1、第 1 页(共 21 页) 2015-2016 学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1设全集 U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=1,2,3,5,B= 2,4,6,则图中 的阴影部分表示的集合为( ) A2 B4,6 C1 ,3,5 D4,6,7,8 2设a n是公差为正数的等差数列,若 a1+a3=10,a 1a3=16,则 a12 等于( ) A25 B30 C35 D40 3已知 p:0a4,q:函数 y=x2ax+a 的值恒为正,则 p 是 q
2、的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4下列命题错误的是( ) A如果平面 平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ,平面 平面 ,=l,那么 l平面 D如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 5一元二次不等式x 2+4x+120 的解集为( ) A (,2) B ( 1,5) C (6,+) D (2,6) 6函数 f(x)=2x 6+lnx 的零点所在的区间( ) A (1,2) B (3,4) C (2,3) D (4,5) 7已知点 F1、F
3、2 分别是椭圆 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 交于 M、N 两点,若M NF 2 为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率 e 为( ) A B C D 8设 f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数 f(x)的图象可能是( ) 第 2 页(共 21 页) A B C D 9已知函数 ,其图象与直线 y=2 相邻两个 交点的距离为 若 f(x)1 对于任意的 恒成立,则 的取值范围是 ( ) A B C D 10已知函数 f(x)= ,若 ab,f (a)=f(b) ,则实数 a2b 的取值范 围为( ) A B C D 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5
4、分,共 25 分,请把答案填写在答题卡相应位置. 11若 tan= ,则 = 12直线 ax+y+1=0 被圆 x2+y22ax+a=0 截得的弦长为 2,则实数 a 的值是 13如果实数 x,y 满足条件 ,则 z=x+y 的最小值为 14方程 x21=ln|x|恰有 4 个互不相等的实数根 x1,x 2, x3,x 4,则 x1+x2+x3+x4= 15某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 第 3 页(共 21 页) 三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16ABC 的内角 A、B 、C 所对的边 a、b、c
5、,且 asinB bcosA=0 ()求角 A ()若 a=6,b+c=8,求ABC 的面积 17如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形, EFAD ,FA面 ABCD,AB=AF=EF=1 ,AD=2,AC 交 BD 于点 P ()证明:PF面 ECD; ()证明:AE面 ECD 18已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn,且 S2=6,S 4=30,n N*,数列b n满足 bnbn+1=an,b 1=1 (I)求 an,b n; ()求数列b n的前 2n 项和 T2n 19如图,是一曲边三角形地块,其中曲边 AB 是以 A 为顶点,AC 为对称轴的抛物线的 一部
6、分,点 B 到 AC 边的距离为 2Km,另外两边 AC、BC 的长度分别为 8Km,2 Km现欲在此地块内建一形状为直角梯形 DECF 的科技园区求科技园区面积 的最大值 第 4 页(共 21 页) 20已知椭圆 C: 的右顶点 A(2,0) ,且过点 ()求椭圆 C 的方程; ()过点 B(1,0)且斜率为 k1(k 10)的直线 l 于椭圆 C 相交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别交直线 x=3 于 M,N 两点,线段 MN 的中点为 P,记直线 PB 的斜率为 k2, 求证:k 1k2 为定值 21已知函数 f(x)=lnx+ax(aR)在点(1,f(1) )处切线方程为 y=
7、2x1 (I)求 a 的值 ()若 k2,证明:当 x1 时, ()若 k2 且 kz, 对任意实数 x1 恒成立,求 k 的最大 值 第 5 页(共 21 页) 2015-2016 学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷 (文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1设全集 U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=1,2,3,5,B= 2,4,6,则图中 的阴影部分表示的集合为( ) A2 B4,6 C1 ,3,5 D4,6,7,8 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算 【分析
8、】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C UA)B,根据集合的运算求解即可 【解答】解:全集 U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=1,2,3,5,B= 2,4,6, 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C UA) B, C UA=4,6,7,8, (C UA)B=4,6 故选 B 2设a n是公差为正数的等差数列,若 a1+a3=10,a 1a3=16,则 a12 等于( ) A25 B30 C35 D40 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由已知得 a1a 3,且 a1,a 3 是方程 x210x+16=0 的两个根,解方程 x210x+16=0, 得 a1=2,a 3=8,由此求出
9、公差,从而能求出 a12 【解答】解:a n是公差为正数的等差数列,a 1+a3=10,a 1a3=16, a 1a 3,且 a1,a 3 是方程 x210x+16=0 的两个根, 解方程 x210x+16=0,得 a1=2,a 3=8, 2+2d=8,解得 d=3, a 12=a1+11d=2+113=35 故选:C 3已知 p:0a4,q:函数 y=x2ax+a 的值恒为正,则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 6 页(共 21 页) C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定
10、义进行判断即可 【解答】解:若函数 y=x2ax+a 的值恒为正, 即 x2ax+a0 恒成立, 则判别式=a 24a0,则 0a4, 则 p 是 q 的充要条件, 故选:C 4下列命题错误的是( ) A如果平面 平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ,平面 平面 ,=l,那么 l平面 D如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 【考点】平面与平面之间的位置关系 【分析】命题 A,B 可以通过作图说明;命题 C 可以直接进行证明;命题 D 可以运用反证 法的思维方式说明是正确的 【解答】解:A、
11、如图,平面 平面 ,=l ,l , l 不垂直于平面 ,所以不正确; B、如 A 中的图,平面 平面 ,=l,a ,若 al ,则 a,所以正确; C、如图, 设 =a,=b ,在 内直线 a、b 外任取一点 O,作 OAa,交点为 A,因为平面 平面 , 所以 OA,所以 OAl,作 OBb,交点为 B,因为平面 平面 ,所以 OB,所 以 OBl,又 OAOB=O, 所以 l所以正确 D、若平面 内存在直线垂直于平面 ,根据面面垂直的判定,则有平面 垂直于平面 , 与平面 不垂直于平面 矛盾,所以,如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不 存在直线垂直于平面 ,正确; 第 7 页(共
12、21 页) 故选:A 5一元二次不等式x 2+4x+120 的解集为( ) A (,2) B ( 1,5) C (6,+) D (2,6) 【考点】一元二次不等式的解法 【分析】把原不等式化为(x+2) (x6)0,求出不等式对应方程的实数根,即可写出不 等式的解集 【解答】解:不等式x 2+4x+120 可化为 x24x120, 即(x+2) (x6 )0; 该不等式对应方程的两个实数根为2 和 6, 所以该不等式的解集为(2, 6) 故选:D 6函数 f(x)=2x 6+lnx 的零点所在的区间( ) A (1,2) B (3,4) C (2,3) D (4,5) 【考点】函数零点的判定定
13、理 【分析】据函数零点的判定定理,判断 f(1) ,f (2) ,f(3) ,f(4)的符号,即可求得结 论 【解答】解:f(1)=2 60, f(2)=4+ln260, f(3)=6+ln360, f(4)=8+ln460, f(2)f (3)0, m 的所在区间为(2,3) 故选:C 7已知点 F1、F 2 分别是椭圆 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 交于 M、N 两点,若M NF 2 为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率 e 为( ) A B C D 第 8 页(共 21 页) 【考点】椭圆的简单性质 【分析】把 x=c 代入椭圆 ,解得 y= 由于 MNF 2 为等
14、腰直角三角形, 可得 =2c,由离心率公式化简整理即可得出 【解答】解:把 x=c 代入椭圆方程 , 解得 y= , MNF 2 为等腰直角三角形, =2c,即 a2c2=2ac, 由 e= ,化为 e2+2e1=0,0e1 解得 e=1+ 故选 C 8设 f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数 f(x)的图象可能是( ) A B C D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】由 f(x)的图象可得在 y 轴的左侧,图象下降,f (x)递减,y 轴的右侧,图象 先下降再上升,最后下降,即有 y 轴左侧导数小于 0,右侧导数先小于 0,再大于 0,最后 小于 0,对照选项,即可判断
15、 【解答】解:由 f(x)的图象可得,在 y 轴的左侧,图象下降,f (x)递减, 即有导数小于 0,可排除 C, D; 第 9 页(共 21 页) 再由 y 轴的右侧,图象先下降再上升,最后下降, 函数 f(x)递减,再递增,后递减, 即有导数先小于 0,再大于 0,最后小于 0, 可排除 A; 则 B 正确 故选:B 9已知函数 ,其图象与直线 y=2 相邻两个 交点的距离为 若 f(x)1 对于任意的 恒成立,则 的取值范围是 ( ) A B C D 【考点】正弦函数的图象 【分析】根据条件先求出函数的周期,计算出 的值,根据不等式恒成立,结合三角函数 的解法求出不等式的解即可得到结论
16、【解答】解:函数 ,其图象与直线 y=2 相 邻两个交点的距离为 函数的周期 T=,即 =,即 =2, 则 f(x)=2sin(2x+ ) ,若 f(x)1 则 2sin(2x+)1, 则 sin(2x+) , 若 f(x)1 对于任意的 恒成立, 故有 +2k+ +,且 +2k+ ,求得 2k + ,且 2k + ,kZ, 故 的取值范围是 2k+ ,2k+ ,k Z, | , 当 k=0 时, 的取值范围是 , , 故选:B 10已知函数 f(x)= ,若 ab,f (a)=f(b) ,则实数 a2b 的取值范 围为( ) 第 10 页(共 21 页) A B C D 【考点】函数的值 【
17、分析】由已知得 a1,a 2b=aea1,再由函数 y=ex+a1, (x1)单调递减,能求出实数 a2b 的范围 【解答】解:函数 f(x)= ,a b, f(a)=f(b) ,a1, f(a) =ea,f(b)=2b1,且 f(a)=f(b) , e a=2b1,得 b= , a2b=a ea1, 又函数 y=ex+a1(x1)为单调递减函数, a2bf (1)= e1= , 实数 a2b 的范围是(, ) 故选:B 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填写在答题卡相应位置. 11若 tan= ,则 = 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【分析】利用同
18、角三角函数关系式求出 sin 和 cos,再由 = ,能求出结果 【解答】解:tan= , sin= ,cos ,或 ,cos , = sin2 = 第 11 页(共 21 页) = = 故答案为: 12直线 ax+y+1=0 被圆 x2+y22ax+a=0 截得的弦长为 2,则实数 a 的值是 2 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】由圆的方程,得到圆心与半径,再求得圆心到直线的距离,利用勾股定理解 【解答】解:圆 x2+y22ax+a=0 可化为(xa) 2+y2=a2a 圆心为:(a,0) ,半径为: 圆心到直线的距离为:d= = 直线 ax+y+1=0 被圆 x2+y22ax+a=0
19、截得的弦长为 2, a 2+1+1=a2a, a=2 故答案为:2 13如果实数 x,y 满足条件 ,则 z=x+y 的最小值为 【考点】简单线性规划 【分析】由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案 【解答】解:由约束条件 作出可行域如图, 第 12 页(共 21 页) 联立 ,解得 A( ) , 化目标函数 z=x+y 为 y=x+z, 由图可知,当直线 y=x+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为 故答案为: 14方程 x21=ln|x|恰有 4 个互不相等的实数根 x1,x 2, x3
20、,x 4,则 x1+x2+x3+x4= 0 【考点】根的存在性及根的个数判断 【分析】根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题,判断函数的奇偶性,利 用奇偶性的对称性的性质进行求解即可 【解答】解:设 f(x)=x 21,g(x)=ln|x|, 则函数 f(x)与 g(x)都是偶函数, 若方程 x21=ln|x|恰有 4 个互不相等的实数根 x1,x 2,x 3,x 4, 则这 4 个根,两两关于 y 轴对称, 则 x1+x2+x3+x4=0, 故答案为:0 15某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 第 13 页(共 21 页) 【考点】由三视图求面积、体积
21、【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分,再根据俯视图与左视图的数据可求得底 面扇形的圆心角为 120,又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2,把数据代入 圆锥的体积公式计算 【解答】解:由三视图知几何体是圆锥的一部分, 由正视图可得:底面扇形的圆心角为 120, 又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2, 几何体的体积 V= 224= 故答案为: 三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16ABC 的内角 A、B 、C 所对的边 a、b、c ,且 asinB bcosA=0 ()求角 A ()若 a=6,b+c=8,求A
22、BC 的面积 【考点】余弦定理;正弦定理 【分析】 (I)由 asinB bcosA=0,利用正弦定理可得 sinAsinB sinBcosA=0,化为 tanA= ,进而得出 (II)由余弦定理可得:a 2=b2+c22bccosA,变形 62=(b+c) 22bc2bccos ,解得 bc 即可 得出 【解答】解:(I)asinB bcosA=0, sinAsinB sinBcosA=0, B(0,) ,sinB0,tanA= , 第 14 页(共 21 页) 又 A(0,) ,A= (II)由余弦定理可得:a 2=b2+c22bccosA, 6 2=(b+c) 22bc2bccos ,
23、8 23bc=62,化为 bc= , S ABC= = = 17如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形, EFAD ,FA面 ABCD,AB=AF=EF=1 ,AD=2,AC 交 BD 于点 P ()证明:PF面 ECD; ()证明:AE面 ECD 【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面平行的性质 【分析】 ()取 CD 中点 G,连结 EG,PG,推导出四边形 EFPG 为平行四边形,由此能 证明 FP平面 ECD ()取 AD 中点 M,连结 EM,MC,推导出四边形 EFAM 为平行四边形,从而 EMFA,进而 EM平面 ABCD,CD平面 EFAD,由此能证明 AE
24、平面 ECD 【解答】证明:()取 CD 中点 G,连结 EG,PG, 点 P 为矩形 ABCD 对角线交点, 在ACD 中,PG , 又 EF=1,AD=2,EFAD, EF PG,四边形 EFPG 为平行四边形, FPEG , 又 FP平面 ECD,EG 平面 ECD, FP平面 ECD ()取 AD 中点 M,连结 EM,MC,EF=AM=1,EF , 四边形 EFAM 为平行四边形,EMFA, 又 FA平面 ABCD,EM平面 ABCD, 又 MC2=MD2+CD2=2,EM 2=1, EC 2=MC2+EM2=3, 又 AE2=2,AC 2=AB2+BC2=1+4=5, 第 15 页
25、(共 21 页) AC 2=AE2+EC2,AEEC , 又 CDAD,CD平面 EFAD, CDAE,又 ECED=D, AE平面 ECD 18已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn,且 S2=6,S 4=30,n N*,数列b n满足 bnbn+1=an,b 1=1 (I)求 an,b n; ()求数列b n的前 2n 项和 T2n 【考点】数列的求和;数列递推式 【分析】 ()由正项等比数列a n的前 n 项和公式列出方程组,求出首项和公比,由此能 求出 由数列b n满足 bnbn+1=an,b 1=1,推导出 ,由此能求出 bn ()由等比数列性质能求出数列b n的前 2n 项和
26、 【解答】解:()设等比数列a n的公比为 q, 正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn,且 S2=6,S 4=30,n N*, 由题意得: , 解得 a1=2,q=2, 数列b n满足 bnbn+1=an,b 1=1, 当 n2 时,b nbn+1=2n,b n1bn=2n1, ,n2, 又 b1=1, =2, b 1,b 3,b 2n1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, b2,b 4,b 2n 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 第 16 页(共 21 页) ()由()知数列b n的前 2n 项和为: = = 19如图,是一曲边三角形地块,其中曲边 AB 是以 A 为顶点,AC
27、 为对称轴的抛物线的 一部分,点 B 到 AC 边的距离为 2Km,另外两边 AC、BC 的长度分别为 8Km,2 Km现欲在此地块内建一形状为直角梯形 DECF 的科技园区求科技园区面积 的最大值 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;待定系数法求直线方程;抛物线的简单性 质 【分析】以 AC 所在的直线为 y 轴,A 为坐标原点建立平面直角坐标系,求出曲边 AB 所 在的抛物线方程;设出点 D 为(x,x 2) ,表示出|DF |、|DE|与|CF|的长,求出直角梯形 CEDF 的面积表达式,利用导数求出它的最大值即可 【解答】解:以 AC 所在的直线为 y 轴,A 为坐标原点, 建立
28、平面直角坐标系 xOy,如图所示; 则 A(0,0) ,C(0,8) , 设曲边 AB 所在的抛物线方程为 y=ax2(a0) , 则点 B(2,4a ) , 又|BC|= =2 , 解得 a=1 或 a=3(此时 4a=128,不合题意,舍去) ; 抛物线方程为 y=x2,x0 ,2; 设点 D(x,x 2) ,则 F(0,x 2) , 直线 BC 的方程为:2x+y8=0, 第 17 页(共 21 页) E(x,8 2x) , |DF|=x,|DE|=82x x2,|CF|=8x 2, 直角梯形 CEDF 的面积为: S(x)= x(82x x2)+(8 x2)= x3x2+8x,x(0,
29、2) , 求导得 S(x)= 3x22x+8, 令 S(x )=0 ,解得 x= 或 x=2(不合题意,舍去) ; 当 x(0, )时,S(x)单调递增, x( ,2)时,S(x)单调递减, x= 时,S(x)取得最大值是 S( )= ( ) 3 +8 = ; 科技园区面积 S 的最大值为 20已知椭圆 C: 的右顶点 A(2,0) ,且过点 ()求椭圆 C 的方程; ()过点 B(1,0)且斜率为 k1(k 10)的直线 l 于椭圆 C 相交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别交直线 x=3 于 M,N 两点,线段 MN 的中点为 P,记直线 PB 的斜率为 k2, 求证:k 1k2 为
30、定值 【考点】椭圆的简单性质 第 18 页(共 21 页) 【分析】 ()由题意可得 a=2,代入点 ,解方程可得椭圆方程; ()设过点 B(1,0)的直线 l 方程为:y=k(x1) ,由 ,可得 (4k 12+1)x 28k12x+4k124=0,由已知条件利用韦达定理推导出直线 PB 的斜率 k2= , 由此能证明 kk为定值 【解答】解:()由题意可得 a=2, + =1, a2b2=c2, 解得 b=1, 即有椭圆方程为 +y2=1; ()证明:设过点 B(1, 0)的直线 l 方程为:y=k 1( x1) , 由 , 可得:(4k 12+1)x 28k12x+4k124=0, 因为
31、点 B(1,0)在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, 即0 恒成立 设点 E(x 1,y 1) ,F(x 2,y 2) , 则 x1+x2= ,x 1x2= 因为直线 AE 的方程为:y= (x 2) , 直线 AF 的方程为:y= (x2) , 令 x=3,得 M( 3, ) ,N(3, ) , 所以点 P 的坐标(3, ( + ) ) 第 19 页(共 21 页) 直线 PB 的斜率为 k2= = ( + ) = = = = 所以 k1k2 为定值 21已知函数 f(x)=lnx+ax(aR)在点(1,f(1) )处切线方程为 y=2x1 (I)求 a 的值 ()若 k2,证明:当 x1
32、 时, ()若 k2 且 kz, 对任意实数 x1 恒成立,求 k 的最大 值 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 (I)求出导数,求得切线的斜率,解方程可得 a=1; ()运用分析法证明,即证 lnxk(1 )1,即 xlnx+xk(x3)0,x1令 g(x) =xlnx+xk(x 3) ,求出导数,判断单调性,即可得证; ()求得 g(x)在 x1 时取得最小值 g(e k2)=3k ek2,由题意可得 3kek20(k2) 恒成立,令 h(x)=3x ex2,求出导数,求得单调区间,可得最大值,计算 h(2) , h(2+ln3) ,h(4)
33、,h(5)的符号,即可得到所求 k 的最大值 【解答】解:(I)函数 f(x)=lnx +ax 的导数为 f(x)= +a, 由题意可得切线的斜率为 2,即 f(1)=2, 即有 1+a=2,解得 a=1; ()证明:由题意可得要证当 x1 时, , 即证 lnxk(1 ) 1,即 xlnx+xk(x3)0,x1 令 g(x)=xlnx +xk(x3) ,g(x)=2+lnx k, 第 20 页(共 21 页) 由 k2, x1,可得 2k0,lnx0,即有 g(x)0, 则 g(x)在 x1 递增,即有 g(x)g(1)=1+2k0, 则当 x1 时, ; ()若 k2,lnx+2k0,可得
34、 xe k2;lnx+2k0,可得 1xe k2 即有 g(x)在(e k2,+)递增,在(1,e k2)递减, 可得 g(x)在 x1 时取得最小值 g(e k2)=3k ek2, 由题意可得 3kek20(k2)恒成立, 令 h(x)=3x ex2,h (x)=3e x2, 可得 x2+ln3,h(x)0, h(x)递减;x2+ln3,h( x)0,h(x)递增 则 h(x)在 x=2+ln3 处取得最大值, 由 1ln32,可得 32+ln34,h(2)=60,h(2+ln3)=3+3ln30,h(4) =12e20, h(5)=15 e30,则 k4,即有 k 的最大值为 4 第 21 页(共 21 页) 2016 年 9 月 5 日