1、湖北省孝感市汉川市 2012-2013 学年九 年级（上）期末数学试卷 一、精心选一选（将唯一正确答案的代号填在题后的答题卡中 36 分） 1 （3 分）下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分） （2011 滨州）二次根式 有意义时，x 的取值范围是（ ） A x B x C x D x 3 （3 分）平面直角坐标系内一点 P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3，2 ） B （2，3） C （2 ， 3） D （2，3 ） 4 （3 分）已知O 1、 O2 的半径分别是 1cm、4cm，O 1O2= cm，则O 1 和O 2 的位 置关系是（ ） A 外离
2、 B 外切 C 内切 D 相交 5 （3 分） （2008 荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A B C D 6 （3 分） （2012 孝感）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A 通常水加热到 100时沸腾 B 测量孝感某天的最低气温，结果为150 C 一个袋中装有 5 个黑球，从中摸出一个是黑球 D 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 7 （3 分） （2003 新疆）已知：如图， ABC 内接于 O，AD 是O 的直径，ABC=30 ， 则CAD 等于（ ） A 30 B 40 C 50 D 60 8 （3 分）某公司今年产值 300 万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比
3、前一年增 长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了 1400 万元设这个百分数 为 x，则可列方程为（ ） A 300（1+x） 2=1400 B 300（1+x） 3=1400 C 1400（1x） 2=300 D 300+300（1+x）+300 （1+x） 2=1400 9 （3 分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是（ ） A 10m B 3m C 4m D 2m 或 10m 10 （3 分） （2010 临沂）如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60，此时点 B
4、 到了点 B，则图中阴影部分的面积是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 11 （3 分） （2009 十堰）同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为 8 的概率为（ ） A B C D 12 （3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： 因为 a0，所以函数 y 有最大值； 该函数的图象关于直线 x=1 对称； 当 x=2 时，函数 y 的值等于 0； 当 x=3 或 x=1 时，函数 y 的值都等于 0 其中正确结论的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 二、细心填一填（每小题
5、 3 分，共 18 分） 13 （3 分）计算： = _ 14 （3 分）白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟 了 10 条航线，则这个航空公司共有 _ 个飞机场 15 （3 分） （2010 红桥区模拟）已知点 A 的坐标为（a，b） ，O 为坐标原点，连接 OA， 将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 90得 OA1，则点 A1 的坐标为 _ 16 （3 分）如图，从 A 地到 C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中从 A 地 到 B 地有 2 条水路、2 条陆路，从 B 地到 C 地有 3 条陆路可供选择，则从 A 地到 C 地可 供选择的方案
6、有 _ 种 17 （3 分）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，AB=AD=4 ，BC=6，以点 A 为圆心 在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分） ，则由这个扇形围成的圆锥的底面半径 是 _ 18 （3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a 0） ，下列说法： 若 b24ac=0，则抛物线的顶点一定在 x 轴上； 若 ab+c=0，则抛物线必过点（1，0） ； 若 a0，且一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两根 x1，x 2（x 1x 2） ，则 ax2+bx+c0 的解集 为 x1xx 2； 若 ，则方程 ax2+bx+c=0 有一根为 3 其中
7、正确的是 _ （把正确说法的序号都填上） 三、用心做一做（本大题共 7 小题，满分 66 分） 19 （6 分）解下列方程： （1）x 22x1=0 （2） （x2） 2=2x4 20 （8 分）先化简，再求值： ，其中 ， 21 （10 分）如图，已知点 P 是边长为 5 的正方形 ABCD 内的一点，连结 PA，PB ，PC， 若 PA=2，PB=4， APB=135 （1）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90，画出 PCB 的位置 （2）求 PC 的长； 求PAB 旋转到PCB 的过程中边 PA 所扫过区域的面积 22 （10 分） （2011 湘潭）九年级某班组织班团活动，班委会准备买
8、一些奖品班长王倩 拿 15 元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔 2 元/支，笔记本 1 元/ 本， 且每样东西至少买一件 （1）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果； （2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率 23 （10 分） （2012 瑶海区一模）如图，在 ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 EFAC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F （1）求证：EF 是 O 的切线； （2）当 AB=5，BC=6 时，求 DE 的长 24 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+12k=0
9、有两个不等的实根， （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 取小于 1 的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根； （3）在（2）的条件下，二次函数 y=x24x+12k 与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点的左 侧） ，D 点在此抛物线的对称轴上，若 DAB=60，求 D 点的坐标 25 （12 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 2，0） 、B（4，0） 、C （0，4）三 点 （1）求此抛物线的解析式； （2）此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值； （3）若点 D（2，m）在此抛物线上，在 y 轴的正半轴上是否存在点 P，使得BDP
10、 是等腰 三角形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 2012-2013 学年湖北省孝感市汉川市九 年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选（将唯一正确答案的代号填在题后的答题卡中 123 分=36 分） 1 （3 分）下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 考点： 中心对称图形809681 分析： 根据中心对称图形的概念，即可求解 解答： 解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转 180后能和原来的图形重合，只有 D 符合； 其它不是中心对称图形 故选：D 点评： 本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转
11、 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 2 （3 分） （2011 滨州）二次根式 有意义时，x 的取值范围是（ ） A x B x C x D x 考点： 二次根式有意义的条件；解一元一次不等式809681 专题： 存在型 分析： 根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于 0，列出不等式，求出 x 的取值范围 即可 解答： 解： 二次根式 有意义， 1+2x0， 解得 x 故选 C 点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，比较简单 3 （3 分）平面直角坐标系内一点 P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3，2 ） B
12、（2，3） C （2 ， 3） D （2，3 ） 考点： 关于原点对称的点的坐标809681 专题： 常规题型；压轴题 分析： 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答 解答： 解：点 P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，3） 故选 D 点评： 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键 4 （3 分）已知O 1、 O2 的半径分别是 1cm、4cm，O 1O2= cm，则O 1 和O 2 的位 置关系是（ ） A 外离 B 外切 C 内切 D 相交 考点： 圆与圆的位置关系809681 分析： 由 O1 与 O2 的半径分别为 1cm、4cm，
13、且圆心距 O1O2= cm，根据两圆位置关 系与圆心距 d，两圆半径 R， r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系 解答： 解： O1 与O 2 的半径分别为 1cm、4cm，且圆心距 O1O2= cm， 又 1+4 41， 两圆的位置关系是相交 故选 D 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距 d，两圆半 径 R，r 的数量关系间的联系 5 （3 分） （2008 荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A B C D 考点： 最简二次根式809681 分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是 否同时满足，同时满足
14、的就是最简二次根式，否则就不是 解答： 解：A、 是最简二次根式； B、 = ，可化简； C、 = =2 ，可化简； D、 = =3 ，可化简； 故选 A 点评： 最简二次根式是本节的一个重要概念，也是中考的常考点最简二次根式应该是： 根式里没分母（或小数） ，分母里没根式被开方数中不含开得尽方的因数或因 式被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断 6 （3 分） （2012 孝感）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A 通常水加热到 100时沸腾 B 测量孝感某天的最低气温，结果为150 C 一个袋中装有 5 个黑球，从中摸出一个是黑球 D 篮球队员在罚球线上投篮一次，
15、未投中 考点： 随机事件809681 分析： 随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可求解 解答： 解：A、C 一定正确，是必然事件； B 是不可能事件， D、篮球队员在罚球线上投篮未中属于随机事件 故选 D 点评： 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的 概念关键是理解随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 7 （3 分） （2003 新疆）已知：如图， ABC 内接于 O，AD 是O 的直径，ABC=30 ， 则CAD 等于（ ） A 30 B 40 C 50 D 60 考点： 圆周角定理809681 分析： 根据圆周角定理可知B
16、= D=30，ACD=90，在 RtACD 中，已知了 D 的度数， 易求出CAD 的度数 解答： 解： AD 是O 的直径 ACD=90 由圆周角定理知，D= B=30 CAD=90D=60 故选 D 点评： 本题利用了圆周角定理、直角三角形的性质求解 8 （3 分）某公司今年产值 300 万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增 长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了 1400 万元设这个百分数 为 x，则可列方程为（ ） A 300（1+x） 2=1400 B 300（1+x） 3=1400 C 1400（1x） 2=300 D 300+300（1+x）+30
17、0 （1+x） 2=1400 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程809681 专题： 增长率问题 分析： 三年的总产值=今年的产值+ 明年的产值+ 后年的产值，要明确每一年的产值的表达 式根据此等量关系列方程求解即可 解答： 解：已设这个百分数为 x，则有 300+300（1+x）+300 （1+x） 2=1400 故选 D 点评： 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程和对增长率问题的掌握情况，理解题意后 以三年的总产量做等量关系可列出方程 9 （3 分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是（ ） A 10
18、m B 3m C 4m D 2m 或 10m 考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用809681 分析： 根据铅球落地时，高度 y=0，把实际问题可理解为当 y=0 时，求 x 的值即可 解答： 解：令函数式 y= （x4） 2+3 中，y=0， 0= （ x4） 2+3， 解得 x1=10，x 2=2（舍去） ， 即铅球推出的距离是 10m 故选：A 点评： 本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题 意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键 10 （3 分） （2010 临沂）如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60，此时点 B
19、到了点 B，则图中阴影部分的面积是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 考点： 扇形面积的计算809681 专题： 压轴题 分析： 从图中可以看出阴影部分的面积=扇形面积+半圆面积半圆面积，即等于扇形面积， 依扇形的面积公式计算即可 解答： 解：阴影部分面积= =6 故选 A 点评： 本题主要考查了扇形的面积公式即 S= 11 （3 分） （2009 十堰）同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为 8 的概率为（ ） A B C D 考点： 列表法与树状图法809681 专题： 压轴题 分析： 列举出所有情况，看两个骰子向上的
20、一面的点数和为 8 的情况占总情况的多少即 可 解答： 解：列表得： 两个骰子向上的一面的点数和为 8 的概率为 故选 B 点评： 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图 法适用于两步或两步以上完成的事件解题时还要注意是放回实验还是不放回实 验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 12 （3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： 因为 a0，所以函数 y 有最大值； 该函数的图象关于直线 x=1 对称； 当 x=2 时，函数 y 的值等于 0； 当 x=3 或 x=1 时，函数 y 的值都等于 0 其中正确结论的
21、个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 考点： 二次函数的性质809681 分析： 观察图象即可判断开口向上，应有最小值； 根据抛物线与 x 轴的交点坐标来 确定抛物线的对称轴方程；x= 2 时，对应的图象上的点在 x 轴下方，所以函数值 小于 0；图象与 x 轴交于3 和 1，所以当 x=3 或 x=1 时，函数 y 的值都等于 0 解答： 解：由图象知： 函数有最小值；错误 该函数的图象关于直线 x=1 对称；正确 当 x=2 时，函数 y 的值小于 0；错误 当 x=3 或 x=1 时，函数 y 的值都等于 0正确 故正确的有两个，选 C 点评： 此题考查了根据函数图象解答问题，体
22、现了数形结合的数学思想方法 二、细心填一填（每小题 3 分，共 18 分） 13 （3 分）计算： = 14 考点： 二次根式的加减法809681 分析： 首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解 解答： 解：原式=4 2 +12 =14 故答案是：14 点评： 主要考查了实数的运算无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的在进行 二次根式的运算时要先化简再计算可使计算简便 14 （3 分）白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟 了 10 条航线，则这个航空公司共有 5 个飞机场 考点： 一元二次方程的应用809681 专题： 应用题 分析： 每个飞机
23、场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航 线等量关系为：飞机场数（飞机场数 1）=10 2，把相关数值代入求正数解即可 解答： 解：设共有 x 个飞机场 x（x1） =102， 解得 x1=5，x 2=4（不合题意，舍去） ， 故答案为：5 点评： 考查一元二次方程的应用；得到飞行总航线与飞机场数的等量关系是解决本题的关 键 15 （3 分） （2010 红桥区模拟）已知点 A 的坐标为（a，b） ，O 为坐标原点，连接 OA， 将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 90得 OA1，则点 A1 的坐标为 （b，a） 考点： 坐标与图形变化-旋转809681 分析： 画
24、出草图分析不妨设 A 在第一象限，将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 90得 OA1，如图所示根据旋转的性质，A 1B1=AB，OB 1=OB综合 A1 所在象限确定其 坐标，其它象限解法完全相同 解答： 解：不妨设 A 在第一象限，将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 90得 OA1，如图 所示 A（ a，b） ，OB=a，AB=b， A1B1=AB=b，OB 1=OB=a， 因为 A1 在第二象限，所以 A1（b，a ） ， A 在其它象限结论也成立 点评： 不失一般性，可设点 A 在某一象限，以点带面求解 16 （3 分）如图，从 A 地到 C 地，可供选择的方案是走水路、走陆
25、路、走空中从 A 地 到 B 地有 2 条水路、2 条陆路，从 B 地到 C 地有 3 条陆路可供选择，则从 A 地到 C 地可 供选择的方案有 13 种 考点： 可能性的大小809681 专题： 方案型 分析： 从 A 间接到 C 的走法：从 A 到 B 有 4 种走法，从 B 到 C 有 3 种走法，那么共有 43 种走法，那么加上直接到达的那一条路线即可 解答： 解：从 A 直接到 C 有 1 中，从 A 到 B 再到 C，有 43=12 种，故从 A 地到 C 地可供 选择的方案有 12+1=13 种 点评： 本题考事件的可能情况，关键是列齐所有的可能情况 17 （3 分）如图，梯形
26、ABCD 中，ADBC，C=90，AB=AD=4 ，BC=6，以点 A 为圆心 在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分） ，则由这个扇形围成的圆锥的底面半径 是 考点： 圆锥的计算；直角梯形809681 分析： 要求以 A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的周长，需过点 A 作 AEBC 于点 E，根据切线的性质求得 AE 是扇形的半径，再利用直角梯形的性质 和直角三角形的性质求得扇形的半径和圆心角度数，再利用弧长公式求得扇形的底 面半径即可 解答： 解：过点 A 作 AEBC 于点 E， ADBC，C=90， 四边形 ADCE 是矩形， AB=AD=4，BC=6， CE
27、=AD=4，BE=2 AE=2 ，BAE=30 BAD=90+30=120 设底面半径为 r， 则 2r= 解得：r= 故答案为： 点评： 本题要熟知切线的性质，直角梯形的性质和扇形弧长计算公式利用切线的性质求 得 AE 的长即半径是解题的关键，注意扇形的周长为两条半径的长加上弧长 18 （3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a 0） ，下列说法： 若 b24ac=0，则抛物线的顶点一定在 x 轴上； 若 ab+c=0，则抛物线必过点（1，0） ； 若 a0，且一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两根 x1，x 2（x 1x 2） ，则 ax2+bx+c0 的解集 为
28、 x1xx 2； 若 ，则方程 ax2+bx+c=0 有一根为 3 其中正确的是 （把正确说法的序号都填上） 考点： 二次函数与不等式（组） ；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与 x 轴的交点809681 分析： 利用抛物线与 x 轴的交点问题判断正确；根据二次函数图象上点的坐标特征判断 出正确；根据二次函数与不等式组的关系判断出 错误；令 x=3，然后根据二次 函数图象上点的坐标特征解答 解答： 解：若 b24ac=0，则 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根，所以，抛物线的顶点一定 在 x 轴上，故本小题正确； x=1 时，a b+c=0，所以，抛物线必过点（1，0） ，故本小题正确
29、； a0，抛物线开口向上，ax 2+bx+c0 的解集为 x1x x 2，故本小题正确； 若 b=3a+ ，则 9a3b+c=0，所以方程 ax2+bx+c=0 有一根为 3，故本小题错误； 综上所述，正确的是 故答案为： 点评： 本题考查了二次函数与不等式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与 x 轴的交 点，综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 三、用心做一做（本大题共 7 小题，满分 66 分） 19 （6 分）解下列方程： （1）x 22x1=0 （2） （x2） 2=2x4 考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法 809681 专题： 计算题 分析： （1
30、）方程移项后，两边加上 1 变形，利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程 来求解； （2）方程右边变形后，整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相 乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 解答： 解：（1）方程变形得：x 22x=1， 配方得：x 22x+1=2，即（x1） 2=2， 解得：x 1=1+ ，x 2=1 ； （2）方程移项得：（x2） 22（x2）=0， 因式分解得：（x2） （x 4）=0， 解得：x 1=2，x 2=4 点评： 此题考查了解一元二次方程因式分解法与配方法，熟练掌握方程的解法是解本题的 关键 20 （8 分）先化简，再求
31、值： ，其中 ， 考点： 二次根式的化简求值809681 专题： 计算题 分析： 由于 a=3+ 0，b=3 0，且有 a+b=6，ab=7，再根据二次根式的性质化简得到 原式=a +b ，然后计算（a +b ） 2 得到 7（ +1） 2，再利用算术平方根求 值 解答： 解： a=3+ 0，b=3 0， a+b=6，ab=7 ， 原式 =a + +b =a +b ， （ a +b ） 2=a2b+2ab +ab2=ab（a+b+2 ）=7 （6+2 ）=7（ +1） 2， 原式 = （ +1）=7+ 点评： 本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和二次根式的运算法则把 所给的代数
32、式进行化简，然后把满足条件的字母的值代入计算 21 （10 分）如图，已知点 P 是边长为 5 的正方形 ABCD 内的一点，连结 PA，PB ，PC， 若 PA=2，PB=4， APB=135 （1）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90，画出 PCB 的位置 （2）求 PC 的长； 求PAB 旋转到PCB 的过程中边 PA 所扫过区域的面积 考点： 作图-旋转变换；正方形的性质；扇形面积的计算809681 分析： （1）利用旋转的性质得出对应点 P的位置进而得出即可； （2）利用旋转的性质得出，PPC=90 ，利用勾股定理得出 PC 的长； 根据 PA 所扫过区域的面积为：S 扇形 ABC+
33、SBCPS 扇形 PBPSABP，进而得出即 可 解答： 解：（1）如图所示：P CB 即为所求； （2）连接 PP， 将 PAB 绕点 B 顺时针旋转 90， PB=PB=4，A，P ，P 在一条直线上，PPC= BPCBPP=13545=90， APB=135， BPP=45， PBP是等腰直角三角形， PP=4 ， PC=PC=2， PC= =6； PAB 旋转到PCB 的过程中边 PA 所扫过区域的面积为： S 扇形 ABC+SBCPS 扇形 PBPSABP=S 扇形 ABCS 扇形 PBP= = 点评： 此题主要考查了旋转的性质以及旋转图形的画法和扇形面积公式等知识，根据题意 得出旋
34、转后图形的形状是解题关键 22 （10 分） （2011 湘潭）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖品班长王倩 拿 15 元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔 2 元/支，笔记本 1 元/ 本， 且每样东西至少买一件 （1）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果； （2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率 考点： 二元一次方程的应用；概率公式809681 专题： 应用题 分析： （1）应设出两种奖品的件数，由钢笔和笔记本两种奖品的价格为 15 元列出方程， 根据整数值来确定购买方案； （2）根据概率公式 P（A）= ，求解即可 解答： 解：（
35、1）设钢笔和笔记本两种奖品各 a，b 件 则 a1，b1， 2a+b=15 当 a=1 时，b=13； 当 a=2 时，b=11； 当 a=3 时，b=9； 当 a=4 时，b=7； 当 a=5 时，b=5； 当 a=6 时，b=3； 当 a=7 时，b=1 故有 7 种购买方案； （2）买到的钢笔与笔记本数量相等的购买方案有 1 种，共有 7 种购买方案 17= ， 买到的钢笔与笔记本数量相等的概率为 点评： 考查了二元一次方程的应用和概率公式解决问题的关键是读懂题意，找到所求的 量的等量关系注意根据整数值来确定购买方案 23 （10 分） （2012 瑶海区一模）如图，在 ABC 中，AB
36、=AC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 EFAC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F （1）求证：EF 是 O 的切线； （2）当 AB=5，BC=6 时，求 DE 的长 考点： 切线的判定；平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理809681 专题： 计算题 分析： （1）连接 OD，由 AC=AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由 OD=OB，根据 等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两 直线平行可得 OD 与 AC 平行，又 EF 垂直于 AC，根据垂直于两平行线中的一条， 与另一条也垂直，得到 EF 与 OD 也垂直，可得
37、 EF 为圆 O 的切线； （2）连接 AD，由 AB 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得 ADB=90， 即 AD 与 BC 垂直，又 AC=AB，根据三线合一得到 D 为 BC 中点，由 BC 求出 CD 的长，再由 AC 的长，利用勾股定理求出 AD 的长，三角形 ACD 的面积有两种求法， AC 乘以 DE 除以 2，或 CD 乘以 AD 除以 2，列出两个关系式，两关系式相等可求 出 DE 的长 解答： 解：（1）连接 OD，（1 分） AB=AC， C=OBD， OD=OB， 1=OBD，（2 分） 1=C， ODAC， EFAC， EFOD， EF 是O 的切线；（3 分
38、） （2）连接 AD， AB 为O 的直径， ADB=90， （4 分） 又 AB=AC，且 BC=6， CD=BD= BC=3， 在 RtACD 中，AC=AB=5， CD=3， 根据勾股定理得： ， 又 SACD= ACED= ADCD， 即 5ED= 43， （5 分） 点评： 此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面 积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂 直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径本题利用的是第一种方法 24 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+12k=0 有两个不等的实根， （1）
39、求 k 的取值范围； （2）若 k 取小于 1 的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根； （3）在（2）的条件下，二次函数 y=x24x+12k 与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点的左 侧） ，D 点在此抛物线的对称轴上，若 DAB=60，求 D 点的坐标 考点： 根的判别式；解一元二次方程-配方法；抛物线与 x 轴的交点809681 专题： 综合题 分析： （1）根据根的判别式，有两个不等的实根，根的判别式=b 24ac0 列出关于 k 的 不等式 12+8k0，求解即可得到 k 的取值范围； （2）利用（1）中 k 的取值范围求得 k 的整数解，然后将其代入关于
40、x 的一元二次 方程 x24x+12k=0 并整理，再根据配方法进行求解； （3）先求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与 x 轴的交点，从而得到对称轴的 解析式以及 AB 的长度，再根据DAB=60求出点 D 到 x 轴的距离，然后根据点 D 在 AB 的上方与下方两种情况讨论得解 解答： 解：（1）关于 x 的一元二次方程 x24x+12k=0 有两个不等的实根， =（4） 241（1 2k）=12+8k0， 解得，k ； （2）k 取小于 1 的整数， k=1 或 0， 当 k=1 时，方程为 x24x+3=0， 即（x2 ） 2=1， x2=1 或 x2=1， 解得 x1=3，x 2=
41、1， 当 k=0 时，方程为 x24x+1=0， 即（x2 ） 2=3， 方程的解为整数， k=0 不符合， k=1，此时方程的两个整数根是 x1=3，x 2=1； （3）如图所示，根据（2） ，二次函数解析式为，y=x 24x+3， 点 A、 B 的坐标分别为 A（1，0） ，B （3，0） ， 对称轴为 x=2， AC= （31）=1 ， DAB=60， AD=2AC=2， CD= = = ， 当点 D 在 AB 的上方时，坐标为（2， ） ，在 AB 的下方时，坐标为（2， ） ， 点 D 的坐标为（2， ）或（ 2， ） 点评： 本综合考查了根的判别式，一元二次方程的解法以及二次函数的
42、性质，抛物线与 x 轴的交点情况，综合性较强，但难度不是很大，根据整数根求出 k 的值是解题的关 键 25 （12 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 2，0） 、B（4，0） 、C （0，4）三 点 （1）求此抛物线的解析式； （2）此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值； （3）若点 D（2，m）在此抛物线上，在 y 轴的正半轴上是否存在点 P，使得BDP 是等腰 三角形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题809681 分析： （1）将 A（2，0） 、B （4，0） 、C （0，4）代入 y=ax2+bx
43、+c，运用待定系数法即可 求出此抛物线的解析式； （2）由于二次项系数 a= 0，所以抛物线有最大值，最大值为 ，代入计 算即可； （3）先将点 D（2，m）代入（1）中所求的抛物线的解析式，求出 m 的值，得到点 D 的坐标，然后假设在 y 轴的正半轴上存在点 P（0，y） （y0） ，使得BDP 是等腰 三角形，再分三种情况进行讨论：PB=PD；BP=BD； DP=DB；每一种情况 都可以根据两点间的距离公式列出关于 y 的方程，解方程即可 解答： 解：（1）将 A（2，0） 、B （4，0） 、C （0，4）代入 y=ax2+bx+c，得 ， 解得 所以此抛物线的解析式为 y= x2+x
44、+4； （2）y= x2+x+4，a= 0， 抛物线有最大值，最大值为 = ； （3）点 D（2 ，m）在抛物线 y= x2+x+4 上， m= 22+2+4=4， D（ 2， 4） ， B（4，0） ， BD= =2 假设在 y 轴的正半轴上存在点 P（0，y） （y0） ，使得BDP 是等腰三角形，分三种 情况： 如果 PB=PD，那么 42+y2=22+（y4） 2，解得 y= ， 所以 P1（0， ） ； 如果 BP=BD，那么 42+y2=20，解得 y=2（负值舍去） ， 所以 P2（0，2） ； 如果 DP=DB，那么 22+（y4） 2=20，解得 y=0 或 8， y=0 不合题意舍去， 所以 P3（0，8） ； 综上可知，所有符合条件的 P 点的坐标为 P1（0， ） ，P 2（0，2） ，P 3（0，8） 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解 析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中运用分类讨论、 方程思想是解题的关键
