1、2016-2017 学年江西省上饶市余干县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题 1下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列方程中有实数根的是（ ） Ax 2+2x+3=0 Bx 2+1=0 Cx 2+3x+1=0 D 3如图，AB 与O 相切于点 A，BO 与O 相交于点 C，点 D 是优弧 AC 上一点， CDA=27，则B 的大小是（ ） A27 B34 C36 D54 4如图，矩形 OABC 上，点 A、C 分别在 x、y 轴上，点 B 在反比例 y= 位于第 二象限的图象上，矩形面积为 6，则 k 的值是（ ） A3 B6 C3 D 6 5如图，P 为平行四边形 A
2、BCD 边 AD 上一点，E 、 F 分别为 PB、PC 的中点， PEF、PDC、PAB 的面积分别为 S、S 1、S 2，若 S=2，则 S1+S2=（ ） A4 B6 C8 D不能确定 6二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对 称轴为直线 x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c3b；（3） 8a+7b+2c0；（4）若点 A（ 3，y 1）、点 B（ ， y2）、点 C（ ，y 3）在该函 数图象上，则 y1y 3y 2；（5）若方程 a（x+1）（x5）=3 的两根为 x1 和 x2， 且 x1x 2，则 x115 x2其中正确的
3、结论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题 7一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个 数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于 3 的概率是 8已知一元二次方程 x24x3=0 的两根为 m，n ，则 m2mn+n2= 9一个扇形的圆心角为 60，半径是 10cm，则这个扇形的弧长是 cm 10将抛物线 y=x2+1 向下平移 2 个单位，向右平移 3 个单位，则此时抛物线的 解析式是 11如图，直线 AA1BB 1CC 1，如果 ，AA 1=2，CC 1=6，那么线段 BB1 的 长是 12如图，A（4，0），B（3，3），以 A
4、O，AB 为边作平行四边形 OABC，则经 过 C 点的反比例函数的解析式为 三、 13（6 分）解方程： （1）x 2x=3 （2）（x+3） 2=（12x） 2 14（6 分）如图所示，AB 是O 的一条弦，ODAB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在 O 上 （1）若AOD=52 ，求DEB 的度数； （2）若 OC=3，OA=5，求 AB 的长 15（6 分）已知函数 y 与 x+1 成反比例，且当 x=2 时，y= 3 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当 时，求 y 的值 16（6 分）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意 图点 P 处放一水平的平面镜
5、，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CDBD，测得 AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米， 那么该古城墙的高度 CD 是 米 17（6 分）某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元， 2015 年投入教育经费 3025 万元 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少 万元 四、 18（8 分）方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平 面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1）
6、 （1）作出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1，并写出 A1 的坐标； （2）作出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后得到的A 2B2C2，并求出 C2 所经过的 路径长 19（8 分）甲布袋中有三个红球，分别标有数字 1，2，3；乙布袋中有三个白 球，分别标有数字 2，3，4这些球除颜色和数字外完全相同小亮从甲袋中 随机摸出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球 （1）用画树状图（树形图）或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为 6 的概率； （2）小亮和小刚做游戏，规则是：若摸出的两个球上的数字之和为奇数，小亮 胜；否则，小刚胜你认为这个游戏公平吗？为什么？ 20（8 分）如图，在
7、ABC 中，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EDBC 交 AB 于点 D （1）求证：AEBC=BDAC； （2）如果 SADE =3，S BDE =2，DE=6，求 BC 的长 21（8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 边于边 D，交 AC 边于点 G，过 D 作O 的切线 EF，交 AB 的延长线于点 F，交 AC 于点 E （1）求证：BD=CD； （2）若 AE=6，BF=4，求O 的半径 22（10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=axa（a 为常数）的图 象与 y 轴相交于点 A，与函数 的图象相交于点 B（m，1
8、） （1）求点 B 的坐标及一次函数的解析式； （2）若点 P 在 y 轴上，且PAB 为直角三角形，请直接写出点 P 的坐标 23（12 分）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0），C（0，2） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？ 如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，CBF 的面积
9、最大？求出CBF 的最大面积及此 时 E 点的坐标 2016-2017 学年江西省上饶市余干县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转 后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点 叫做对称中心，可求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了中心对称
10、图形的概念，关键是找到对称中心 2下列方程中有实数根的是（ ） Ax 2+2x+3=0 Bx 2+1=0 Cx 2+3x+1=0 D 【考点】根的判别式 【分析】本题是根的判别式的应用试题，不解方程而又准确的判断出方程解的 情况，那只有根的判别式 当0 时，方程有两个不相等的实数根； 当=0 时，方程有两个相等的实数根； 当0 时，方程没有实数根 【解答】解：由题意可知 x2+2x+3=0 =b 24ac=412=80， 所以没有是实数根； 同理 x2+1=0 的 =b 24ac=040， 也没有实数根； x2+3x+1=0 的=b 24ac=94=50， 所以有实数根； 而最后一个去掉分母后
11、 x=1 有实数根，但是使分式方程无意义，所以舍去 故选 C 【点评】本题是对方程实数根的考查，求解时一要注意是否有实数根，二要注 意有实数根时是否有意义 3如图，AB 与O 相切于点 A，BO 与O 相交于点 C，点 D 是优弧 AC 上一点， CDA=27，则B 的大小是（ ） A27 B34 C36 D54 【考点】切线的性质 【分析】由切线的性质可知OAB=90，由圆周角定理可知BOA=54 ，根据直 角三角形两锐角互余可知B=36 【解答】解：AB 与O 相切于点 A， OABA OAB=90 CDA=27， BOA=54 B=9054=36 故选：C 【点评】本题主要考查的是切线的
12、性质和圆周角定理，利用切线的性质和圆周 角定理求得OAB=90、BOA=54是解题的关键 4如图，矩形 OABC 上，点 A、C 分别在 x、y 轴上，点 B 在反比例 y= 位于第 二象限的图象上，矩形面积为 6，则 k 的值是（ ） A3 B6 C3 D 6 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】由矩形 OABC 的面积结合反比例函数系数 k 的几何意义，即可得出含 绝对值符号的关于 k 的一元一次方程，解方程即可得出 k 的值，再根据反比例 函数图象所在的象限即可确定 k 值 【解答】解：点 B 在反比例 y= 的图象上， S 矩形 OABC=6=|k|， k=6 反比例函数
13、y= 的部分图象在第二象限， k=6 故选 D 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是根据反比例 函数系数 k 的几何意义找出含绝对值符号的关于 k 的一元一次方程本题属于 基础题，难度不大，解决该题型题目时，由矩形的面积结合反比例函数系数 k 的几何意义求出反比例函数系数 k 是关键 5如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E 、 F 分别为 PB、PC 的中点， PEF、PDC、PAB 的面积分别为 S、S 1、S 2，若 S=2，则 S1+S2=（ ） A4 B6 C8 D不能确定 【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理 【分析】过 P 作 PQ
14、 平行于 DC，由 DC 与 AB 平行，得到 PQ 平行于 AB，可得出 四边形 PQCD 与 ABQP 都为平行四边形，进而确定出PDC 与PCQ 面积相等， PQB 与ABP 面积相等，再由 EF 为BPC 的中位线，利用中位线定理得到 EF 为 BC 的一半，且 EF 平行于 BC，得出PEF 与PBC 相似，相似比为 1：2，面 积之比为 1：4，求出PBC 的面积，而PBC 面积=CPQ 面积+PBQ 面积， 即为PDC 面积 +PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面 积 【解答】解：过 P 作 PQDC 交 BC 于点 Q，由 DCAB，得到 PQAB ， 四边
15、形 PQCD 与四边形 APQB 都为平行四边形， PDC CQP，ABPQPB， S PDC =SCQP ，S ABP =SQPB ， EF 为PCB 的中位线， EF BC，EF= BC， PEFPBC，且相似比为 1：2 ， S PEF ：S PBC =1：4，S PEF=2， S PBC =SCQP +SQPB =SPDC +SABP =S1+S2=8 故选：C 【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握 平行四边形的判定与性质是解本题的关键 6二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对 称轴为直线 x=2，下列结论：（1
16、）4a+b=0；（2）9a+c3b；（3） 8a+7b+2c0；（4）若点 A（ 3，y 1）、点 B（ ， y2）、点 C（ ，y 3）在该函 数图象上，则 y1y 3y 2；（5）若方程 a（x+1）（x5）=3 的两根为 x1 和 x2， 且 x1x 2，则 x115 x2其中正确的结论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】（1）正确根据对称轴公式计算即可 （2）错误，利用 x=3 时， y0，即可判断 （3）正确由图象可知抛物线经过（1，0）和（5，0），列出方程组求出 a、 b 即可判断 （4）错误利用函数图象即可判断 （5）正确
17、利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题 【解答】解：（1）正确 =2， 4a+b=0故正确 （2）错误x=3 时，y0， 9a3b+c0， 9a+c3b，故（2）错误 （3）正确由图象可知抛物线经过（1，0）和（5，0）， 解得 ， 8a+7b+2c=8a28a10a= 30a， a 0 ， 8a+7b+2c0，故（3）正确 （4）错误，点 A（3，y 1）、点 B（ ，y 2）、点 C（ ，y 3）， 2= ，2（ ）= ， 点 C 离对称轴的距离近， y 3y 2， a 0 ， 3 2， y 1y 2 y 1y 2y 3，故（4）错误 （5）正确a0， （x+1）（x5）=3/a0， 即
18、（x+1）（x5）0， 故 x1 或 x5，故（5）正确 正确的有三个， 故选 B 【点评】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题 的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型 二、填空题 7一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个 数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于 3 的概率是 【考点】概率公式 【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为 1、2 、3 、4、5、6 ，共有 6 种可能，小于 3 的点数有 1、2，则根据概率公式可 计算出骰子向上的一面点数小于 3 的概率 【解答】解：掷一枚质地均匀
19、的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有 6 种可 能，而只有出现点数为 1、2 才小于 3， 所以这个骰子向上的一面点数小于 3 的概率= = 故答案为： 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）= 事件 A 可能出现的 结果数除以所有可能出现的结果数 8已知一元二次方程 x24x3=0 的两根为 m，n ，则 m2mn+n2= 25 【考点】根与系数的关系 【分析】由 m 与 n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出 m+n 与 mn 的值， 将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值 【解答】解：m，n 是一元二次方程 x24x3=0 的两个根， m+n=4，m
20、n=3， 则 m2mn+n2=（m+n） 23mn=16+9=25 故答案为：25 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数 式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 9一个扇形的圆心角为 60，半径是 10cm，则这个扇形的弧长是 cm 【考点】弧长的计算 【分析】弧长公式是 l= ，代入就可以求出弧长 【解答】解：弧长是： = cm 【点评】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关 键 10将抛物线 y=x2+1 向下平移 2 个单位，向右平移 3 个单位，则此时抛物线的 解析式是 y=x 26x+8 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】
21、根据“ 上加下减，左加右减” 的原则进行解答即可 【解答】解：抛物线 y=x2+1 向下平移 2 个单位后的解析式为：y=x 2+12=x21 再向右平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y=（x 3） 21，即 y=x26x+8 故答案是：y=x 26x+8 【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加 下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式 11如图，直线 AA1BB 1CC 1，如果 ，AA 1=2，CC 1=6，那么线段 BB1 的 长是 3 【考点】平行线分线段成比例 【分析】过 A1 作 AEAC，交 BB1 于 D，交 CC1 于 E，得出四边形
22、 ABDA1 和四边 形 BCED 是平行四边形，求出 AA1=BD=CE=2，EC 1=62=4， = = ，根据 BB1CC 1 得出 = ，代入求出 DB1=1 即可 【解答】解：如图： 过 A1 作 AE AC，交 BB1 于 D，交 CC1 于 E， 直线 AA1BB 1CC 1， 四边形 ABDA1 和四边形 BCED 是平行四边形， AA 1=2，CC 1=6， AA 1=BD=CE=2，EC 1=62=4， = = ， BB 1CC 1， = ， = ， DB 1=1， BB 1=2+1=3， 故答案为：3 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式
23、是解此题的关键 12如图，A（4，0），B（3，3），以 AO，AB 为边作平行四边形 OABC，则经 过 C 点的反比例函数的解析式为 y= 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质 【分析】设经过 C 点的反比例函数的解析式是 y= （k0），设 C（ x，y）根据平行四边形的性质求出点 C 的坐标（1，3）然后利用待定 系数法求反比例函数的解析式 【解答】解：设经过 C 点的反比例函数的解析式是 y= （k0），设 C（ x，y） 四边形 OABC 是平行四边形， BC OA，BC=OA； A（4，0 ）， B（3，3 ）， 点 C 的纵坐标是 y=3，|3x|=4（x 0
24、）， x=1， C （1，3） 点 C 在反比例函数 y= （k 0）的图象上， 3= ， 解得，k=3， 经过 C 点的反比例函数的解析式是 y= 故答案为：y= 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质（对边平行且相等）、利用待定系 数法求反比例函数的解析式解答反比例函数的解析式时，还借用了反比例函 数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上 三、 13解方程： （1）x 2x=3 （2）（x+3） 2=（12x） 2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】（1）公式法求解可得； （2）直接开平方法求解即可得 【解答】解：（1）x 2x3=0， a=1，b= 1，c=3，
25、=1+12=130， x= ， ， ； （2）x+3= （12x）， 即 x+3=12x 或 x+3=2x1， 解得： ，x 2=4 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方 法是解题的关键 14如图所示，AB 是O 的一条弦，ODAB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在O 上 （1）若AOD=52 ，求DEB 的度数； （2）若 OC=3，OA=5，求 AB 的长 【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理 【分析】（1）根据垂径定理，得到 = ，再根据圆周角与圆心角的关系，得 知E= O ，据此即可求出DEB 的度数； （2）由垂径定理可知，AB=2AC，在 R
26、tAOC 中，OC=3，OA=5，由勾股定理求 AC 即可 【解答】解：（1）AB 是O 的一条弦，ODAB， = ，DEB= AOD= 52=26； （2）AB 是O 的一条弦，ODAB， AC=BC，即 AB=2AC， 在 RtAOC 中，AC= = =4， 则 AB=2AC=8 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理关键是由垂径定理得 出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理 15已知函数 y 与 x+1 成反比例，且当 x=2 时，y= 3 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当 时，求 y 的值 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【分析】（
27、1）设出函数解析式，把相应的点代入即可； （2）把自变量的取值代入（1）中所求的函数解析式即可 【解答】解：（1）设 ， 把 x=2，y= 3 代入得 解得：k=3 （2）把 代入解析式得： 【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，注意应用点在函数解析式上应 适合这个函数解析式 16如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点 P 处放 一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CD BD，测得 AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米，那么该古城 墙的高度 CD 是 8 米 【考点】相似三角形的应用 【分析】首先证明A
28、BPCDP，可得 = ，再代入相应数据可得答案 【解答】解：由题意可得：APE=CPE， APB=CPD， ABBD，CDBD ， ABP=CDP=90， ABPCDP ， = ， AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米， = ， CD=8 米， 故答案为：8 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成 比例 17某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万 元 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少 万元
29、【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量（ 1+增长率），2014 年要投入 教育经费是 2500（1+x）万元，在 2014 年的基础上再增长 x，就是 2015 年的教 育经费数额，即可列出方程求解 （2）利用（1）中求得的增长率来求 2016 年该地区将投入教育经费 【解答】解：设增长率为 x，根据题意 2014 年为 2500（1+x）万元，2015 年为 2500（1+x） 2 万元 则 2500（1+x） 2=3025， 解得 x=0.1=10%，或 x=2.1（不合题意舍去） 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10% （2）3025（1 +10%
30、）=3327.5（万元） 故根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费 3327.5 万元 【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均 增长率） 年数 =增长后的量 四、 18方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐 标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1） （1）作出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1，并写出 A1 的坐标； （2）作出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后得到的A 2B2C2，并求出 C2 所经过的 路径长 【考点】作图-旋转变换；作图 -轴对称变换 【分析】（1）分别作出
31、各点关于 y 轴的对称点，再顺次连接即可，根据点在坐 标系中的位置写出点坐标即可； （2）分别作出各点绕点 O 逆时针旋转 90后得到的对称点，再顺次连接即可， 根据弧长公式计算可得 C2 所经过的路径长 【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 即为所求作三角形 A1（5 ，4）； （2）如图，A 2B2C2 即为所求作三角形， OC 2= = ， C 2 所经过的路径 的长为 = 【点评】本题考查的是作图轴对称变换、旋转变换，作出各顶点轴对称变换和 旋转变换的对应点是解答此题作图的关键 19甲布袋中有三个红球，分别标有数字 1，2，3；乙布袋中有三个白球，分 别标有数字 2，3，4这些球除颜
32、色和数字外完全相同小亮从甲袋中随机摸 出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球 （1）用画树状图（树形图）或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为 6 的概率； （2）小亮和小刚做游戏，规则是：若摸出的两个球上的数字之和为奇数，小亮 胜；否则，小刚胜你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方 取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含 的情况数目是否相等 【解答】解： （1）解法一：树状图 P（两个球上的数字之和为 6）= （2 分） 解法二：列表 2 3 4 1 （1
33、，2） （1 ，3） （1 ，4） 2 （2 ，2） （2 ，3） （2 ，4） 3 （3 ，2） （3 ，3） （3 ，4） P（两个球上的数字之和为 6）= （2）不公平（1 分） P（小亮胜）= ，P（小刚胜）= （2 分） P（小亮胜）P （小刚胜） 这个游戏不公平（2 分） 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件 的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率=所求情况数 与总情况数之比 20如图，在ABC 中， BE 平分ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EDBC 交 AB 于点 D （1）求证：AEBC=BDAC； （2）如果 SAD
34、E =3，S BDE =2，DE=6，求 BC 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】（1）由 BE 平分ABC 交 AC 于点 E，EDBC，可证得 BD=DE， ADEABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 AEBC=BDAC； （2）根据三角形面积公式与 SADE =3，S BDE =2，可得 AD：BD=3：2，然后由平 行线分线段成比例定理，求得 BC 的长 【解答】（1）证明：BE 平分ABC， ABE=CBE （1 分） DEBC， DEB= CBE （1 分） ABE=DEB BD=DE，（1 分） DEBC， ADE ABC， （ 1 分） ， AEBC=BDA
35、C； （1 分） （2）解：设ABE 中边 AB 上的高为 h ， （2 分） DEBC， （1 分） ， BC=10 （2 分） 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及 等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 21如图，在ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 边于边 D，交 AC 边于点 G，过 D 作O 的切线 EF，交 AB 的延长线于点 F，交 AC 于点 E （1）求证：BD=CD； （2）若 AE=6，BF=4，求O 的半径 【考点】切线的性质；等腰三角形的性质 【分析】（1）连接 AD，根据等腰三角形三线合
36、一即可证明 （2）设O 的半径为 R，则 FO=4+R，FA=4+2R ，OD=R，连接 OD，由 FODFAE ，得 = 列出方程即可解决问题 【解答】（1）证明：连接 AD， AB 是直径， ADB=90 ， AB=AC，AD BC， BD=DC （2）解：设O 的半径为 R，则 FO=4+R，FA=4+2R，OD=R ，连接 OD、 AB=AC， ABC=C， OB=OD， ABC=ODB ， ODB=C， ODAC， FOD FAE， = ， = ， 整理得 R2R12=0， R=4 或（3 舍弃） O 的半径为 4 【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会
37、 添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型 22（10 分）（2016商丘三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=axa（ a 为常数）的图象与 y 轴相交于点 A，与函数 的图象相交于点 B（m，1） （1）求点 B 的坐标及一次函数的解析式； （2）若点 P 在 y 轴上，且PAB 为直角三角形，请直接写出点 P 的坐标 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）由点在函数图象上，得到点的坐标满足函数解析式，利用待定系 数法即可求得 （2）分两种情况，一种是BPA=90，另一种是 PBA=90，所以有两种答案 【解答】解：（1）B 在的图象上， 把
38、B（m，1）代入 y= 得 m=2 B 点的坐标为（2，1） B（2，1）在直线 y=axa（a 为常数）上， 1=2aa， a=1 一次函数的解析式为 y=x1 （2）过 B 点向 y 轴作垂线交 y 轴于 P 点此时BPA=90 B 点的坐标为（2，1） P 点的坐标为（0，1） 当 PB AB 时， 在 RtP 1AB 中，PB=2，PA=2 AB=2 在等腰直角三角形 PAB 中，PB=PA=2 PA= =4 OP=41=3 P 点的坐标为（0，3） P 点的坐标为（0，1）或（0，3 ） 【点评】主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法是常用的 方法，结合图形去分析，体现
39、数形结合思想的重要性 23（12 分）（2016 秋余干县期末）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0）， C（ 0，2） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？ 如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，CBF 的面积最大？求出CBF 的最大面积及此 时 E 点的坐标 【考点】二次函数综合题
40、【分析】（1）把 A（1，0），C（0，2）代入 y= x2+bx+c 列方程组即可 （2）先求出 CD 的长，分两种情形当 CP=CD 时， 当 DC=DP 时分别求解即 可 （3）求出直线 BC 的解析式，设 E 则 F ，构建 二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题 【解答】解：（1）把 A（ 1，0），C（0，2）代入 y= x2+bx+c 得 ， 解得 ，c=2， 抛物线的解析式为 y= x2+ x+2 （2）存在如图 1 中，C（0，2），D（ ，0）， OC=2，OD= ，CD= = 当 CP=CD 时，可得 P1（ ，4） 当 DC=DP 时，可得 P2（ ， ），P 3（
41、， ） 综上所述，满足条件的 P 点的坐标为 或 或 （3）如图 2 中， 对于抛物线 y= x2+ x+2，当 y=0 时， x2+ x+2=0，解得 x1=4，x 2=1 B（4，0），A（1 ，0）， 由 B（4，0），C （0，2）得直线 BC 的解析式为 y= x+2， 设 E 则 F ， EF= = 0，当 m=2 时，EF 有最大值 2， 此时 E 是 BC 中点， 当 E 运动到 BC 的中点时，EBC 面积最大， EBC 最大面积= 4EF= 42=4，此时 E（2，1） 【点评】本题考查二次函数、一次函数的应用、最值问题等腰三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论 的思想思考问题，属于中考压轴题
