1、第 1 页（共 24 页） 2015-2016 学年江西省上饶市余干县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题 15 的相反数是（ ） A5 B5 C D 22012 年我省各级政府将总投入 594 亿元教育经费用于“教育强省”战略，将 594 亿元用于科学 记数法（保留两个有效数字）表示为（ ） A5.9410 10 B5.910 10 C5.910 11 D6.010 10 3二元一次方程组 的解是（ ） A B C D 4在函数 的图象上有三点 A（2，y 1）、B（1，y 2）、C（2，y 3），则（ ） Ay 1y 2y 3 By 2y 1y 3 Cy 1y 3y 2 Dy 3y 2y
2、1 5一次函数 y= x1 的图象大致是（ ） A B C D 6甲、乙两同学 A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到 B 地，他们离出发地的距离 s（千米） 和行驶时间 t（小时）之间的函数关系的图象如图，根据图中提供的信息，有下列说法：其中符合 图象描述的说法有（ ） （1）他们都行驶了 18 千米； （2）甲在途中停留了 0.5 小时； （3）乙比甲晚出发了 0.5 小时； （4）相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5）甲乙两人同时到达目的地 第 2 页（共 24 页） A2 个 B3 个 C4 个 DD、5 个 二、填空题 7计算 = 8计算： + = 9已知 x=1 是一元二次方程 x
3、2+mx+n=0 的一个根，则 m2+2mn+n2的值为 10如图，在ABC 中，AB=AC，A=120，BC=2 ，A 与 BC 相切于点 D，且交 AB，AC 于 M，N 两点，则图中阴影部分的面积是 （保留 ） 11分解因式 a2ab 2= 12抛物线 y=x22x3 的对称轴是 13从4、3、5 这三个数中，随机抽取一个数，记为 a，那么，使关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解， 且使关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为 4 的概率 14如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子： 观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了 块石子 三
4、、解答题 15计算：（a 2） 3 16解方程： + =1 第 3 页（共 24 页） 17解不等式组： ；并把解集在数轴上表示出来 18先化简，再求值： ，其中 a= 19我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动，某中学为了了解七年在“学雷锋活动月”中做好事的情 况，随机调查了七年级 50 名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据 图中提供的信息解答下列问题： 所调查的七年级 50 名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ，众数是 ，极差是 根据样本数据，估计该校七年级 800 名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于 4 次的人数 20如图所示，AB 是O 的直径，BD 是O 的
5、弦，延长 BD 到点 C，使 DC=BD，连接 AC，过点 D 作 DEAC 于 E （1）求证：AB=AC；（2）求证：DE 为O 的切线 21如图，已知点 A（8，n），B（3，8）是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 图象的 两个交点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积， （3）求方程 kx+b =0 的解（请直接写出答察）； （4）求不等式 kx+b 0 的解集（请直接写出答案） 第 4 页（共 24 页） 22为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度 增加某农
6、户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产 品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y=2x+80设这种产品每天的销 售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式 （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售 利润，销售价应定为每千克多少元？ 23如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1
7、cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题： （1）当 t=2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由； （2）设BPQ 的面积为 S（cm 2），求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QRBA 交 AC 于点 R，连接 PR，当 t 为何值时，APRPRQ 24如图，已知抛物线 y=x 2+mx+4m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，8） （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）抛物线上是否存在点 E，使ABE 的面积为 15？若存在，请求出所有符合条件 E
8、 的坐标；若 不存在，请说明理由； 第 5 页（共 24 页） （3）连结 BD，动点 P 在线段 BD 上运动（不含端点 B、D），连结 CP，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足 为 H，设 OH 的长度为 t，四边形 PCOH 的面积为 S试探究：四边形 PCOH 的面积 S 有无最大值？如 果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由 第 6 页（共 24 页） 2015-2016 学年江西省上饶市余干县九年级（上）期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 15 的相反数是（ ） A5 B5 C D 【考点】相反数 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 【解
9、答】解：5 的相反数是 5， 故选：A 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数 22012 年我省各级政府将总投入 594 亿元教育经费用于“教育强省”战略，将 594 亿元用于科学 记数法（保留两个有效数字）表示为（ ） A5.9410 10 B5.910 10 C5.910 11 D6.010 10 【考点】科学记数法与有效数字 【分析】学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数有效数字是从左边 第一个不是 0 的数字起后面所有的数字都是有效数字用科学记数法表示的数的有效数字只与前面 的 a 有关，与 10 的多少次方无关 【解答】解：
10、根据题意先将 594 亿元写成 594108=5.941010元再用四舍五入法保留两个有效 数字即得 5.91010元 故选 B 【点评】把一个数 M 记成 a10n（1|a|10，n 为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数 法同时考查近似数及有效数字的概念 【规律】 （1）当|M|1 时，n 的值为 M 的整数位数减 1； （2）当|M|1 时，n 的相反数是第一个不是 0 的数字前 0 的个数，包括整数位上的 0 第 7 页（共 24 页） 3二元一次方程组 的解是（ ） A B C D 【考点】解二元一次方程组 【分析】利用加减法解出二元一次方程组即可 【解答】解： ， +得，2x=
11、6， 解得，x=3， 把 x=3 代入得，y=1， 则方程组的解为： ， 故选：D 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题 的关键 4在函数 的图象上有三点 A（2，y 1）、B（1，y 2）、C（2，y 3），则（ ） Ay 1y 2y 3 By 2y 1y 3 Cy 1y 3y 2 Dy 3y 2y 1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】数形结合 【分析】A，B 同在第二象限，y 随 x 的增大而增大；C 在第四象限，纵坐标最小 【解答】解：210， y 1y 2， 20， C 在第四象限， y 3最小， y 2y 1y 3， 第
12、 8 页（共 24 页） 故选 B 【点评】考查反比例函数图象上的点的特点；k0，若在同一象限内，y 随 x 的增大而增大；不在 同一象限内，第四象限的点的纵坐标小 5一次函数 y= x1 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】一次函数的图象 【分析】找到函数与 x 轴和 y 轴的交点，画出函数图象，解答即可 【解答】解：当 x=0 时，y=1，与 y 轴交点为（0，1）； 当 y=0 时，x= ，与 x 轴交点为（ ，0）； 如图： 故选 B 【点评】本题考查了一次函数的图象，找到与 x 轴、y 轴的交点画出图象是解题的关键 6甲、乙两同学 A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到 B
13、地，他们离出发地的距离 s（千米） 和行驶时间 t（小时）之间的函数关系的图象如图，根据图中提供的信息，有下列说法：其中符合 图象描述的说法有（ ） （1）他们都行驶了 18 千米； （2）甲在途中停留了 0.5 小时； （3）乙比甲晚出发了 0.5 小时； （4）相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5）甲乙两人同时到达目的地 第 9 页（共 24 页） A2 个 B3 个 C4 个 DD、5 个 【考点】函数的图象 【专题】图表型 【分析】根据函数图象可以直接回答问题 【解答】解：（1）根据统计图，他们都行驶了 18 千米到达目的地，故（1）正确； （2）甲行驶了 0.5 小时，在途中停下，一
14、直到 1 小时，因此在途中停留了 0.5 小时，故（2）正确； （3）甲行驶了 0.5 小时，乙才出发，因此乙比甲晚出发了 0.5 小时，故（3）正确； （4）根据统计图，很明显相遇后，甲的速度小于乙的速度，故（4）正确； （5）甲行驶了 2.5 小时到达目的地，乙用了 20.5=1.5 小时到达目的地，故（5）错误 综上所述，正确的说法有 4 个 故选：C 【点评】此题考查了函数图象的认识，关键在于仔细读图，明白各部分表示的含义，从图中获取信 息，解决问题 二、填空题 7计算 = 【考点】二次根式的混合运算 【专题】计算题 【分析】首先化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并
15、同类二次根式即可求 解 【解答】解：原式=2 = ， 故答案是： 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式的乘法简化了运算，正确观察式子的 特点是关键 第 10 页（共 24 页） 8计算： + = 1 【考点】分式的加减法 【专题】计算题 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果 【解答】解：原式= = =1 故答案为：1 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 9已知 x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根，则 m2+2mn+n2的值为 1 【考点】一元二次方程的解；完全平方公式 【分析】首先把 x=1 代入一元二次方
16、程 x2+mx+n=0 中得到 m+n+1=0，然后把 m2+2mn+n2利用完全平 方公式分解因式即可求出结果 【解答】解：x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根， m+n+1=0， m+n=1， m 2+2mn+n2=（m+n） 2=（1） 2=1 故答案为：1 【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题 10如图，在ABC 中，AB=AC，A=120，BC=2 ，A 与 BC 相切于点 D，且交 AB，AC 于 M，N 两点，则图中阴影部分的面积是 （保留 ） 【考点】扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质 第 11 页（共 24 页） 【专
17、题】压轴题 【分析】我们只要根据勾股定理求出 AD 的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可 【解答】解：连接 AD，A 与 BC 相切于点 D，AB=AC，A=120， ABD=ACD=30，ADBC， AB=2AD，由勾股定理知 BD2+AD2=AB2，即 +AD2=（2AD） 2 解得 AD=1，ABC 的面积=2 12= ，扇形 MAN 得面积=1 2 = ，所以阴影部分的面 积= 【点评】解此题的关键是求出圆的半径，即三角形的高，再相减即可 11分解因式 a2ab 2= a（ab 2） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】观察可得公因式 a，提取公因式 a，即可将原多项式
18、因式分解 【解答】解：a 2ab 2=a（ab 2） 故答案为：a（ab 2） 【点评】此题考查了提公因式分解因式的知识此题比较简单，注意准确找到公因式是解此题的关 键 12抛物线 y=x22x3 的对称轴是 直线 x=1 【考点】二次函数的性质 【分析】直接利用配方法得出二次函数的对称轴进而得出答案 【解答】解：y=x 22x3 =（x1） 24 故答案为：直线 x=1 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确应用配方法是解题关键 第 12 页（共 24 页） 13从4、3、5 这三个数中，随机抽取一个数，记为 a，那么，使关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解， 且使关于 x 的一次
19、函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为 4 的概率 【考点】概率公式；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】由关于 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为 4，可求得 a 的 值，由关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解，可求得 a 的取值范围，继而求得答案 【解答】解：一次函数 y=2x+a 与 x 轴、y 轴的交点分别为：（ ，0），（0，a）， | |a| =4， 解得：a=4， 当=164a0，即 a4 时，关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解， 使关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有解，且使关于
20、 x 的一次函数 y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角 形面积恰好为 4 的概率为： 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用以及根的判别式与一次函数的性质用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比 14如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子： 观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了 （n 2+4n） 块石子 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】计算题；压轴题 【分析】要找这个小房子的规律，可以分为两部分来看：第一个屋顶是 1，第二个屋顶是 3第三 个屋顶是 5以此类推，第 n 个屋顶是 2n1第一个下边是 4第二个下边是 9第三个下边是 16以此类推，第 n 个
21、下边是（n+1） 2个两部分相加即可得出第 n 个小房子用的石子数是 （n+1） 2+2n1=n 2+4n 【解答】解：该小房子用的石子数可以分两部分找规律： 屋顶：第一个是 1，第二个是 3，第三个是 5，以此类推，第 n 个是 2n1； 第 13 页（共 24 页） 下边：第一个是 4，第二个是 9，第三个是 16，以此类推，第 n 个是（n+1） 2个 所以共有（n+1） 2+2n1=n 2+4n 故答案为（n 2+4n） 【点评】本题考查了图形的变化类，分清楚每一个小房子所用的石子个数，主要培养学生的观察能 力和空间想象能力 三、解答题 15计算：（a 2） 3 【考点】幂的乘方与积的
22、乘方 【分析】根据幂的乘方法则计算即可 【解答】解：原式=a 23=a 6 【点评】本题考查的是幂的乘方，掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘是解题的关键 16解方程： + =1 【考点】解分式方程 【专题】计算题 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方 程的解 【解答】解：去分母得：3x1=x4， 移项合并得：2x=6， 解得：x=3， 经检验 x=3 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式 方程求解解分式方程一定注意要验根 17解不等式组： ；并把解集在数轴上表示出来 【考点
23、】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 第 14 页（共 24 页） 【解答】解： ，由得，x1，由得，x2， 故不等式组的解集为：x2 在数轴上表示为： 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找； 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18先化简，再求值： ，其中 a= 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】本题要先把分式化简，再将 a 的值代入求值 【解答】解：原式= = ； 将 a= 代入，得， 原式=2 【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到
24、最简是解题的关键 19我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动，某中学为了了解七年在“学雷锋活动月”中做好事的情 况，随机调查了七年级 50 名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据 图中提供的信息解答下列问题： 所调查的七年级 50 名学生在这个月内做好事次数的平均数是 4.4 ，众数是 5 ，极差是 4 根据样本数据，估计该校七年级 800 名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于 4 次的人数 第 15 页（共 24 页） 【考点】条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；众数；极差 【专题】数形结合 【分析】（1）根据平均数、众数和极差的定义求解； （2）先计算出 50 人中
25、做好事不少于 4 次的人数所占的百分比，然后用 800 乘以这个百分比即可估 计该校七年级 800 名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于 4 次的人数 【解答】解：（1）平均数=（25+36+413+516+610）50=4.4； 5 出现了 16 次，次数最多，所以众数为 5 次； 极差=62=4； 故答案为 4.4，5，4； 800 =624， 所以估计该校七年级 800 名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于 4 次的人数为 624 人 【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不 同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易
26、看出数据的大小，便于比 较也考查了用样本估计总体、众数和极差 20如图所示，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC=BD，连接 AC，过点 D 作 DEAC 于 E （1）求证：AB=AC；（2）求证：DE 为O 的切线 【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理 【专题】证明题 第 16 页（共 24 页） 【分析】（1）连接 AD，根据中垂线定理不难求得 AB=AC； （2）要证 DE 为O 的切线，只要证明ODE=90即可 【解答】证明：（1）连接 AD； AB 是O 的直径， ADB=90 又DC=BD， AD 是 BC 的中垂线 AB=AC （2）
27、连接 OD； OA=OB，CD=BD， ODAC 0DE=CED 又DEAC， CED=90 ODE=90，即 ODDE DE 是O 的切线 【点评】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质及圆周角的性质等知识点的综合运用 21如图，已知点 A（8，n），B（3，8）是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 图象的 两个交点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积， （3）求方程 kx+b =0 的解（请直接写出答察）； 第 17 页（共 24 页） （4）求不等式 kx+b 0 的解集（请直接写出答案） 【考点】反
28、比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）根据 B（3，8）在反比例函数 y= 图象上，求出 m 的值，把 A（8，n）代入反比 例函数解析式，求出 n 的值，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）求出点 C 的坐标，根据面积公式求出AOB 的面积； （3）观察图象，求出方程 kx+b =0 的解； （4）通过观察图象，求出不等式 kx+b 0 的解集 【解答】解：（1）B（3，8）在反比例函数 y= 图象上， 8= ，m=24，反比例函数的解析式为 y= ， 把 A（8，n）代入 y= ，n=3， 设一次函数解析式为 y=kx+b， ， 解得， ， 一次函数解析式为 y=x5 （2）x5
29、=0，x=5， 点 C 的坐标为（5，0）， AOB 的面积=AOC 的面积+BOC 的面积 = 53+ 58= 第 18 页（共 24 页） （3）点 A（8，3），B（3，8）是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 图象的两个交点， 方程 kx+b =0 的解是：x 1=8，x 2=3， （4）由图象可知，当 x8 或 0x3 时，kx+b ， 不等式 kx+b 0 的解集为：x8 或 0x3 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满 足两函数解析式也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力 22为了落实国务院的指示精神，
30、某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度 增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产 品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y=2x+80设这种产品每天的销 售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式 （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售 利润，销售价应定为每千克多少元？ 【考点】二次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】（1）根据销售额=销售量销售单价，列出
31、函数关系式； （2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； （3）把 y=150 代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x 的取值范围求 x 的值 【解答】解：（1）由题意得出： w=（x20）y =（x20）（2x+80） =2x 2+120x1600， 故 w 与 x 的函数关系式为：w=2x 2+120x1600； （2）w=2x 2+120x1600=2（x30） 2+200， 第 19 页（共 24 页） 20， 当 x=30 时，w 有最大值w 最大值为 200 答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200
32、元 （3）当 w=150 时，可得方程2（x30） 2+200=150 解得 x 1=25，x 2=35 3528， x 2=35 不符合题意，应舍去 答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元 【点评】本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决 问题 23（2008福州）如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出 发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到 达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为
33、t（s），解答下列问题： （1）当 t=2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由； （2）设BPQ 的面积为 S（cm 2），求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QRBA 交 AC 于点 R，连接 PR，当 t 为何值时，APRPRQ 【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质；解直角三角形 【专题】压轴题；动点型 【分析】（1）当 t=2 时，可分别计算出 BP、BQ 的长，再对BPQ 的形状进行判断； （2）B 为 60特殊角，过 Q 作 QEAB，垂足为 E，则 BQ、BP、高 EQ 的长可用 t 表示，S 与 t 的 函数关系式也可求； （3）由题目线段的长度可证
34、得CRQ 为等边三角形，进而得出四边形 EPRQ 是矩形，由APR PRQ，可得出QPR=60，利用 60的特殊角列出一方程即可求得 t 的值 第 20 页（共 24 页） 【解答】解：（1）BPQ 是等边三角形 当 t=2 时 AP=21=2，BQ=22=4 BP=ABAP=62=4 BQ=BP 又B=60 BPQ 是等边三角形； （2）过 Q 作 QEAB，垂足为 E 由 QB=2t，得 QE=2tsin60= t 由 AP=t，得 PB=6t S BPQ = BPQE= （6t） t= t S= t； （3）QRBA QRC=A=60，RQC=B=60 QRC 是等边三角形 QR=RC=
35、QC=62t BE=BQcos60= 2t=t EP=ABAPBE=6tt=62t EPQR，EP=QR 四边形 EPRQ 是平行四边形 PR=EQ= t 又PEQ=90， APR=PRQ=90 APRPRQ， QPR=A=60 tan60= 第 21 页（共 24 页） 即 解得 t= 当 t= 时，APRPRQ 【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的 特征、解直角三角形、函数等知识难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神 24（2015 秋 余干县期末）如图，已知抛物线 y=x 2+mx+4m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y
36、 轴交于点 C（0，8） （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）抛物线上是否存在点 E，使ABE 的面积为 15？若存在，请求出所有符合条件 E 的坐标；若 不存在，请说明理由； （3）连结 BD，动点 P 在线段 BD 上运动（不含端点 B、D），连结 CP，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足 为 H，设 OH 的长度为 t，四边形 PCOH 的面积为 S试探究：四边形 PCOH 的面积 S 有无最大值？如 果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由 【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；待定系数法求一次函数解析式 【专题】综合题 【分析】（1）只需把点 C 的坐
37、标代入抛物线的解析式，就可求出抛物线的解析式，然后用配方法 就可求出顶点 D 的坐标； 第 22 页（共 24 页） （2）可先求出 A、B 两点的坐标，得到 AB 的值，根据ABE 的面积可求出点 E 的纵坐标，代入抛 物线的解析式，就可求出点 E 的坐标； （3）可先求出 DB 的解析式，从而得到 PH（用 t 的代数式表示），然后用 t 的代数式表示出梯形 PCOH 的面积，再运用配方法就可解决问题 【解答】解：（1）点 C（0，8）在抛物线 y=x 2+mx+4m 上， 4m=8， m=2， 抛物线的解析式为 y=x 2+2x+8 y=x 2+2x+8=（x1） 2+9， 顶点 D 的
38、坐标为（1，9）； （2）令 y=0，则x 2+2x+8=0， 解得：x 1=4，x 2=2， A（2，0），B（4，0）， OA=2，OB=4，AB=6 S ABE = AB|yE|=3|yE|=15， y E=5 当 yE=5 时，x 2+2x+8=5， 解得：x 3=3，x 4=1 当 yE=5 时，x 2+2x+8=5， 解得：x 5=1+ ，x 6=1 点 E 的坐标为（3，5），（1，5），（1+ ，5），（1 ，5）； （3）设 DB 的解析式为 y=kx+b， 则有 ， 解得： ， DB 的解析式为 y=3x+12 OH=t， 第 23 页（共 24 页） P（t，3t+12），PH=3t+12， S= （83t+12）t= t2+10t= （t ） 2+ 1t4， 当 t= 时，S 最大= 【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线及直线的解析式、解一元二次方程等知识，运用配 方法是解决本题的关键，需要注意的是点 E 到 x 轴的距离为|y E|，而不是 yE 第 24 页（共 24 页）
