1、2016-2017 学年四川省宜宾市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目 上（注意：在试题卷上作答无效） 1下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A B C D 2已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1，则 m 的值为（ ） A4 B4 C3 D 3 3已知 ，则 的值为（ ） A B C D 4“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A确定事件 B必然事件 C不可能事件 D不确定事件 5在 RtABC 中，C=90，AB=5，BC=3
2、，则 cosB 的值为（ ） A B C D 6如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DEAC，AE 、CD 相交于 点 O，若 SDOE ：S COA =1：25 ，则 的值为（ ） A B C D 7已知 m、n 是方程 x2+3x2=0 的两个实数根，则 m2+4m+n+2mn 的值为（ ） A1 B3 C5 D 9 8如图 1，在三角形纸片 ABC 中，A=78，AB=4，AC=6将ABC 沿图示中 的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.请把答案直接填在答 题卡对应题中横
3、线上（注意：在试题卷上作答无效） 9二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 10计算 的结果为 11将方程 x24x3=0 配方成（xh ） 2=k 的形式为 12如图，在ABC 中， G 是重心如果 AG=6，那么线段 DG 的长为 13为进一步发展基础教育，自 2014 年以来，某区加大了教育经费的投入， 2014 年该区投入教育经费 7000 万元，2016 年投入教育经费 8470 万元设该 区这两年投入教育经费的年平均增长率为 x，则可列方程为 14如图，菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，MEAD 于点 E，NFAB 于点 F若 ME=3，NM=NF=2，则 AN 的长为
4、 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x 经过点 A，作 ABx 轴于点 B，将ABO 绕点 B 逆时针旋转 60得到CBD，若点 B 的坐标为（2，0），则 点 C 的坐标为 16如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，DEAC，垂足为点 F，连接 BF，下列四个结论：CEFACD； =2；sin CAD= ；AB=BF 其 中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共 8 小题，共 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 17（10 分）（1）计算： 2sin60+（1 ） 0| | （2）解方程：x 2+6x1=0 18（8 分
5、）若 x= ，y= + ，求 x2y+xy2 的值 19（8 分）我市某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有论语，三字 经，弟子规（分别用字母 A、B 、C 依次表示这三个诵读材料），将 A、B 、C 这三个字母分别写在 3 张完全相同的不透明卡片的正面上，把这 3 张 卡片背面朝上洗匀后放在桌面上小华和小敏参加诵读比赛，比赛时小华先从 中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小敏从中随机 抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛 （1）小华诵读弟子规的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图法求小华和小敏诵读两个不同材料的概率 20（8 分）如图，某小区有一块长
6、为 30m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其 中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 480m2，两块绿地之间及周边 有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？ 21（8 分）如图，已知 ABCD，AD、BC 相交于点 E，点 F 在 ED 上，且 CBF=D （1）求证：FB 2=FEFA； （2）若 BF=3，EF=2，求ABE 与BEF 的面积之比 22（8 分）关于 x 的一元二次方程 x2（2m 1）x +m2+1=0 （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）设 x1，x 2 分别是方程的两个根，且满足 x12+x22=x1x2+10，求实数 m 的值 23
7、（10 分）如图，已知斜坡 AB 长为 80 米，坡角（即BAC）为 30， BC AC，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于 水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE （1）若修建的斜坡 BE 的坡角为 45，求平台 DE 的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物 GH 距离 A 处 36 米远（即 AG 为 36 米），小明在 D 处测得建 筑物顶部 H 的仰角（即 HDM）为 30点 B、C 、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、 A、G 在同一条直线上，且 HGCG ，求建筑物 GH 的高度（结果保留 根号） 24（12 分）已知：如图，在平行四边
8、形 ABCD 中， AB=3cm，BC=5cm，ACAB ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到PNM ，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿着 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s；当 PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图 设移动时间为 t（s） （0t4 ）连接 PQ、MQ、MC解答下列问题： （1）当 t 为何值时， PQAB？ （2）当 t=3 时，求QMC 的面积； （3）是否存在某一时刻 t，使 PQMQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请 说明理由 2016-2017 学年四川省宜宾市九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共
9、8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目 上（注意：在试题卷上作答无效） 1下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A B C D 【考点】最简二次根式 【分析】根据各个选项中的式子，进行化简，则不能化简的选项中式子即为所 求 【解答】解： 是最简二次根式，故选项 A 正确， ，故选项 B 错误， ，故选项 C 错误， ，故选项 D 错误， 故选 A 【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是明确二次根式化简的方法 2已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1，则 m 的值为（ ） A4 B4 C3 D
10、3 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解把 x=1 代入一元二次方程得到还有 m 的一次方 程，然后解一次方程即可 【解答】解：把 x=1 代入 x2+mx+3=0 得 1+m+3=0， 解得 m=4 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未 知数的值是一元二次方程的解 3已知 ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】比例的性质 【分析】根据分比性质，可得答案 【解答】解： ，则 = = ， 故选：D 【点评】本题考查了比例的性质，利用分比性质是解题关键 4“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A确定事件 B必然事件 C不
11、可能事件 D不确定事件 【考点】随机事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解：“ 射击运动员射击一次，命中靶心” 这个事件是随机事件，属于不 确定事件， 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指 在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生 的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的 事件 5在 RtABC 中，C=90，AB=5，BC=3 ，则 cosB 的值为（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据余弦函数的定义即可求解 【解答】解：cosB= = 故
12、选 A 【点评】本题考查了余弦的定义，在直角三角形中，余弦为邻边比斜边 6如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DEAC，AE 、CD 相交于 点 O，若 SDOE ：S COA =1：25 ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】根据相似三角形的判定定理得到DOECOA ，根据相似三角形的性 质定理得到答案 【解答】解：DEAC， DOECOA ，又 SDOE ：S COA =1：25， = ， DEAC， = = ， = ， 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等 于相似比的平方是解题的关键 7已知 m、
13、n 是方程 x2+3x2=0 的两个实数根，则 m2+4m+n+2mn 的值为（ ） A1 B3 C5 D 9 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解即可得出 m+n=3、mn=2、m 2+3m=2，将其代入 m2+4m+n+2mn 中即可求出结论 【解答】解：m、n 是方程 x2+3x2=0 的两个实数根， m+n=3，mn=2，m 2+3m=2， m 2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2322=5 故选 C 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握 x1+x2= 、x 1x2= 是解题的关键 8如图 1，在三角形纸片 A
14、BC 中，A=78，AB=4，AC=6将ABC 沿图示中 的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ） A B C D 【考点】相似三角形的判定 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似 故选 B 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答 此题的关键 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24
15、 分.请把答案直接填在答 题卡对应题中横线上（注意：在试题卷上作答无效） 9二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x5 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可 【解答】解：根据题意得：x50， 解得 x5 故答案为：x5 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非 负数是解题的关键 10计算 的结果为 2 【考点】二次根式的乘除法 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则求出答案 【解答】解：原式= = =2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键 11将方程 x24x3=
16、0 配方成（xh ） 2=k 的形式为 （x2） 2=7 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得 【解答】解：x 24x=3， x 24x+4=3+4，即（x2） 2=7， 故答案为：（x2） 2=7 【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本 步骤是解题的关键 12如图，在ABC 中， G 是重心如果 AG=6，那么线段 DG 的长为 3 【考点】三角形的重心 【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的 2 倍，直接求得结果 【解答】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的 2 倍， DG
17、= AG=3 故答案为：3 【点评】此题考查三角形重心问题，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心 到顶点的距离是其道对边中点的距离的 2 倍运用三角形的中位线定理即可证 明此结论 13为进一步发展基础教育，自 2014 年以来，某区加大了教育经费的投入， 2014 年该区投入教育经费 7000 万元，2016 年投入教育经费 8470 万元设该 区这两年投入教育经费的年平均增长率为 x，则可列方程为 7000（1+x） 2=8470 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），参照本 题，如果教育经费的年平均增长率为 x，根据 2014
18、 年投入 7000 万元，预计 2016 年投入 8470 万元即可得出方程 【解答】解：设教育经费的年平均增长率为 x， 则 2015 的教育经费为：7000（1+x ） 2016 的教育经费为：7000（1+x ） 2 那么可得方程：7000（1+x ） 2=8470 故答案为：7000（1+x） 2=8470 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出 不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程 14如图，菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，MEAD 于点 E，NFAB 于点 F若 ME=3，NM=NF=2，则 AN 的长为 4 【考点
19、】菱形的性质 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得1=2，然后求出AFN 和 AEM 相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可 【解答】解：在菱形 ABCD 中，1=2， 又MEAD，NFAB， AEM=AFN=90 ， AFNAEM， = ， 即 = ， 解得 AN=4 故答案为：4 【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，相似三角形的判定与 性质，关键在于得到AFN 和AEM 相似 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x 经过点 A，作 ABx 轴于点 B，将ABO 绕点 B 逆时针旋转 60得到CBD，若点 B 的坐标为（2，0），则 点 C 的坐标为
20、 （1， ） 【考点】坐标与图形变化-旋转 【分析】在 RTAOB 中，求出 AO 的长，根据旋转的性质可得 AO=CD=4、OB=BD、OBD 是等边三角形，进而可得 RTCOE 中COE=60、 CO=2，由三角函数可得 OE、CE 【解答】解：过点 C 作 CEx 轴于点 E， OB=2，ABx 轴，点 A 在直线 y= x 上， AB=2 ，OA= =4， RT ABO 中，tanAOB= = ， AOB=60， 又CBD 是由ABO 绕点 B 逆时针旋转 60得到， D=AOB=OBD=60，AO=CD=4， OBD 是等边三角形， DO=OB=2，DOB=COE=60， CO=CD
21、DO=2， 在 RTCOE 中，OE=COcosCOE=2 =1， CE=COsinCOE=2 = ， 点 C 的坐标为（ 1， ）， 故答案为：（1， ） 【点评】本题主要考查在旋转的情况下点的坐标变化，熟知旋转过程中图形全 等即对应边相等、对应角相等、旋转角都相等的应用是解题的切入点也是关 键 16如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，DEAC，垂足为点 F，连接 BF，下列四个结论：CEFACD； =2；sin CAD= ；AB=BF 其 中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形 【分析】正确四边形 ABCD 是矩
22、形，BE AC，则 ABC=AFB=90，又 BAF=CAB，于是AEFCAB 正确由 AE= AD= BC，又 ADBC ，所以 = = 错误设 CF=a，AF=2a，由 DF2=AFCF=2a2，得 DF= a，AD= = a，可得 sinCAD= = = 正确连接 AE，由ABE+AFE=90 ，推出 A、B、E 、F 四点共圆，推出 AFB=AEB，由ABECDE ，推出AEB=CED，由BAF+BEF=180， BEF+CED=180，推出BAF=CED，推出BAF=BFA，即可证明 【解答】解：过 D 作 DMBE 交 AC 于 N， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADC=
23、90， AD=BC，BE AC 于点 F， DAC=ECF，ADC=CFE=90 ， CEF ADC，故正确； ADBC， CEF ADF， = ， CE= BC= AD， = =2， AF=2CE，故 正确， 设 CF=a，AF=2a，由 DF2=AFCF=2a2，得 DF= a， AD= = a sinCAD= = = ，故错误 连接 AE，ABE+AFE=90， A、B、E 、 F 四点共圆， AFB=AEB， AB=CD，BE=EC，CDE， ABECDE， AEB=CED， BAF+BEF=180 ，BEF+CED=180 ， BAF=CED， BAF=BFA， BA=BF，故正确
24、故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判 定和性质、四点共圆等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，学会利用此时 解决问题，属于中考常考题型 三、解答题：本大题共 8 小题，共 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 17（10 分）（2016 秋宜宾期末）（1）计算： 2sin60+（1 ） 0| | （2）解方程：x 2+6x1=0 【考点】解一元二次方程-公式法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数 值 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算； （2）利用公式法解方程 【解答】解：（1）原式=2 2 +1 =
25、2 +1 =1； （2）=6 241（1）=40 ， x= =3 ， 所以 x1=3+ ，x 2=3 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方 法是公式法也考查了实数的运算 18若 x= ，y= + ，求 x2y+xy2 的值 【考点】二次根式的化简求值 【分析】利用二次根式的混合运算法则求出 x+y、xy，利用提公因式法把原式变 形，代入计算即可 【解答】解：x= ，y= + ， x+y=（ ）+（ + ）=2 ，xy= （ ）（ + ）=1 ， x 2y+xy2=xy（x+y）=2 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、 提公因式法
26、的应用是解题的关键 19我市某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有论语，三字经， 弟子规（分别用字母 A、B 、C 依次表示这三个诵读材料），将 A、B、C 这 三个字母分别写在 3 张完全相同的不透明卡片的正面上，把这 3 张卡片背面朝 上洗匀后放在桌面上小华和小敏参加诵读比赛，比赛时小华先从中随机抽取 一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小敏从中随机抽取一张卡 片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛 （1）小华诵读弟子规的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图法求小华和小敏诵读两个不同材料的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）利用列
27、表法展示所有 9 种等可能性结果，再找出小华和小敏诵读两个不同 材料的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（1）小华诵读弟子规的概率= ； 故答案为 （2）列表得： 小华 A B C 小敏 A （A，A） （A ，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C ，C ） 由表格可知，共有 9 种等可能性结果，其中小华和小敏诵读两个不同材料的结 果有 6 种， 所以 P（小华和小敏诵读两个不同材料）= 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可 能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公
28、式计 算事件 A 或事件 B 的概率 20如图，某小区有一块长为 30m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其中修建两 块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 480m2，两块绿地之间及周边有宽度相 等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】设人行通道的宽度为 x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（ 303x） m，宽为（242x）m，根据矩形绿地的面积为 480m2，即可列出关于 x 的一元二 次方程，解方程即可得出 x 的值，经检验后得出 x=20 不符合题意，此题得解 【解答】解：设人行通道的宽度为 x 米，将两块矩形绿地合在一起长为 （303x）m，宽为（2
29、42x）m， 由已知得：（303x）（24 2x）=480 ， 整理得：x 222x+40=0， 解得：x 1=2， x2=20， 当 x=20 时，303x= 30，24 2x=16， 不符合题意， 故人行通道的宽度为 2 米 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于 x 的一元二 次方程是解题的关键 21如图，已知 ABCD，AD、BC 相交于点 E，点 F 在 ED 上，且CBF= D （1）求证：FB 2=FEFA； （2）若 BF=3，EF=2，求ABE 与BEF 的面积之比 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】（1）要证明 FB2=FEFA，只要证明FBEFA
30、B 即可，根据题目中的 条件可以找到两个三角形相似的条件，本题得以解决； （2）根据（1）中的结论可以得到 AE 的长，然后根据 ABE 与BEF 如果底边 分别为 AE 和 EF，则底边上的高相等，面积之比就是 AE 和 EF 的比值 【解答】（1）证明：ABCD， A=D 又CBF=D， A=CBF ， BFE=AFB， FBEFAB， FB 2=FEFA； （2）FB 2=FEFA，BF=3，EF=2 3 2=2（2+AE） ， ABE 与BEF 的面积之比为 5：4 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所 求问题需要的条件 22关于 x 的一元二次方程 x
31、2（2m 1）x +m2+1=0 （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）设 x1，x 2 分别是方程的两个根，且满足 x12+x22=x1x2+10，求实数 m 的值 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式=b 24ac0，建立 关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围； （2）利用根与系数的关系可以得到 x1+x2=2m1，x 1x2=m2+1，再把 x12+x22=x1x2+10 利用完全平方公式变形为（x 1+x2） 23x1x2=10，然后代入计算即 可求解 【解答】解：（1）由题意有=（2m1） 24（m 2+1）0，
32、 解得 m ， 所以实数 m 的取值范围是 m ； （2）由根与系数的关系得：x 1+x2=2m1，x 1x2=m2+1， x 12+x22=x1x2+10， （x 1+x2） 22x1x2=x1x2+10， （2m1） 23（m 2+1）=10 ， 2m 2+9m5=0， 解得 m1=6，m 2=2， m ， m=6 舍去， m=2 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系 得出的结果必须满足0 的条件 23（10 分）（2016 秋宜宾期末）如图，已知斜坡 AB 长为 80 米，坡角（即 BAC）为 30，BCAC ，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影
33、表示） 修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE （1）若修建的斜坡 BE 的坡角为 45，求平台 DE 的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物 GH 距离 A 处 36 米远（即 AG 为 36 米），小明在 D 处测得建 筑物顶部 H 的仰角（即 HDM）为 30点 B、C 、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、 A、G 在同一条直线上，且 HGCG ，求建筑物 GH 的高度（结果保留 根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用- 坡度坡角 问题 【分析】（1）根据题意得出BEF=45，解直角BDF，求出 BF，DF，进而得 出 EF 的
34、长，即可得出答案； （2）利用在 RtDPA 中，DP= AD，以及 PA=ADcos30进而得出 DM 的长，利 用 HM=DMtan30得出即可 【解答】解：（1）修建的斜坡 BE 的坡角为 45， BEF=45 ， DAC=BDF=30，AD=BD=40， BF=EF= BD=20，DF= ， DE=DF EF=20 20， 平台 DE 的长为（ 20 20）米； （2）过点 D 作 DPAC，垂足为 P 在 RtDPA 中，DP= AD= 40=20，PA=ADcos30=20 ， 在矩形 DPGM 中，MG=DP=20 ，DM=PG=PA +AG=20 +36 在 RtDMH 中，H
35、M=DMtan30=（20 +36） =20+12 ， 则 GH=HM+MG=20+12 +20=40+12 答：建筑物 GH 高为（40+12 ）米 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及仰角俯角问题， 根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键 24（12 分）（2016 秋宜宾期末）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=3cm，BC=5cm，ACAB ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到PNM ，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿着 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s；当 PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图 设移
36、动时间为 t（s） （0t4 ）连接 PQ、MQ、MC解答下列问题： （1）当 t 为何值时， PQAB？ （2）当 t=3 时，求QMC 的面积； （3）是否存在某一时刻 t，使 PQMQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请 说明理由 【考点】四边形综合题；一元二次方程的解；三角形的面积；相似三角形的判 定与性质 【分析】（1）根据勾股定理求出 AC，根据 PQAB，得出关于 t 的比例式，求 解即可； （2）过点 P 作 PDBC 于 D，根据CPDCBA，列出关于 t 的比例式，表示 出 PD 的长，再根据 SQMC = QCPD，进行计算即可； （3）过点 M 作 MEBC 的延长线
37、于点 E，根据CPDCBA，得出 ， ，再根据PDQQEM，得到 ，即 PDEM=QEDQ，进而得到方程 = ，求得 或 t=0（舍去），即可得出当 时，PQMQ 【解答】解：（1）如图所示，AB=3cm，BC=5cm， ACAB， RtABC 中，AC=4， 若 PQ AB，则有 ， CQ=PA=t，CP=4 t，QB=5t， ， 即 209t+t2=t2， 解得 ， 当 时，PQAB； （2）如图所示，过点 P 作 PDBC 于点 D， PDC=A=90， PCD=BCA CPD CBA， ， 当 t=3 时，CP=43=1， BA=3，BC=5， ， ， 又CQ=3，PMBC， ； （3）存在时刻 ，使 PQMQ， 理由如下：如图所示，过点 M 作 MEBC 的延长线于点 E， CPD CBA， ， BA=3，CP=4t ，BC=5，CA=4， ， ， PQ MQ， PDQ=QEM=90 ， PQD=QME ， PDQQEM， ，即 PDEM=QEDQ ， ， ， = ， 即 2t23t=0， 或 t=0（舍去）， 当 时，PQMQ 【点评】此题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股 定理、平行线的性质、三角形的面积计算的综合应用，解决问题的关键是根据 题意画出图形，作出辅助线，构造相似三角形
