1、第 1 页（共 21 页） 2015-2016 学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1设全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=1，2，3，5，B= 2，4，6，则图中 的阴影部分表示的集合为（ ） A2 B4，6 C1 ，3，5 D4，6，7，8 2设a n是公差为正数的等差数列，若 a1+a3=10，a 1a3=16，则 a12 等于（ ） A25 B30 C35 D40 3已知 p：0a4，q：函数 y=x2ax+a 的值恒为正，则 p 是 q
2、的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4下列命题错误的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，=l，那么 l平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 5一元二次不等式x 2+4x+120 的解集为（ ） A （，2） B （ 1，5） C （6，+） D （2，6） 6函数 f（x）=2x 6+lnx 的零点所在的区间（ ） A （1，2） B （3，4） C （2，3） D （4，5） 7已知点 F1、F
3、2 分别是椭圆 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 交于 M、N 两点，若M NF 2 为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率 e 为（ ） A B C D 8设 f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f（x）的图象可能是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 9已知函数 ，其图象与直线 y=2 相邻两个 交点的距离为 若 f（x）1 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是 （ ） A B C D 10已知函数 f（x）= ，若 ab，f （a）=f（b） ，则实数 a2b 的取值范 围为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5
4、分，共 25 分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11若 tan= ，则 = 12直线 ax+y+1=0 被圆 x2+y22ax+a=0 截得的弦长为 2，则实数 a 的值是 13如果实数 x，y 满足条件 ，则 z=x+y 的最小值为 14方程 x21=ln|x|恰有 4 个互不相等的实数根 x1，x 2， x3，x 4，则 x1+x2+x3+x4= 15某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 第 3 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共有 6 小题，满分 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16ABC 的内角 A、B 、C 所对的边 a、b、c
5、，且 asinB bcosA=0 （）求角 A （）若 a=6，b+c=8，求ABC 的面积 17如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形， EFAD ，FA面 ABCD，AB=AF=EF=1 ，AD=2，AC 交 BD 于点 P （）证明：PF面 ECD； （）证明：AE面 ECD 18已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S2=6，S 4=30，n N*，数列b n满足 bnbn+1=an，b 1=1 （I）求 an，b n； （）求数列b n的前 2n 项和 T2n 19如图，是一曲边三角形地块，其中曲边 AB 是以 A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的 一部
6、分，点 B 到 AC 边的距离为 2Km，另外两边 AC、BC 的长度分别为 8Km，2 Km现欲在此地块内建一形状为直角梯形 DECF 的科技园区求科技园区面积 的最大值 第 4 页（共 21 页） 20已知椭圆 C： 的右顶点 A（2，0） ，且过点 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 B（1，0）且斜率为 k1（k 10）的直线 l 于椭圆 C 相交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别交直线 x=3 于 M，N 两点，线段 MN 的中点为 P，记直线 PB 的斜率为 k2， 求证：k 1k2 为定值 21已知函数 f（x）=lnx+ax（aR）在点（1，f（1） ）处切线方程为 y=
7、2x1 （I）求 a 的值 （）若 k2，证明：当 x1 时， （）若 k2 且 kz， 对任意实数 x1 恒成立，求 k 的最大 值 第 5 页（共 21 页） 2015-2016 学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷 （文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1设全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=1，2，3，5，B= 2，4，6，则图中 的阴影部分表示的集合为（ ） A2 B4，6 C1 ，3，5 D4，6，7，8 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算 【分析
8、】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C UA）B，根据集合的运算求解即可 【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=1，2，3，5，B= 2，4，6， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C UA） B， C UA=4，6，7，8， （C UA）B=4，6 故选 B 2设a n是公差为正数的等差数列，若 a1+a3=10，a 1a3=16，则 a12 等于（ ） A25 B30 C35 D40 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由已知得 a1a 3，且 a1，a 3 是方程 x210x+16=0 的两个根，解方程 x210x+16=0， 得 a1=2，a 3=8，由此求出
9、公差，从而能求出 a12 【解答】解：a n是公差为正数的等差数列，a 1+a3=10，a 1a3=16， a 1a 3，且 a1，a 3 是方程 x210x+16=0 的两个根， 解方程 x210x+16=0，得 a1=2，a 3=8， 2+2d=8，解得 d=3， a 12=a1+11d=2+113=35 故选：C 3已知 p：0a4，q：函数 y=x2ax+a 的值恒为正，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 6 页（共 21 页） C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定
10、义进行判断即可 【解答】解：若函数 y=x2ax+a 的值恒为正， 即 x2ax+a0 恒成立， 则判别式=a 24a0，则 0a4， 则 p 是 q 的充要条件， 故选：C 4下列命题错误的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，=l，那么 l平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 【考点】平面与平面之间的位置关系 【分析】命题 A，B 可以通过作图说明；命题 C 可以直接进行证明；命题 D 可以运用反证 法的思维方式说明是正确的 【解答】解：A、
11、如图，平面 平面 ，=l ，l ， l 不垂直于平面 ，所以不正确； B、如 A 中的图，平面 平面 ，=l，a ，若 al ，则 a，所以正确； C、如图， 设 =a，=b ，在 内直线 a、b 外任取一点 O，作 OAa，交点为 A，因为平面 平面 ， 所以 OA，所以 OAl，作 OBb，交点为 B，因为平面 平面 ，所以 OB，所 以 OBl，又 OAOB=O， 所以 l所以正确 D、若平面 内存在直线垂直于平面 ，根据面面垂直的判定，则有平面 垂直于平面 ， 与平面 不垂直于平面 矛盾，所以，如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不 存在直线垂直于平面 ，正确； 第 7 页（共
12、21 页） 故选：A 5一元二次不等式x 2+4x+120 的解集为（ ） A （，2） B （ 1，5） C （6，+） D （2，6） 【考点】一元二次不等式的解法 【分析】把原不等式化为（x+2） （x6）0，求出不等式对应方程的实数根，即可写出不 等式的解集 【解答】解：不等式x 2+4x+120 可化为 x24x120， 即（x+2） （x6 ）0； 该不等式对应方程的两个实数根为2 和 6， 所以该不等式的解集为（2， 6） 故选：D 6函数 f（x）=2x 6+lnx 的零点所在的区间（ ） A （1，2） B （3，4） C （2，3） D （4，5） 【考点】函数零点的判定定
13、理 【分析】据函数零点的判定定理，判断 f（1） ，f （2） ，f（3） ，f（4）的符号，即可求得结 论 【解答】解：f（1）=2 60， f（2）=4+ln260， f（3）=6+ln360， f（4）=8+ln460， f（2）f （3）0， m 的所在区间为（2，3） 故选：C 7已知点 F1、F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 交于 M、N 两点，若M NF 2 为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率 e 为（ ） A B C D 第 8 页（共 21 页） 【考点】椭圆的简单性质 【分析】把 x=c 代入椭圆 ，解得 y= 由于 MNF 2 为等
14、腰直角三角形， 可得 =2c，由离心率公式化简整理即可得出 【解答】解：把 x=c 代入椭圆方程 ， 解得 y= ， MNF 2 为等腰直角三角形， =2c，即 a2c2=2ac， 由 e= ，化为 e2+2e1=0，0e1 解得 e=1+ 故选 C 8设 f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f（x）的图象可能是（ ） A B C D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】由 f（x）的图象可得在 y 轴的左侧，图象下降，f （x）递减，y 轴的右侧，图象 先下降再上升，最后下降，即有 y 轴左侧导数小于 0，右侧导数先小于 0，再大于 0，最后 小于 0，对照选项，即可判断
15、 【解答】解：由 f（x）的图象可得，在 y 轴的左侧，图象下降，f （x）递减， 即有导数小于 0，可排除 C， D； 第 9 页（共 21 页） 再由 y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数 f（x）递减，再递增，后递减， 即有导数先小于 0，再大于 0，最后小于 0， 可排除 A； 则 B 正确 故选：B 9已知函数 ，其图象与直线 y=2 相邻两个 交点的距离为 若 f（x）1 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是 （ ） A B C D 【考点】正弦函数的图象 【分析】根据条件先求出函数的周期，计算出 的值，根据不等式恒成立，结合三角函数 的解法求出不等式的解即可得到结论
16、【解答】解：函数 ，其图象与直线 y=2 相 邻两个交点的距离为 函数的周期 T=，即 =，即 =2， 则 f（x）=2sin（2x+ ） ，若 f（x）1 则 2sin（2x+）1， 则 sin（2x+） ， 若 f（x）1 对于任意的 恒成立， 故有 +2k+ +，且 +2k+ ，求得 2k + ，且 2k + ，kZ， 故 的取值范围是 2k+ ，2k+ ，k Z， | ， 当 k=0 时， 的取值范围是 ， ， 故选：B 10已知函数 f（x）= ，若 ab，f （a）=f（b） ，则实数 a2b 的取值范 围为（ ） 第 10 页（共 21 页） A B C D 【考点】函数的值 【
17、分析】由已知得 a1，a 2b=aea1，再由函数 y=ex+a1， （x1）单调递减，能求出实数 a2b 的范围 【解答】解：函数 f（x）= ，a b， f（a）=f（b） ，a1， f（a） =ea，f（b）=2b1，且 f（a）=f（b） ， e a=2b1，得 b= ， a2b=a ea1， 又函数 y=ex+a1（x1）为单调递减函数， a2bf （1）= e1= ， 实数 a2b 的范围是（， ） 故选：B 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11若 tan= ，则 = 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【分析】利用同
18、角三角函数关系式求出 sin 和 cos，再由 = ，能求出结果 【解答】解：tan= ， sin= ，cos ，或 ，cos ， = sin2 = 第 11 页（共 21 页） = = 故答案为： 12直线 ax+y+1=0 被圆 x2+y22ax+a=0 截得的弦长为 2，则实数 a 的值是 2 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解 【解答】解：圆 x2+y22ax+a=0 可化为（xa） 2+y2=a2a 圆心为：（a，0） ，半径为： 圆心到直线的距离为：d= = 直线 ax+y+1=0 被圆 x2+y22ax+a=0
19、截得的弦长为 2， a 2+1+1=a2a， a=2 故答案为：2 13如果实数 x，y 满足条件 ，则 z=x+y 的最小值为 【考点】简单线性规划 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解， 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 第 12 页（共 21 页） 联立 ，解得 A（ ） ， 化目标函数 z=x+y 为 y=x+z， 由图可知，当直线 y=x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 故答案为： 14方程 x21=ln|x|恰有 4 个互不相等的实数根 x1，x 2， x3
20、，x 4，则 x1+x2+x3+x4= 0 【考点】根的存在性及根的个数判断 【分析】根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，判断函数的奇偶性，利 用奇偶性的对称性的性质进行求解即可 【解答】解：设 f（x）=x 21，g（x）=ln|x|， 则函数 f（x）与 g（x）都是偶函数， 若方程 x21=ln|x|恰有 4 个互不相等的实数根 x1，x 2，x 3，x 4， 则这 4 个根，两两关于 y 轴对称， 则 x1+x2+x3+x4=0， 故答案为：0 15某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 第 13 页（共 21 页） 【考点】由三视图求面积、体积
21、【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底 面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，把数据代入 圆锥的体积公式计算 【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为 120， 又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2， 几何体的体积 V= 224= 故答案为： 三、解答题：本大题共有 6 小题，满分 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16ABC 的内角 A、B 、C 所对的边 a、b、c ，且 asinB bcosA=0 （）求角 A （）若 a=6，b+c=8，求A
22、BC 的面积 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】 （I）由 asinB bcosA=0，利用正弦定理可得 sinAsinB sinBcosA=0，化为 tanA= ，进而得出 （II）由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA，变形 62=（b+c） 22bc2bccos ，解得 bc 即可 得出 【解答】解：（I）asinB bcosA=0， sinAsinB sinBcosA=0， B（0，） ，sinB0，tanA= ， 第 14 页（共 21 页） 又 A（0，） ，A= （II）由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA， 6 2=（b+c） 22bc2bccos ，
23、8 23bc=62，化为 bc= ， S ABC= = = 17如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形， EFAD ，FA面 ABCD，AB=AF=EF=1 ，AD=2，AC 交 BD 于点 P （）证明：PF面 ECD； （）证明：AE面 ECD 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质 【分析】 （）取 CD 中点 G，连结 EG，PG，推导出四边形 EFPG 为平行四边形，由此能 证明 FP平面 ECD （）取 AD 中点 M，连结 EM，MC，推导出四边形 EFAM 为平行四边形，从而 EMFA，进而 EM平面 ABCD，CD平面 EFAD，由此能证明 AE
24、平面 ECD 【解答】证明：（）取 CD 中点 G，连结 EG，PG， 点 P 为矩形 ABCD 对角线交点， 在ACD 中，PG ， 又 EF=1，AD=2，EFAD， EF PG，四边形 EFPG 为平行四边形， FPEG ， 又 FP平面 ECD，EG 平面 ECD， FP平面 ECD （）取 AD 中点 M，连结 EM，MC，EF=AM=1，EF ， 四边形 EFAM 为平行四边形，EMFA， 又 FA平面 ABCD，EM平面 ABCD， 又 MC2=MD2+CD2=2，EM 2=1， EC 2=MC2+EM2=3， 又 AE2=2，AC 2=AB2+BC2=1+4=5， 第 15 页
25、（共 21 页） AC 2=AE2+EC2，AEEC ， 又 CDAD，CD平面 EFAD， CDAE，又 ECED=D， AE平面 ECD 18已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S2=6，S 4=30，n N*，数列b n满足 bnbn+1=an，b 1=1 （I）求 an，b n； （）求数列b n的前 2n 项和 T2n 【考点】数列的求和；数列递推式 【分析】 （）由正项等比数列a n的前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能 求出 由数列b n满足 bnbn+1=an，b 1=1，推导出 ，由此能求出 bn （）由等比数列性质能求出数列b n的前 2n 项和
26、 【解答】解：（）设等比数列a n的公比为 q， 正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S2=6，S 4=30，n N*， 由题意得： ， 解得 a1=2，q=2， 数列b n满足 bnbn+1=an，b 1=1， 当 n2 时，b nbn+1=2n，b n1bn=2n1， ，n2， 又 b1=1， =2， b 1，b 3，b 2n1 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， b2，b 4，b 2n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 第 16 页（共 21 页） （）由（）知数列b n的前 2n 项和为： = = 19如图，是一曲边三角形地块，其中曲边 AB 是以 A 为顶点，AC
27、 为对称轴的抛物线的 一部分，点 B 到 AC 边的距离为 2Km，另外两边 AC、BC 的长度分别为 8Km，2 Km现欲在此地块内建一形状为直角梯形 DECF 的科技园区求科技园区面积 的最大值 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；待定系数法求直线方程；抛物线的简单性 质 【分析】以 AC 所在的直线为 y 轴，A 为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边 AB 所 在的抛物线方程；设出点 D 为（x，x 2） ，表示出|DF |、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形 CEDF 的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可 【解答】解：以 AC 所在的直线为 y 轴，A 为坐标原点， 建立
28、平面直角坐标系 xOy，如图所示； 则 A（0，0） ，C（0，8） ， 设曲边 AB 所在的抛物线方程为 y=ax2（a0） ， 则点 B（2，4a ） ， 又|BC|= =2 ， 解得 a=1 或 a=3（此时 4a=128，不合题意，舍去） ； 抛物线方程为 y=x2，x0 ，2； 设点 D（x，x 2） ，则 F（0，x 2） ， 直线 BC 的方程为：2x+y8=0， 第 17 页（共 21 页） E（x，8 2x） ， |DF|=x，|DE|=82x x2，|CF|=8x 2， 直角梯形 CEDF 的面积为： S（x）= x（82x x2）+（8 x2）= x3x2+8x，x（0，
29、2） ， 求导得 S（x）= 3x22x+8， 令 S（x ）=0 ，解得 x= 或 x=2（不合题意，舍去） ； 当 x（0， ）时，S（x）单调递增， x（ ，2）时，S（x）单调递减， x= 时，S（x）取得最大值是 S（ ）= （ ） 3 +8 = ； 科技园区面积 S 的最大值为 20已知椭圆 C： 的右顶点 A（2，0） ，且过点 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 B（1，0）且斜率为 k1（k 10）的直线 l 于椭圆 C 相交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别交直线 x=3 于 M，N 两点，线段 MN 的中点为 P，记直线 PB 的斜率为 k2， 求证：k 1k2 为
30、定值 【考点】椭圆的简单性质 第 18 页（共 21 页） 【分析】 （）由题意可得 a=2，代入点 ，解方程可得椭圆方程； （）设过点 B（1，0）的直线 l 方程为：y=k（x1） ，由 ，可得 （4k 12+1）x 28k12x+4k124=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线 PB 的斜率 k2= ， 由此能证明 kk为定值 【解答】解：（）由题意可得 a=2， + =1， a2b2=c2， 解得 b=1， 即有椭圆方程为 +y2=1； （）证明：设过点 B（1， 0）的直线 l 方程为：y=k 1（ x1） ， 由 ， 可得：（4k 12+1）x 28k12x+4k124=0， 因为
31、点 B（1，0）在椭圆内，所以直线 l 和椭圆都相交， 即0 恒成立 设点 E（x 1，y 1） ，F（x 2，y 2） ， 则 x1+x2= ，x 1x2= 因为直线 AE 的方程为：y= （x 2） ， 直线 AF 的方程为：y= （x2） ， 令 x=3，得 M（ 3， ） ，N（3， ） ， 所以点 P 的坐标（3， （ + ） ） 第 19 页（共 21 页） 直线 PB 的斜率为 k2= = （ + ） = = = = 所以 k1k2 为定值 21已知函数 f（x）=lnx+ax（aR）在点（1，f（1） ）处切线方程为 y=2x1 （I）求 a 的值 （）若 k2，证明：当 x1
32、 时， （）若 k2 且 kz， 对任意实数 x1 恒成立，求 k 的最大 值 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （I）求出导数，求得切线的斜率，解方程可得 a=1； （）运用分析法证明，即证 lnxk（1 ）1，即 xlnx+xk（x3）0，x1令 g（x） =xlnx+xk（x 3） ，求出导数，判断单调性，即可得证； （）求得 g（x）在 x1 时取得最小值 g（e k2）=3k ek2，由题意可得 3kek20（k2） 恒成立，令 h（x）=3x ex2，求出导数，求得单调区间，可得最大值，计算 h（2） ， h（2+ln3） ，h（4）
33、，h（5）的符号，即可得到所求 k 的最大值 【解答】解：（I）函数 f（x）=lnx +ax 的导数为 f（x）= +a， 由题意可得切线的斜率为 2，即 f（1）=2， 即有 1+a=2，解得 a=1； （）证明：由题意可得要证当 x1 时， ， 即证 lnxk（1 ） 1，即 xlnx+xk（x3）0，x1 令 g（x）=xlnx +xk（x3） ，g（x）=2+lnx k， 第 20 页（共 21 页） 由 k2， x1，可得 2k0，lnx0，即有 g（x）0， 则 g（x）在 x1 递增，即有 g（x）g（1）=1+2k0， 则当 x1 时， ； （）若 k2，lnx+2k0，可得
34、 xe k2；lnx+2k0，可得 1xe k2 即有 g（x）在（e k2，+）递增，在（1，e k2）递减， 可得 g（x）在 x1 时取得最小值 g（e k2）=3k ek2， 由题意可得 3kek20（k2）恒成立， 令 h（x）=3x ex2，h （x）=3e x2， 可得 x2+ln3，h（x）0， h（x）递减；x2+ln3，h（ x）0，h（x）递增 则 h（x）在 x=2+ln3 处取得最大值， 由 1ln32，可得 32+ln34，h（2）=60，h（2+ln3）=3+3ln30，h（4） =12e20， h（5）=15 e30，则 k4，即有 k 的最大值为 4 第 21 页（共 21 页） 2016 年 9 月 5 日
