1、第 1 页（共 21 页） 2015-2016 学年广东省汕头市潮南区两英镇九年级（上）期末数 学试卷（B 卷） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1必然事件的概率是（ ） A1 B0 C0.5 D1 2如图，ABCD 为正方形，O 为对角线 AC、BD 的交点，则COD 绕点 O 经过下列哪种 旋转可以得到DOA（ ） A顺时针旋转 90 B顺时针旋转 45 C逆时针旋转 90 D逆时针旋转 45 3一元二次方程 x2+px2=0 的一个根为 2，则 p 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 4如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB 的长为
2、（ ） A2 B4 C6 D8 5在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通 过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有（ ） A15 个 B20 个 C30 个 D35 个 6若抛物线 y=x22x+c 与 y 轴的交点为（0，3） ，则下列说法不正确的是（ ） A抛物线开口向上 B抛物线的对称轴是 x=1 C当 x=1 时，y 的最大值为4 D抛物线与 x 轴的交点为（ 1，0） ， （3，0） 第 2 页（共 21 页） 7关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
3、 Ak1 Bk1 Ck0 Dk1 且 k0 8若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为（ ） A B2 2 C2 D 2 9如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ） A1x5 Bx5 Cx1 且 x5 Dx1 或 x5 10如图，扇形 AOB 中，半径 OA=2， AOB=120，C 是 的中点，连接 AC、BC，则 图中阴影部分面积是（ ） A 2 B 2 C D 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11若抛物线 y=（x+m） 2+n+1 的顶点为（2，5） ，则 m= ，n= 12如图所示，ABC
4、绕点 A 逆时针旋转某一角度得到ADE，若1= 2=3=20，则旋转 角为 度 第 3 页（共 21 页） 13已知关于 x 的方程 x2+（1m ）x+ =0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值 是 14有两辆车按 1，2 编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车则两个人同坐 2 号车的概 率为 15如图，AB 是 O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若B=25，则 C 的大小等于 16在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b=a22ab+b 2，根据这个规则求方程 （x4）*1=0 的解为 三、解答题（一） （每小题 6 分，共 18 分） 17解方程：3
5、x（x2）=2（2x） 18正方形 ABCD 在坐标系中的位置如图所示 （1）点 B 关于原点中心对称的点的坐标是 （2）画出正方形 ABCD 绕点 D 点顺时针方向旋转 90后的图形 19有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘 A、B，游戏规定，转动两个转盘各一 次，指向大的数字获胜现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？ 第 4 页（共 21 页） 四、解答题（二） （每小题 7 分，共 21 分） 20某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2
6、）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元 21如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部 3m 时，水面宽 AB 为 6m，当水位上升 0.5m 时： （1）求水面的宽度 CD 为多少米？ （2）当水面的宽度到 CD 时，有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮 阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若游船宽（指船的最大宽度）为 2m，从水面到 棚顶的高度为 1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ 22如图，已知 RtABC 中， ABC=90，先把 ABC 绕点 B 顺时针旋转 90至DBE 后， 再把ABC 沿射线平移至FEG ，
7、DE 、FG 相交于点 H （1）判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由； （2）连结 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形 五、解答题（三） （每小题 9 分，共 27 分） 23已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（a c）=0，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 24如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且 PDA=PBD （1）判断直线
8、PD 是否为O 的切线，并说明理由； （2）如果BDE=60，PD= ，求 PA 的长 第 5 页（共 21 页） 25如图，抛物线 y=x2bx5 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交 于点 C，点 C 与点 F 关于抛物线的对称轴对称，直线 AF 交 y 轴于点 E，|OC| ：|OA|=5 ：1 （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 AF 的解析式； （3）在直线 AF 上是否存在点 P，使CFP 是直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不 存在，说明理由 第 6 页（共 21 页） 2015-2016 学年广东省汕头市潮南区两英镇九年级（上） 期
9、末数学试卷（ B 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1必然事件的概率是（ ） A1 B0 C0.5 D1 【考点】概率的意义 【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件即可解答 【解答】解：必然事件就是一定发生的事件 必然事件发生的概率是 1 故选 D 【点评】本题主要考查随机事件的意义；事件分为确定事件和不确定事件（随机事件） ，确 定事件又分为必然事件和不可能事件，其中： 必然事件发生的概率为 1，即 P（必然事件）=1； 不可能事件发生的概率为 0，即 P（不可能事件）=0； 如果 A 为不确定事件（随机事件） ，那么 0P（A
10、 ）1 2如图，ABCD 为正方形，O 为对角线 AC、BD 的交点，则COD 绕点 O 经过下列哪种 旋转可以得到DOA（ ） A顺时针旋转 90 B顺时针旋转 45 C逆时针旋转 90 D逆时针旋转 45 【考点】旋转的性质 【专题】几何图形问题 【分析】因为四边形 ABCD 为正方形，所以COD= DOA=90，OC=OD=OA，则COD 绕点 O 逆时针旋转得到DOA，旋转角为COD 或DOA，据此可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， COD=DOA=90，OC=OD=OA， COD 绕点 O 逆时针旋转得到 DOA，旋转角为 COD 或 DOA， 故选：C 【点评】本题
11、考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角 3一元二次方程 x2+px2=0 的一个根为 2，则 p 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 第 7 页（共 21 页） 【考点】一元二次方程的解 【专题】待定系数法 【分析】把 x=2 代入已知方程，列出关于 p 的一元一次方程，通过解该方程来求 p 的值 【解答】解：一元二次方程 x2+px2=0 的一个根为 2， 22+2p2=0 ， 解得 p=1 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数 的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所 以，一元二次方程的
12、解也称为一元二次方程的根 4如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB 的长为（ ） A2 B4 C6 D8 【考点】垂径定理；勾股定理 【专题】计算题 【分析】根据 CE=2，DE=8 ，得出半径为 5，在直角三角形 OBE 中，由勾股定理得 BE， 根据垂径定理得出 AB 的长 【解答】解：CE=2，DE=8， OB=5， OE=3， ABCD， 在 OBE 中，得 BE=4， AB=2BE=8 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握 5在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通 过
13、多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有（ ） A15 个 B20 个 C30 个 D35 个 【考点】利用频率估计概率 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可 以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解 【解答】解：设袋中有黄球 x 个，由题意得 =0.3， 解得 x=15，则白球可能有 5015=35 个 故选 D 第 8 页（共 21 页） 【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是利用黄球的概率 公式列方程求解得到黄球的个数 6若抛物线 y=x22x+c 与 y 轴的交点为（0，3） ，则下列说
14、法不正确的是（ ） A抛物线开口向上 B抛物线的对称轴是 x=1 C当 x=1 时，y 的最大值为4 D抛物线与 x 轴的交点为（ 1，0） ， （3，0） 【考点】二次函数的性质 【分析】A 根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向 B 利用 x= 可以求出抛物线的对称轴 C 利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值 D 当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交点坐标 【解答】解：抛物线过点（0，3） ， 抛物线的解析式为：y=x 2 2x3 A、抛物线的二次项系数为 10，抛物线的开口向上，正确 B、根据抛物线的对称轴 x= = =1，正确 C、由 A 知抛物线的开
15、口向上，二次函数有最小值，当 x=1 时，y 的最小值为4，而不是 最大值故本选项错误 D、当 y=0 时，有 x22x3=0，解得：x 1=1，x 2=3，抛物线与 x 轴的交点坐标为 （1，0） ， （3，0） 正确 故选 C 【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据 a 的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点 坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当 y=0 时求出 抛物线与 x 轴的交点坐标 7关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck0 Dk1 且 k0 【考点】根的判别式 【分析】方
16、程有两个不相等的实数根，则0，由此建立关于 k 的不等式，然后可以求出 k 的取值范围 【解答】解：由题意知 k0， =4+4k0 解得 k1 且 k0 故选 D 【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 2、一元二次方程的二次项系数不为 0 8若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为（ ） 第 9 页（共 21 页） A B2 2 C2 D 2 【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心 【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由
17、此可求得等腰直角三角形的斜边 长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的 长 【解答】解：等腰直角三角形外接圆半径为 2， 此直角三角形的斜边长为 4，两条直角边分别为 2 ， 它的内切圆半径为：R= （2 +2 4）=2 2 故选 B 【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意 直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r= （a+bc） ； （a、b 为直角边，c 为斜边）直角三角形的外接圆半径：R= c 9如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的
18、解集是（ ） A1x5 Bx5 Cx1 且 x5 Dx1 或 x5 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】先利用抛物线的对称性求出与 x 轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在 x 轴上 方部分的 x 的取值范围即可 【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线 x=2，与 x 轴的一个交点为（5，0） ， 所以，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） ， 所以，不等式 ax2+bx+c0 的解集是1x5 故选 A 【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性，准确识图并求出 抛物线与 x 轴的另一交点的坐标是解题的关键 10如图，扇形 AOB 中，半径 OA=2， AO
19、B=120，C 是 的中点，连接 AC、BC，则 图中阴影部分面积是（ ） 第 10 页（共 21 页） A 2 B 2 C D 【考点】扇形面积的计算 【专题】几何图形问题 【分析】连接 OC，分别求出AOC 、BOC、扇形 AOC，扇形 BOC 的面积，即可求出答 案 【解答】解：连接 OC，过 O 作 OMAC 于 M， AOB=120， C 为弧 AB 中点， AOC=BOC=60， OA=OC=OB=2， AOC、BOC 是等边三角形， AC=BC=OA=2，AM=1 ， AOC 的边 AC 上的高是 = ， BOC 边 BC 上的高为 ， 阴影部分的面积是 2 + 2 = 2 ，
20、故选：A 【点评】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理 的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积，题目比较好，难度适中 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11若抛物线 y=（x+m） 2+n+1 的顶点为（2，5） ，则 m= 2 ，n= 6 【考点】二次函数的性质 【分析】直接利用抛物线的顶点式，求得对应的顶点坐标，得出 m、n 的数值即可 【解答】解：抛物线 y=（x+m） 2+n+1 的顶点为（2，5） ， m=2，n+1= 5， 解得：m=2， n=6 故答案为：2，6 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若则其解析式
21、为 y=a（xh） 2+k，顶点坐标为（h，k） 12如图所示，ABC 绕点 A 逆时针旋转某一角度得到ADE，若1= 2=3=20，则旋转 角为 40 度 第 11 页（共 21 页） 【考点】旋转的性质 【专题】操作型 【分析】根据题意有1=2=3=20 ，分析可得1+2= BAD，代入数据可得其大小，由 旋转角的定义可得答案 【解答】解：1=2=3=20， 1+2=40=BAD，即旋转角是 40 度 【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对 对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点旋转中心； 旋转方向；旋转角度 13已知关于 x
22、 的方程 x2+（1m ）x+ =0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值 是 0 【考点】根的判别式 【专题】判别式法 【分析】根据判别式的意义得到=（1m ） 24 0，然后解不等式得到 m 的取值范 围，再在此范围内找出最大整数即可 【解答】解：根据题意得=（1m ） 24 0， 解得 m ， 所以 m 的最大整数值为 0 故答案为：0 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 14有两辆车按 1，2 编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车则两个
23、人同坐 2 号车的概 率为 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个人同坐 2 号车的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 第 12 页（共 21 页） 共有 4 种等可能的结果，两个人同坐 2 号车的只有 1 种情况， 两个人同坐 2 号车的概率为： 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 15如图，AB 是 O 的弦，AC 是
24、O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若B=25，则 C 的大小等于 40 【考点】切线的性质 【分析】连接 OA，根据切线的性质，即可求得C 的度数 【解答】解：如图，连接 OA， AC 是O 的切线， OAC=90， OA=OB， B=OAB=25， AOC=50， C=40 故答案为：40 【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是 连接圆心与切点 第 13 页（共 21 页） 16在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b=a22ab+b 2，根据这个规则求方程 （x4）*1=0 的解为 x 1=x2=5 【考点】解一元二次方程-直接开平方法
25、 【专题】新定义 【分析】根据新定义运算法则列出关于 x 的一元二次方程，然后利用直接开平方法解答 【解答】解：（x4）*1=（x4） 22（x4）+1=x 210x+25=0，即（x5） 2=0， 解得 x1=x2=5， 故答案是：x 1=x2=5 【点评】本题考查学生读题做题的能力正确理解这种运算的规则是解题的关键 三、解答题（一） （每小题 6 分，共 18 分） 17解方程：3x（x2）=2（2x） 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】因式分解 【分析】先移项，然后提取公因式（x2） ，对等式的左边进行因式分解 【解答】解：由原方程，得 （3x+2） （x2）=0 ， 所以 3
26、x+2=0 或 x2=0， 解得 x1= ， x2=2 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法因式分解法就是利用因式分解求出 方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 18正方形 ABCD 在坐标系中的位置如图所示 （1）点 B 关于原点中心对称的点的坐标是 （2，4） （2）画出正方形 ABCD 绕点 D 点顺时针方向旋转 90后的图形 【考点】作图-旋转变换 【分析】 （1）根据中心对称图形的概念求出点 B 的对称点； （2）分别作出点 A、B、C 绕点 D 点顺时针方向旋转 90后的点，然后顺次连接 【解答】解：（1）点 B 坐标为（ 2，4） ， 则点 B 关
27、于原点中心对称的点的坐标为（ 2，4） ； （2）所作图形如图所示： 第 14 页（共 21 页） 故答案为：（2，4） 【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构找出对应点的位 置，顺次连接 19有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘 A、B，游戏规定，转动两个转盘各一 次，指向大的数字获胜现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？ 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与 A 大于 B 的有 5 种情况，A 小于 B 的有 4 种情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：选择 A 转盘 画树状图得
28、： 共有 9 种等可能的结果，A 大于 B 的有 5 种情况，A 小于 B 的有 4 种情况， P（ A 大于 B）= ，P（A 小于 B）= ， 选择 A 转盘 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 四、解答题（二） （每小题 7 分，共 21 分） 20某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率
29、； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元 【考点】一元二次方程的应用 第 15 页（共 21 页） 【专题】增长率问题 【分析】 （1）一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，2014 年要投入教育经费是 2500（1+x）万元，在 2014 年的基础上再增长 x，就是 2015 年的教育经费数额，即可列出 方程求解 （2）利用（1）中求得的增长率来求 2016 年该地区将投入教育经费 【解答】解：设增长率为 x，根据题意 2014 年为 2500（1+x）万元，2015 年为 2500（1+x） 2 万元 则 2500（1+x） 2=302
30、5， 解得 x=0.1=10%，或 x=2.1（不合题意舍去） 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10% （2）3025（1+10%）=3327.5（万元） 故根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费 3327.5 万元 【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均增长率） 年数 =增长后的量 21如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部 3m 时，水面宽 AB 为 6m，当水位上升 0.5m 时： （1）求水面的宽度 CD 为多少米？ （2）当水面的宽度到 CD 时，有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮 阳棚，
31、此船正对着桥洞在上述河流中航行，若游船宽（指船的最大宽度）为 2m，从水面到 棚顶的高度为 1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题；二次函数图象及其性质 【分析】 （1）设抛物线形桥洞的函数解析式为 y=ax2+c，把 A 与 E 坐标代入求出 a 与 c 的 值，确定出抛物线解析式，令 y=0.5 求出 x 的值，即可确定出 CD 的长； （2）把 x=1 代入函数解析式求出 y 的值，由 y3 的值与 1.8 比较大小即可做出判断 【解答】解：（1）设抛物线形桥洞的函数解析式为 y=ax2+c， 把 A（3，0） ，E（0，3）代入得： ， 解得：
32、， y= x2+3， 由题意得：点 C 与 D 的纵坐标为 0.5， 第 16 页（共 21 页） x2+3=0.5， 解得：x 1= ，x 2= ， CD= + = （米） ， 则水面的宽度 CD 为 米； （2）当 x=1 时，y= ， 0.5 1.8， 这艘游船能从桥洞下通过 【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键 22如图，已知 RtABC 中， ABC=90，先把 ABC 绕点 B 顺时针旋转 90至DBE 后， 再把ABC 沿射线平移至FEG ，DE 、FG 相交于点 H （1）判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由； （2）连结 CG，
33、求证：四边形 CBEG 是正方形 【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质 【专题】几何图形问题 【分析】 （1）根据旋转和平移可得DEB= ACB，GFE=A，再根据 ABC=90可得 A+ACB=90，进而得到DEB+ GFE=90，从而得到 DE、FG 的位置关系是垂直； （2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形 CBEG 是正方形 【解答】 （1）解：FG ED理由如下： ABC 绕点 B 顺时针旋转 90至 DBE 后， DEB=ACB， 把 ABC 沿射线平移至FEG， GFE=A， ABC=90， A+ACB=90， DEB+GFE=9
34、0， FHE=90， FGED； （2）证明：根据旋转和平移可得GEF=90 ，CBE=90，CGEB，CB=BE， CGEB， 第 17 页（共 21 页） BCG=CBE=90， 四边形 BCGE 是矩形， CB=BE， 四边形 CBEG 是正方形 【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图 形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等 五、解答题（三） （每小题 9 分，共 27 分） 23已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（a c）=0，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方
35、程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 【考点】一元二次方程的应用 【专题】代数几何综合题 【分析】 （1）直接将 x=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断ABC 的 形状； （2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断ABC 的形状； （3）利用ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 【解答】解：（1）ABC 是等腰三角形； 理由：x=1 是方程的根， （ a+c）（ 1） 22b+（ac ）=0 ，
36、 a+c2b+a c=0 ， ab=0， a=b， ABC 是等腰三角形； （2）方程有两个相等的实数根， （ 2b） 24（a+c ） （a c ）=0 ， 4b24a 2+4c2=0， a2=b2+c2， ABC 是直角三角形； （3）当ABC 是等边三角形，（a+c）x 2+2bx+（a c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， x2+x=0， 解得：x 1=0，x 2=1 第 18 页（共 21 页） 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识， 正确由已知获取等量关系是解题关键 24如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且
37、 PDA=PBD （1）判断直线 PD 是否为O 的切线，并说明理由； （2）如果BDE=60，PD= ，求 PA 的长 【考点】切线的判定 【分析】 （1）要证是直线 PD 是为O 的切线，需证 PDO=90因为 AB 为直径，所以 ADO+ODB=90，由PDA=PBD=ODB 可得ODA+ PDA=90，即 PDO=90 （2）根据已知可证AOD 为等边三角形， P=30在 RtPOD 中运用三角函数可求解 【解答】解：（1）PD 是 O 的切线理由如下： AB 为直径， ADB=90， ADO+ODB=90 PDA=PBD=ODB， ODA+PDA=90即 PDO=90 PD 是 O
38、的切线 （2）BDE=60 ， ADB=90， PDA=1809060=30， 又 PD 为半圆的切线，所以PDO=90， ADO=60，又 OA=OD， ADO 为等边三角形， AOD=60 在 RtPOD 中，PD= ， OD=1，OP=2， PA=POOA=21=1 【点评】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等要证某线是 圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可 25如图，抛物线 y=x2bx5 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交 于点 C，点 C 与点 F 关于抛物线的对称轴对称，直线 AF 交
39、 y 轴于点 E，|OC| ：|OA|=5 ：1 第 19 页（共 21 页） （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 AF 的解析式； （3）在直线 AF 上是否存在点 P，使CFP 是直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不 存在，说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；压轴题 【分析】 （1）根据抛物线解析式求出 OC 的长度，再根据比例求出 OA 的长度，从而得到 点 A 的坐标，然后把点 A 的坐标代入抛物线解析式计算求出 b，即可得到抛物线解析式； （2）根据点 C、F 关于对称轴对称可得点 F 的纵坐标与点 C 的纵坐标相等，设出点 F 的坐 标为（x 0，5
40、） ，代入抛物线求出点 F 的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式 求解即可； （3）分点 P 与点 E 重合时， CFP 是直角三角形，CF 是斜边时，过 C 作 CPAF 于 点 P，然后根据点 C、E、F 的坐标求出 PC=PF，从而求出点 P 在抛物线对称轴上，再根据 抛物线的对称轴求解即可 【解答】解：（1）y=x 2bx 5， |OC|=5， |OC|：|OA|=5：1， |OA|=1， 即 A（1，0） ， 把 A（1，0）代入 y=x2bx5 得： （1） 2+b5=0， 解得 b=4， 抛物线的解析式为 y=x24x5； （2）点 C 与点 F 关于对称轴对称，C（0，
41、5） ，设 F（ x0，5） ， x024x 05=5， 解得 x0=0（舍去） ，或 x0=4， F（ 4，5） ， 对称轴为直线 x=2， 设直线 AF 的解析式为 y=kx+b， 把 F（4，5） ，A（1，0） ，代入 y=kx+b， 得 ， 第 20 页（共 21 页） 解得 ， 所以，直线 FA 的解析式为 y=x1； （3）存在 理由如下：当FCP=90 时，点 P 与点 E 重合， 点 E 是直线 y=x1 与 y 轴的交点， E（ 0，1） ， P（ 0，1） ， 当 CF 是斜边时，过点 C 作 CPAF 于点 P（x 1，x 11） ， ECF=90，E（0，1） ，C （0，5） ，F （4，5） ， CE=CF， EP=PF， CP=PF， 点 P 在抛物线的对称轴上， x1=2， 把 x1=2 代入 y=x1，得 y=3， P（ 2，3） ， 综上所述，直线 AF 上存在点 P（0，1）或（2，3）使CFP 是直角三角形 【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解，待 定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂 直平分线上的性质， （3）中要注意分 CF 是直角边与斜边两种情况讨论求解 第 21 页（共 21 页） 2016 年 2 月 4 日
