度从点 C 向 点 A 匀速运动，当点 P 到达点 C（或点 Q 到达点 A）时，两点运动停止，在运动过程中 （1）当点 P 运动 s 时，CPQ 与ABC 第一次相似，求点 Q 的速度 a； （2）当CPQ 与ABC 第二次相似时，求点 P 总共运动了多少秒？ 第 18 页（共 21 页） 【考点】相似三角形的判定 【分析】 （1）由于QCP=ACB，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三 角形相似，当 = 时可判定CPQ CBA，即 = ，然后解方程可求出 a 的值； （2）由于QCP=ACB，则 = ，CPQ CAB，即 = ，然后解 t 的方
31、程即可 【解答】解：（1）如图 1，BP= 2= ， QCP=ACB， 当 = ，CPQCBA，即 = ，解得 a=1， 点 Q 的速度 a 为 1cm/s； （2）如图 2，设点 P 总共运动了 t 秒， QCP=ACB， 当 = ，CPQCAB，即 = ，解得 t= ， 点 P 总共运动了 秒 八、解答题（共 1 小题，满分 14 分） 第 19 页（共 21 页） 23某水果经销商到大圩种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价 y（元/千 克）与采购量 x（千克）之间的函数关系图象如图中折线 ABBCCD 所示（不包括端点 A） ， （1）当 500x1000 时，写出 y 与
32、x 之间的函数关系式； （2）葡萄的种植成本为 8 元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过 1000 千克， 当采购量是多少时，大圩种植基地获利最大，最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若经销商一次性付了 16800 元货款，求大圩种植基地可以获得多 少元的利润？ 【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；二次函数的应用 【分析】 （1）利用待定系数法求出当 500x1000 时，y 与 x 之间的函数关系式即可； （2）根据当 0x500 时，当 500x1000 时，分别求出获利 W 与 x 的函数关系式，进 而求出最值即可； （3）根据货款确定采购量 x
33、 的范围，再由：采购量采购单价=货款，列方程求出采购量 x 的值，由（2）可得利润 【解答】解：（1）设当 500x1000 时，y 与 x 之间的函数关系式为：y=ax+b， ， 解得 故 y 与 x 之间的函数关系式为：y=0.02x+40； （2）当采购量是 x 千克时，蔬菜种植基地获利 W 元， 当 0x500 时，W=（308 ）x=22x， 则当 x=500 时，W 有最大值 11000 元， 当 500x1000 时， W=（y 8）x =（0.02x +32）x =0.02x2+32x =0.02（ x800） 2+12800， 故当 x=800 时，W 有最大值为 12800
34、 元， 第 20 页（共 21 页） 综上所述，一次性采购量为 800 千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为 12800 元； （3）当 x=500 时，y=30 ，采购总费用为 15000 元； 当 x=1000 时，y=20 采购总费用为 20000 元； 150001680020000， 该经销商一次性采购量 500x1000， 故该经销商采购单价为：0.02x +40， 根据题意得，x（0.02x+40） =16800，解得 x1=1400（不符合题意，舍去） ，x 2=600； 当 x=600 时，大圩种植基地可以获得的利润 w=0.02（x800） 2+12800=12000（元） 答：若经销商一次性付了 16800 元货款，大圩种植基地可以获得 12000 元的利润 第 21 页（共 21 页） 2016 年 9 月 21 日
