1、山东省枣庄市山亭区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本题共 12 个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的 选项选出来，填涂在答题卡上，每小题 3 分） 1下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（ ） A 正方体 B 圆柱 C 圆锥 D 球 2若点（2，3）在反比例函数 y= （k0）的图象上，那么下列各点在图象上的是（ ） A （2， 3） B （1，5） C （1，6） D （1，6） 3二次函数 y=（x 1） 2+3 的最小值是（ ） A1 B1 C 3 D3 4在ABC 中， A=120， B=45， C=15
2、，则 cosB 等于（ ） A B C D 5已知点 A（2，y 1） ，B （ 1，y 2）在函数 y= 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ） Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1=y2D无法确定 6将抛物线 y=（x 2） 2+3 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为（ ） Ay= （ x4） 2 By= （x 4） 2+6 Cy=x 2+6 Dy=x 2 7据调查，2013 年 5 月济南市的房价均价为 7600 元/m 2，2015 年同期达到 8200 元/m 2，假设这两 年济南市房价的平均增长率为 x，根据题意，所列方程为（ ） A7
3、600（1+x%） 2=8200 B7600（1 x%） 2=8200 C7600（1+x） 2=8200 D7600（1x） 2=8200 8如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为（ ） ACBD； BAD=90； AB=BC； AC=BD A B C D 9已知二次函数 y=（k 3）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk 4 Ck4 Dk4 且 k3 10在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图所示，若 O 到 AB 的距离 是 18cm，O 到 CD 的距离是 6cm，则像 CD 的长是 AB 长的（ ）
4、A3 倍 B C D不知 AB 的长度，无法判断 11如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（ ，1） ，则点 C 的 坐标为（ ） A （ ，1） B （ 1， ） C （ 1， ） D （1， ） 12二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中：abc 0；2a+b=0；当 2 x 3，y 0；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 13如果 x：y=1：2，那么 = 14已知菱形两条对角线的长分别为 5cm 和 8cm，则这个菱形的面积是 cm
5、2 15抛物线 y=x22x+c4 经过原点，则 c= 16如图，一山坡的坡比为 1：2，某人从山脚下的 A 点走了 500 米后到达山顶的点 B那么这人 垂直高度上升了 米 17已知关于 x 的方程 x2+（1m ）x+ =0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值是 18如图，正比例函数 y=kx（k0）与反比例函数 y= 的图象相交于 A、C 两点，过点 A 作 x 轴 的垂线交 x 轴于点 B，连接 BC，则ABC 的面积等于 三、解答题 19 （1）计算：2sin45 +|2|； （2）解方程：x 26x+8=0 20如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB=13
6、0cm，球目前在 E 点位置，AE=60cm如 果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位置 （1）求证：BEF CDF； （2）求 CF 的长 212016 届九年级某班同学在元旦会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个相同的小球， 把它们分别标号 1、2、3，随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随即摸出一个小球记下 标号 （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种） ，表示两次摸出小球上的标号的所有结果； （2）规定当两次摸出的小球标号之积为奇数时中奖，求中奖的概率 22如图，已知一次函数 y1=kx+b 与反比例函数 的图象交于 A（2，4）
7、 、B（ 4，n）两点 （1）分别求出 y1 和 y2 的解析式； （2）写出 y1=y2 时，x 的值； （3）写出 y1y 2 时，x 的取值范围 23如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道 AB，现决定从小岛架一座 与观光小道垂直的小桥 PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0 米，PAB=38.5， PBA=26.5请帮助小张求出小桥 PD 的长并确定小桥在小道上的位置 （以 A，B 为参照点，结 果精确到 0.1 米） （参考数据：sin38.5=0.62，cos38.5 =0.78，tan38.5 =0.80，sin26.5=0.45，cos26.5 =0
8、.89，tan26.5 =0.50） 24某超市经营一种小商品，进价为 3.5 元，据市场调查，销售单价是 14.5 元时平均每天销售量是 500 件，而销售价每降低 1 元，平均每天就可以多售出 100 件 （1）假定每件商品降价 x 元，商店每天销售这件商品的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的关系 式 （2）每件商品售价是多少时，超市每天销售这种商品获得的利润最大？最大利润是多少？ 25如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a 0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m） ，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点
9、C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请 说明理由； （3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 山东省枣庄市山亭区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的 选项选出来，填涂在答题卡上，每小题 3 分） 1下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（ ） A 正方体 B 圆柱 C 圆锥 D 球 【考点】简单几何体的三视图 【分析】根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形即可得
10、出结论 【解答】解：正方体的俯视图是正方形；圆柱、圆锥、球的俯视图是圆形， 故选：A 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图 中 2若点（2，3）在反比例函数 y= （k0）的图象上，那么下列各点在图象上的是（ ） A （2， 3） B （1，5） C （1，6） D （1，6） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】将（2，3）代入 y= 即可求出 k 的值，再根据 k=xy 解答即可 【解答】解：点（2，3）在反比例函数 y= （k0）的图象上，故 k=xy=23=6，符合条件的只有 C：16=6 故选 C 【点评】本题考查了反比例函数
11、图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的 解析式反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上 3二次函数 y=（x 1） 2+3 的最小值是（ ） A1 B1 C 3 D3 【考点】二次函数的最值 【分析】根据二次函数的性质进行解答 【解答】解：二次函数 y=（ x1） 2+3 的开口方向向上，且顶点坐标是（1，3） ， 该函数有最小值，最小值为 3 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值求二次函数的最大（小）值有三种方法， 第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法 4在ABC 中， A=120， B=45， C=15，则 cosB 等于（
12、） A B C D 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】直接根据特殊角的三角函数值可得出结论 【解答】解：cos45= ， cosB= 故选 D 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 5已知点 A（2，y 1） ，B （ 1，y 2）在函数 y= 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ） Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1=y2D无法确定 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据反比例函数的增减性，k=30，y 随 x 的增大而减小，则即可得出答案 【解答】解：k0，函数图象在一，三象限，由题意可知： A，B 在第三象限，
13、第三象限 y 随 x 的增大而减小， y1 y2 故选 A 【点评】此题考查反比例问题，在反比函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区 分两点是否在同一象限内在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐 标系内点的特点来比较 6将抛物线 y=（x 2） 2+3 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为（ ） Ay= （ x4） 2 By= （x 4） 2+6 Cy=x 2+6 Dy=x 2 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】抛物线 y=（x 2） 2+3 的顶点坐标为（2，3） ，向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位， 所得
14、的抛物线的顶点坐标为（4，0） ，根据顶点式可确定所得抛物线解析式 【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（2，3） ， 平移后抛物线顶点坐标为（4，6） ， 又因为平移不改变二次项系数， 则所得抛物线解析式为：y=（x4） 2 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶 点坐标 7据调查，2013 年 5 月济南市的房价均价为 7600 元/m 2，2015 年同期达到 8200 元/m 2，假设这两 年济南市房价的平均增长率为 x，根据题意，所列方程为（ ） A7600（1+x%） 2=8200 B7600（1 x%） 2=8200
15、 C7600（1+x） 2=8200 D7600（1x） 2=8200 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】2014 年的房价 8200=2012 年的房价 7600（1+年平均增长率） 2，把相关数值代入即可 【解答】解：2013 年同期的房价为 7600（1+x） ， 2014 年的房价为 7600（1+x） （1+x）=7600 （1+x） 2， 即所列的方程为 7600（1+x） 2=8200， 故选 C 【点评】考查列一元二次方程；得到 2013 年房价的等量关系是解决本题的关键 8如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为（ ） ACBD；
16、 BAD=90； AB=BC； AC=BD A B C D 【考点】菱形的判定 【分析】菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四 边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形据此判断即可 【解答】解：ABCD 中，AC BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD 是菱形；故正确； ABCD 中， BAD=90，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定ABCD 是矩形， 而不能判定ABCD 是菱形；故错误； ABCD 中， AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD 是菱形；故 正确； D、ABCD 中， AC=B
17、D，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定ABCD 是矩形，而不能 判定ABCD 是菱形；故错误 故选 A 【点评】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解 此题的关键 9已知二次函数 y=（k 3）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk 4 Ck4 Dk4 且 k3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】根据题意知，关于 x 的一元二次方程（k3）x 2+2x+1=0，然后根据一元二次方程的定义和 根的判别式来求 k 的取值范围 【解答】解：函数 y=（k3）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有两个交点，
18、令 y=0，则（k3）x 2+2x+1=0， =44（k 3）0，且 k30， 解得 k4 且 k3 故选 D 【点评】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点的知识，二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系，=b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数， 此题难度不大 10在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图所示，若 O 到 AB 的距离 是 18cm，O 到 CD 的距离是 6cm，则像 CD 的长是 AB 长的（ ） A3 倍 B C D不知 AB 的长度，无法判断 【考点】相似三角形的应用
19、 【专题】计算题 【分析】作 OMAB 于 M，交 CD 于 N，如图，则 OM=18，ON=6，证明OABOCD，利用相 似三角形的性质得 = = 【解答】解：作 OMAB 于 M，交 CD 于 N，如图，则 OM=18，ON=6， ABCD， OABOCD， = = = ， 即像 CD 的长是 AB 长的 故选 C 【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A ”型或“X ”型相似图，利用三角形相似，对应边 成比例可求线段的长度 11如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（ ，1） ，则点 C 的 坐标为（ ） A （ ，1） B （ 1， ） C （
20、 1， ） D （1， ） 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质 【分析】作 AEx 轴于 E，CF x 轴于 F，证明 OCFAOE，得出对应边相等 OF=AE=1，CF=OE= ，即可求出结果 【解答】解：作 AEx 轴于 E，CF x 轴于 F，如图所示： 则CFO=OEA=90， 1+3=90， 四边形 OABC 是正方形， OC=OA，AOC=90， 1+2=90， 3=2， 在OCF 和 AOE 中， ， OCFAOE（AAS） ， OF=AE=1，CF=OE= ， 点 C 的坐标为（1， ） ； 故选：C 【点评】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；通
21、过作辅助线证 明三角形全等是解决问题的关键 12二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中：abc 0；2a+b=0；当 2 x 3，y 0；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点，确定 a、b、c 的符号，根据对称轴和图象 确定 y0 时，x 的范围，根据二次函数的性质确定增减性 【解答】解：开口向上， a0，对称轴在 y 轴的右侧，b0，抛物线与 y 轴交于负半轴， c0，abc0错误； 对称轴 x= ，2a+b=0 ，正确； 当 2x
22、3 时，y0，正确； 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 错误 故选：B 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想 是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 13如果 x：y=1：2，那么 = 【考点】比例的性质 【分析】根据合比性质，可得答案 【解答】解： +1= +1，即 = 故答案为： 【点评】本题考查了比例的性质，利用了和比性质： = = 14已知菱形两条对角线的长分别为 5cm 和 8cm，则这个菱形的面积是 20 cm 2 【考点】菱形的性质 【
23、专题】计算题 【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积 【解答】解：由已知得，菱形面积= 58=20cm2 故答案为 20 【点评】本题主要考查了菱形的面积的计算公式 15抛物线 y=x22x+c4 经过原点，则 c= 4 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入即可计算出 c 的值 【解答】解：把（0，0）代入 y=x22x+c4 得 c4=0，解得 c=4 故答案为 4 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式 16如图，一山坡的坡比为 1：2，某人从山脚下的 A 点走了 500 米
24、后到达山顶的点 B那么这人 垂直高度上升了 100 米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】设这人垂直高度上升 x 米，根据坡比为 1：2，可得此人水平向右走了 2x 米，然后根据此 人沿山坡走了 500 米，利用勾股定理求解 【解答】解：设这人垂直高度上升 x 米，则此人水平向右走了 2x 米， AB=500m， =500， 解得：x=100 故这人垂直高度上升 100 米 故答案为：100 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡比构造直角三角形，利用勾股 定理求解，难度一般 17已知关于 x 的方程 x2+（1m ）x+ =0 有两个不相等的实数根，则
25、m 的最大整数值是 0 【考点】根的判别式 【专题】判别式法 【分析】根据判别式的意义得到=（1 m） 24 0，然后解不等式得到 m 的取值范围，再在此 范围内找出最大整数即可 【解答】解：根据题意得=（1 m） 24 0， 解得 m ， 所以 m 的最大整数值为 0 故答案为：0 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两 个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 18如图，正比例函数 y=kx（k0）与反比例函数 y= 的图象相交于 A、C 两点，过点 A 作 x 轴 的垂线交 x 轴于点 B
26、，连接 BC，则ABC 的面积等于 4 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】设点 A 坐标（x，kx ） ，根据点 A，C 关于原点对称，可得出点 C 坐标，再根据三角形的 面积计算即可 【解答】解：点 A 坐标（x， kx） ， 点 C 坐标（x，kx） ， ABx 轴， SABC= AB（0B x）= kx2x=kx2， 比例函数 y=kx（k0）与反比例函数 y= 的图象相交于 A、C 两点， kx2=4， SABC=4 故答案为 4 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，解方程组等知识点，主要 考查学生的计算能力，题目比较好 三、解答题 19 （1
27、）计算：2sin45 +|2|； （2）解方程：x 26x+8=0 【考点】实数的运算；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值 【专题】计算题 【分析】 （1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，最后一项利用 绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）方程利用因式分解法求出解即可 【解答】解：（1）原式=2 2 +2=2 ； （2）方程变形得：（x2） （ x4）=0 ， 解得：x 1=2，x 2=4 【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题 的关键 20如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB
28、=130cm，球目前在 E 点位置，AE=60cm如 果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位置 （1）求证：BEF CDF； （2）求 CF 的长 【考点】相似三角形的应用 【专题】几何综合题 【分析】 （1）利用“两角法” 证得这两个三角形相似； （2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段 CF 的长度 【解答】 （1）证明：如图，在矩形 ABCD 中：DFC= EFB，EBF= FCD=90， BEFCDF； （2）解：由（1）知，BEFCDF = ，即 = ， 解得：CF=169 即：CF 的长度是 169cm 【点评】本题考查了相似三角形的应
29、用此题利用了“相似三角形的对应边成比例 ”推知所求线段 CF 与已知线段间的数量关系的 212016 届九年级某班同学在元旦会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个相同的小球， 把它们分别标号 1、2、3，随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随即摸出一个小球记下 标号 （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种） ，表示两次摸出小球上的标号的所有结果； （2）规定当两次摸出的小球标号之积为奇数时中奖，求中奖的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由（1）中树状图求得两次摸出的小球标号之积为奇数的情况，然后直
30、接利用概率公式求解即 可求得答案 【解答】解：（1）画树状图得： 则共有 9 种等可能的结果； （2）两次摸出的小球标号之积为奇数的有 4 种情况， 中奖的概率为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 22如图，已知一次函数 y1=kx+b 与反比例函数 的图象交于 A（2，4） 、B（ 4，n）两点 （1）分别求出 y1 和 y2 的解析式； （2）写出 y1=y2 时，x 的值； （3）写出 y1y 2 时，x 的取值范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】计算题 【分析】 （1）将 A 坐标代入反比例解析式中求出 m 的
31、值，确定出反比例解析式，将 B 坐标代入反 比例解析式求出 n 的值，确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式求出 k 与 b 的值，即 可确定出一次函数解析式； （2）联立两函数解析式，求出方程组的解即可得到 x 的值； （3）由两函数交点坐标，利用图形即可得出所求不等式的解集 【解答】解：（1）将 A（2， 4）代入反比例解析式得：m=8， 反比例函数解析式为 y2= ， 将 B（4，n）代入反比例解析式得：n=2，即 B（ 4，2） ， 将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式得： ， 解得： ， 则一次函数解析式为 y1=x+2； （2）联立两函数解析式得： ， 解得：
32、或 ， 则 y1=y2 时，x 的值为 2 或 4； （3）利用图象得：y 1y 2 时，x 的取值范围为4x0 或 x2 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法与数形结合的数学思想， 熟练掌握待定系数法是解本题的关键 23如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道 AB，现决定从小岛架一座 与观光小道垂直的小桥 PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0 米，PAB=38.5， PBA=26.5请帮助小张求出小桥 PD 的长并确定小桥在小道上的位置 （以 A，B 为参照点，结 果精确到 0.1 米） （参考数据：sin38.5=0.62，cos
33、38.5 =0.78，tan38.5 =0.80，sin26.5=0.45，cos26.5 =0.89，tan26.5 =0.50） 【考点】解直角三角形的应用 【专题】应用题；压轴题 【分析】设 PD=x 米，在 RtPAD 中表示出 AD，在 RtPDB 中表示出 BD，再由 AB=80.0 米，可 得出方程，解出即可得出 PD 的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置 【解答】解：设 PD=x 米， PDAB， ADP=BDP=90， 在 RtPAD 中，tan PAD= ， AD= = x， 在 RtPBD 中，tan PBD= ， DB= =2x， 又 AB=80.0 米， x+2x=
34、80.0， 解得：x24.6，即 PD24.6（米） ， DB=49.2（米） 答：小桥 PD 的长度约为 24.6 米，位于 AB 之间距 B 点约 49.2 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示 出相关线段的长度，难度一般 24某超市经营一种小商品，进价为 3.5 元，据市场调查，销售单价是 14.5 元时平均每天销售量是 500 件，而销售价每降低 1 元，平均每天就可以多售出 100 件 （1）假定每件商品降价 x 元，商店每天销售这件商品的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的关系 式 （2）每件商品售价是多少时，超市每天销售
35、这种商品获得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据等量关系“利润=（13.5降价进价） （500+100降价） ”列出函数关系式 （2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值 【解答】解：（1）设降价 x 元时利润最大、 依题意：y=（14.5 x3.5） （500+100x） ， 整理得：y= 100（x3） 2+6400（0 x11） ； （2）由（1）可知， a=1000， 当 x=3 时 y 取最大值，最大值是 6400， 即降价 3 元时利润最大， 销售单价为 11.5 元时，最大利润 6400 元 答：销售单价为 11.5 元时利润最大，最大利润
36、为 6400 元 【点评】考查了二次函数的应用，此题运用了数学建模思想把实际问题转化为数学问题运用函数 性质求最值常用公式法或配方法 25如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a 0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m） ，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请 说明理由； （3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 【考点】二次函数综合题 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】 （1）已知 B（4
37、，m）在直线 y=x+2 上，可求得 m 的值，抛物线图象上的 A、B 两点坐标， 可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值 （2）要弄清 PC 的长，实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标，根据直线 AB 和 抛物线的解析式表示出 P、C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数 的性质即可求出 PC 的最大值 （3）当PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解 【解答】解：（1）B （4，m）在直线 y=x+2 上， m=4+2=6， B（4，6） ， A（ ， ） 、B（4，6）在抛物
38、线 y=ax2+bx+6 上， ，解得 ， 抛物线的解析式为 y=2x28x+6 （2）设动点 P 的坐标为（n，n+2） ，则 C 点的坐标为（n，2n 28n+6） ， PC=（n+2）（2n 28n+6） ， =2n2+9n4， =2（n ） 2+ ， PC0， 当 n= 时，线段 PC 最大且为 （3）PAC 为直角三角形， i）若点 P 为直角顶点，则 APC=90 由题意易知，PC y 轴，APC=45，因此这种情形不存在； ii）若点 A 为直角顶点，则PAC=90 如答图 31，过点 A（ ， ）作 ANx 轴于点 N，则 ON= ，AN= 过点 A 作 AM直线 AB，交 x
39、 轴于点 M，则由题意易知， AMN 为等腰直角三角形， MN=AN= ， OM=ON+MN= + =3， M（3，0） 设直线 AM 的解析式为：y=kx+b， 则： ，解得 ， 直线 AM 的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x 28x+6 联立式，解得：x=3 或 x= （与点 A 重合，舍去） C（3，0） ，即点 C、M 点重合 当 x=3 时，y=x+2=5， P1（ 3，5） ； iii）若点 C 为直角顶点，则 ACP=90 y=2x28x+6=2（x2） 22， 抛物线的对称轴为直线 x=2 如答图 32，作点 A（ ， ）关于对称轴 x=2 的对称点 C， 则点 C 在抛物线上，且 C（ ， ） 当 x= 时，y=x+2= P2（ ， ） 点 P1（3，5） 、P 2（ ， ）均在线段 AB 上， 综上所述， PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（3，5）或（ ， ） 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函 数图象交点坐标的求法等知识
