1、上海市普陀区 2006 届高三第一学期期末数学抽查 一、填空题： 1、函数 的最小正周期是 。43sin2xf 32 2、不等式 的解集是 。11, 3、边长分别为 的三角形的最大角的大小是 。7,6551arcos 4、若函数 ，则方程 的解是 。,3xxf 7xf 1x 5、若复数 是纯虚数，则 。Rai3 6、过点 且与直线 平行的直线的一般式方程是 。1,1xy 043yx 7、已知 ，则 （用含 的代数式表示结果） 。m27cos43cos2m 8、已知无穷等比数列 的第二项 ，各项和 ，则该数列的公比 。na516Sq41 9、设 ，则 。10,bnnbli0 10、在圆 上与直线
2、 距离最小的点的坐标是 。42yx123yx 56,8 11、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05 年 8 月，在上海申花俱乐部队员杜 威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”： 媒体 A：“, 凯尔特人俱乐部出价已从 80 万英镑提高到了 120 万欧元。 ” 媒体 B：“, 凯尔特人俱乐部出价从 120 万欧元提高到了 100 万美元，同 时增加了不少附加条件。 ” 媒体 C：“, 凯尔特人俱乐部出价从 130 万美元提高到了 120 万欧元。 ” 请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，
3、我们假定比值为定值） ，我们可以发 现只有媒体 （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。 12、如图，已知 和 都是正方形，且 ， ，ABD1C1/BA11DC 若将图中已作出的线段的两个端点分别作为向量的始点和终点所形成的不相等的向量的全体 构成集合 M，则从集合 M 中任取两个向量恰为平行向量的概率是 （用分数表示结果） 。37 二、选择题： 13、设 都是实数，则“ ”是“ ”的 条件 （ A yx, yxyx ） A，充分非必要； B，必要非充分； C，充要； D，既非充分又非必要。 14、已知等比数列 中， ，且 ，则 （ B ）na369795a1 A， ； B， ； C， ；
4、D， 。274432 15、定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当 时，Rxf xf2,0x ，则 的值为 （ D xfsin35f ） A， ； B， ； C， ； D， 。21212323 16、若方程 表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是 （ C 2qypx ） A， ； B， ； C， ； D， 。122yx 122qypx 122pyqx 122pyqx 三、解答题： 17、已知：向量 ，求： 。5,sinco,sincobabacos 解法一：由 ，又由条件得 ， ，2852 22ab 1ba251a 。 51sincosco
5、s ba 解法二： ，52cos2i22 ba 。251 8cos 18、在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 的横坐标为 ，直线 与xOyxy2FA1FA 抛物线交于点 、 ，求向量 和 夹角的大小。ABAB 解： ，由抛物线的对称性，不妨设 ，则直线 的方程为 ，0,21F2,1A2xy 把它代入 ，得 ，则 ，设向量 和 夹角为 ，xy2,41B2,41,OBAOAB 则 ，由对称性，当 时，结论相同。34cosOA , 向量 和 夹角的大小为 。Barcos 19、求证：不存在虚数 同时满足： ； （ 为实数且 ） 。z1z012zkk0 解：假设存在虚数 同时满
6、足两个条件，0,bRabi且 即 与假设 矛盾， 0212122 babakbaz 不存在虚数 同时满足两个条件。 20、人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。05 年 10 月 24 日出版的环球时报就报道了一篇俄罗斯 政府目前遭遇“人口危机”的文章。报道中引用了以下来自俄政府公布的数据： 截至 05 年 6 月底，俄罗斯人口为 亿，人口密度每平方公里只有 人；431. 38. 04 年一年俄人口就减少了 万，05 年 1 月至 5 月共又减少了 万；7695 据俄联邦安全会议预测，到 2050 年，俄将只有约 亿人口，比目前锐减 。%0 试根据以上数据信息回答下列问题： （1）以 0
7、4 年至 05 年 5 月这 17 个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到 2050 年 6 月底，俄罗斯的人口约为多少亿？（保留三位小数） （2）按第（1）小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里 人？5 解：（1）由给出的信息可知，17 个月里平均每月人口减少 万人，824.617935 2005 年 6 月底至 2050 年 6 月底共经过 个月，若每月人口减少数相同，40512 则到 2050 年 6 月底俄罗斯的人口数约为 万，即约为 亿。0.8.63076.1 （2）设从 05 年 6 月底起，经 个月后俄罗斯的人口密度将低于每平方公里 人
8、，n 于是有 ，8.76105824.63.38.4105214 n 至少要经过 个月，即 年零 个月，也就是到 2078 年 7 月底，俄罗斯的人口密度将低于每平方公里7 人。5 21、设函数 ，函数 ，其中 为常数且 ，令函数 为函数 和1xgaxh,3,10axfg 的积函数。xh （1）求函数 的表达式，并求其定义域；xf （2）当 时，求函数 的值域；4axf （3）是否存在自然数 ，使得函数 的值域恰为 ？若存在，试写出所有满足条件的自然数 所构成f21,3 a 的集合；若不存在，试说明理由。 解：（1） ， 。31xf0,a （2） ，函数 的定义域为 ，令 ，则 ， ，41ax
9、f41,0tx21tx3,t ，22tttFxf 时， ，又 时， 递减， 单调递增，t43,13,1tt4tF ，即函数 的值域为 。6,3tFxf6, （3）假设存在这样的自然数 满足条件，令 ，则 ，at12412tttFxf ，则 ，要满足值域为 ，则要满足 ，0,ax.1t 2,3maxt 由于当且仅当 时，有 中的等号成立，且此时 恰为最大值，t424t 21tF ，1,12a 又 在 上是增函数，在 上是减函数， ，tF,1,2a311a90a 综上，得 。91a 22、已知二次函数 同时满足：不等式 的解集有且只有一个元素；在定义Rxxf2 0xf 域内存在 ，使得不等式 成立
10、。21021ff 设数列 的前 项和 ，nanS （1）求数列 的通项公式； （2）试构造一个数列 ， （写出 的一个通项公式）满足：对任意的正整数 都有 ，且nbn nnab ，并说明理由；limnba （3）设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数。令nc01icinc （ 为正整数） ，求数列 的变号数。nnac1n 解：（1） 的解集有且只有一个元素， ，0xf 4042aa或 当 时，函数 在 上递增，故不存在 ，使得不等式 成立。2xf,0210x21xff 当 时，函数 在 上递减，故存在 ，使得不等式 成4a42xf2,0210x21xff 立
11、。 综上，得 ， ， ， 2f 42nSn （2）要使 ，可构造数列 ，对任意的正整数 都有 ，limnbakbn nab 当 时， 恒成立，即 恒成立，即 ，52k5325k 又 ， ， ，等等。0n*N3n （3）解法一：由题设 ， 2,541,cn 时， ， 时，数列 递增，n0325831 nnn 3nnc ，由 ，可知 ，即 时，有且只有 个变号数；034a05244a1 又 ，即 ，此处变号数有 个。,321cc 0,321cc 2 综上得 数列 共有 个变号数，即变号数为 。n 解法二：由题设 ， 2,541,ncn 时，令 ；2n 429275307901 nnn 或或 又 ， 时也有 。,321c21c 综上得 数列 共有 个变号数，即变号数为 。n 3
