1、2015-2016 学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷 一、精心选一选，一锤定音每小题 3 分，共 30 分每小题只有一项是正确的 1方程 x24=0 的根是（ ） Ax=2 Bx= 2 Cx 1=2，x 2=2 Dx=4 2在平面直角坐标系中，点 A（l，3）关于原点 O 对称的点 A的坐标为（ ） A （1， 3） B （1， 3） C （3，1） D （1，3） 3下列函数中，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大的是（ ） Ay= x2 By= Cy= x+1 Dy= 4商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为 O.1”下列说法正确的是（ ） A抽 10 次奖必
2、有一次抽到一等奖 B抽一次不可能抽到一等奖 C抽 10 次也可能没有抽到一等奖 D抽了 9 次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 5如图，将等腰直角三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转 15后得到 ABC，若 AC=1，则图中阴影部 分 的面积为（ ） A B C D 6如图，在钝角三角形 ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点 D 从 A 点出发到 B 点止，动点 E 从 C 点出发到 A 点止点 D 运动的速度为 1cm/秒，点 E 运动的速度为 2cm/秒如果两点同时运动， 那么当以点 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是（ ） A4 或 4
3、.8 B3 或 4.8 C2 或 4 D1 或 6 7如图，直线 AB、AD 与O 相切于点 B、D，C 为O 上一点，且BCD=140 ，则 A 的度数是 （ ） A70 B105 C100 D110 8已知 x1，x 2 是方程 x2 x+1=0 的两根，则 x12+x22 的值为（ ） A3 B5 C7 D4 9如图，在O 内有折线 OABC，点 B、C 在圆上，点 A 在O 内，其中 OA=4cm，BC=10cm ，A=B=60，则 AB 的长为（ ） A5cm B6cm C7cm D8cm 10已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=1，给出下列结果： b24a
4、c；abc0；2a+b=0；ab+c0；3a+c0；则正确的结论是 （ ） A B C D 二、细心填一填，试试自己的身手每小题 3 分，共 18 分 11若 x=2 为一元二次方程 x2ax2=0 的一根，则 a= 12一个扇形的弧长是 20cm，面积是 240cm2，则这个扇形的圆心角是 度 13某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有 3 场比赛，其中 2 场是乒乓球 赛，1 场是羽毛球赛，从中任意选看 2 场，则选看的 2 场恰好都是乒乓球比赛的概率是 14若ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x29x+8=0，则 ABC 的周长是 15在同一平面直角坐标系内，将函数
5、 y=x23 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到 的图象的顶点坐标为 16如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y= 上，第二象限的点 B 在反比例函数 y= 上， 且 OAOB，A=30，则 k 的值为 三、用心做一做，显显自己的能力满分 72 分 17解下列方程 （1） （3x1） （ x2）=2 （2）2x 21=3x 18已知关于 x 的方程 x22（ k1）x+k 2=0 有两个实数根 x1，x 2 （1）求 k 的取值范围； （2）若|x 1+x2|=x1x21，求 k 的值 19如图，在四边形 ABCD 中，BAD= C=90，AB=AD，AEBC 于
6、E，BEA 旋转后能与 DFA 重合 （1）BEA 绕 点 时针旋转 度能与 DFA 重合； （2）若 AE= cm，求四边形 AECF 的面积 20为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下： 春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用 2800 元，请问该班共有多少人参加这次春游活 动？ 21已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 ， ，1 的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有 1，3，2 的卡片，卡片外形相同现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为 a，b （1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果 （2）现制定这样一个游戏规则：若所选出
7、的 a，b 能使得 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根，则 称甲获胜；否则称乙获胜请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释 22如图，以等腰ABC 的一腰 AB 上的点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，O 交底边 BC 于点 D过 D 作O 的切线 DE，交 AC 于点 E （1）求证：DEAC； （2）若 AB=BC=CA=2，问圆心 O 与点 A 的距离为多少时，O 与 AC 相切？ 23某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计） ，这些薄板的形状均为正方形，边长（单位： cm）在 550 之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm 2）成正比例，每张薄 板的出厂
8、价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板 的大小无关，是固定不 变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据 薄板的边长 （cm） 20 30 出厂价（元/张） 50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （2）40cm 的薄板，获得的利润是 26 元（利润=出厂价成本价） 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式； 当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？ 24如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点 的左侧，B 点的坐标为（3， 0） ，与 y
9、轴交于 C（0，3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动 点 （1）求这个二次函数的表达式 （2）连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 2015-2016 学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选，一锤定音每小题 3 分，共 30 分每小题只有一项是正确的 1方程 x24=0 的根是（ ） Ax
10、=2 Bx= 2 Cx 1=2，x 2=2 Dx=4 【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【分析】先移项，然后利用数的开方解答 【解答】解：移项得 x2=4，开方得 x=2， x1=2，x 2=2 故选 C 【点评】 （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a（a0） ，ax 2=b（a，b 同号且 a0） ， （x+a） 2=b（b0） ，a （x+b） 2=c（a，c 同号且 a0） 法则：要把方程化为 “左平方，右常数，先把 系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”； （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体； （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的
11、特点 2在平面直角坐标系中，点 A（l，3）关于原点 O 对称的点 A的坐标为（ ） A （1， 3） B （1， 3） C （3，1） D （1，3） 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接 得到答案 【解答】解：点 A（l，3）关于原点 O 对称的点 A的坐标为（1， 3） 故选：D 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律 3下列函数中，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大的是（ ） Ay= x2 By= Cy= x+1 Dy= 【考点】二次函数的性质；一次函数的
12、性质；反比例函数的性质 【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可 【解答】解：A、y= x2，对称轴 x=0，当 x0 时，y 随着 x 的增大而减小，故本选项错误； B、反比例函数 y= 中，k=10，当 x0 时 y 随 x 的增大而增大，故本选项正确； C、k0，y 随 x 的增大而减小，故本选项错误； D、 k 0， y 随着 x 的增大而增大，故本选项错误 故选 B 【点评】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、 正比例函数的增减性（单调性） ，是解题的关键，是一道难度中等的题目 4商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为
13、 O.1”下列说法正确的是（ ） A抽 10 次奖必有一次抽到一等奖 B抽一次不可能抽到一等奖 C抽 10 次也可能没有抽到一等奖 D抽了 9 次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【考点】概率的意义 【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值 ，是对事件发 生可能性大小的量的表现进行解答 即可 【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为 O.1”就是说抽 10 次可能抽到一等奖，也可 能没有抽到一等奖， 故选：C 【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现 5如图，将等腰直角三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转 15后得到 ABC，若 AC=1
14、，则图中阴影部 分的面积为（ ） A B C D 【考点】解直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质 【专题】计算题 【分析】根据旋转的性质可得 AC=AC， BAC=30，然后利用 BAC的正切求出 CD 的长度，再 利用三角形的面积公式列式计算即可求解 【解答】解：根据题意，AC=AC=1， BAB=15， BAC=4515=30， CD=ACtan30= ， S 阴影 = ACCD= 1 = 故选 B 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于 45的性质，是基础 题，难度不大 6如图，在钝角三角形 ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点 D 从 A
15、点出发到 B 点止，动点 E 从 C 点出发到 A 点止点 D 运动的速度为 1cm/秒，点 E 运动的速度为 2cm/秒如果两点同时运动， 那么当以点 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是（ ） A4 或 4.8 B3 或 4.8 C2 或 4 D1 或 6 【考点】 相似三角形的判定 【专题】动点型 【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，ADEABC 和ADEACB， 可求运动的时间是 3 秒或 4.8 秒 【解答】解：根据题意得：设当以点 A、D 、E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是 x 秒， 若ADEABC ，则 AD：AB=AE
16、：AC ， 即 x：122x=x ：6， 解得：x=3； 若ADEACB ，则 AD：AC=AE：AB ， 即 x：12=12 2x：6， 解得：x=4.8； 所以当以点 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是 3 秒或 4.8 秒 故选 B 【点评】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运 用方程思想解题 7如图，直线 AB、AD 与O 相切于点 B、D，C 为O 上一点，且BCD=140 ，则 A 的度数是 （ ） A70 B105 C100 D110 【考点】切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【分析】过点 B 作直径 B
17、E，连接 OD、DE 根据圆内接四边形性质可求E 的度数；根据圆周角定理求 BOD 的度数；根据四边形内角和定理 求解 【解答】解：过点 B 作直径 BE，连接 OD、DE B、C、D、E 共圆， BCD=140， E=180140=40 BOD=80 AB、AD 与O 相切于点 B、D， OBA=ODA=90 A=360909080=100 故选 C 【点评】此题考查了切线的性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点， 难度中等 连接切点和圆心是解决有关切线问题时常作的辅助线 8已知 x1，x 2 是方程 x2 x+1=0 的两根，则 x12+x22 的值为（ ） A3 B
18、5 C7 D4 【考点】根与系数的关系 【分析】首先，根据根与系数的关系求得 x1+x2= ，x 1x2=1； 其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式； 最后，代入求值即可 【解答】解：x 1，x 2 是方程 的两根， x1+x2= ，x 1x2=1， =（x 1+x2） 22x1x2=52=3 故选 A 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常 使用的解题方法 9如图，在O 内有折线 OABC，点 B、C 在圆上，点 A 在O 内，其中 OA=4cm，BC=10cm ，A=B=60，则 AB 的长为（ ） A5cm
19、 B6cm C7cm D8cm 【考点】垂径定理；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【专题】计算题 【分析】延长 AO 交 BC 于 D，过 O 作 BC 的垂线，设垂足为 E，根据 A、B 的度数易证得 ABD 是等边三角形，设 AB 的长为 xcm，由此可表示出 OD、BD 和 DE 的长；在 RtODE 中，根 据ODE 的度数，可得出 OD=2DE，进而可求出 x 的值 【解答】解：延长 AO 交 BC 于 D，作 OEBC 于 E， 设 AB 的长为 xcm， A=B=60，ADB=60； ADB 为等边三角形； BD=AD=AB=x； OA=4cm，BC=10cm， BE=5c
20、m，DE= （x 5）cm ，OD=（x4）cm ， 又ADB=60， DE= OD， x5= （x4） ， 解得：x=6 故选 B 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用解答此题时，通过作辅助 线将半径 OB 置于直角三角形 OBE 中，从而利用勾股定理求 得 10已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=1，给出下列结果： b24ac；abc0；2a+b=0；ab+c0；3a+c0；则正确的结论是 （ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线与 x 轴的交点个数，可判断 b24ac；由开口方向、对称轴的位置以及与 y
21、 轴的交 点，可判断 a，b，c 的符号；由对称轴 x= ，可求得 a 与 b 的关系；由 x=1 时，y=a+b+c，x= 1 时，y=a b+c，可分别判断其符号 【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点， b24ac0， 即 b24ac；故正确； 开口向上， a0， 0， b 0， 交于 y 轴的负半轴， c0， abc0；故错误； =1， b=2a， 即 2ab=0；故错误； 当 x=1 时，y=ab+c0，故正确； 当 x=1 时，y=a+b+c0，b=2a， a+2a+c=3a+c 0；故正确 故选 D 【点评】此题考查了二次函数的系数与图象的关系注意熟练掌
22、握各判定方法，准确认识图形是关 键 二、细心填一填，试试自己的身手每小题 3 分，共 18 分 11若 x=2 为一元二次方程 x2ax2=0 的一根，则 a= 1 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据方程的解的定义，把 x=2 代入已知方程，列出关于 a 的新方程，通过解新方程可以求 得 a 的值 【解答】解：依题意，得 222a2=0，即2a+2=0， 解得，a=1 故答案是：1 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义一元二次方程的根就是一元二次方程 的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 12一个扇形的弧长是 20cm，面积是 2
23、40cm2，则这个扇形的圆心角是 150 度 【考点】扇形面积的计算；弧长的计算 【专题】计算题 【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可 【解答】解：扇形的面积公式= lr=240cm2， 解得：r=24cm， 又 l= =20cm， n=150 故答案为：150 【点评】此题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角 13某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有 3 场比赛，其中 2 场是乒乓球 赛，1 场是羽毛球赛，从中任意选看 2 场，则选看的 2 场恰好都是乒乓球比赛的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】先用列表
24、法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概 率 【解答】解：由树状图可知共有 32=6 种可能，选看的 2 场恰好都是乒乓球比赛的有 2 种，所以概 率是 【点评】画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知 识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14若ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x29x+8=0，则 ABC 的周长是 3 或 24 或 17 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 【专题】计算题 【分析】利用因式分解法解方程得到 x1=1，x 2=8，然后分类讨论：当三角形三边都是 1 时，当三角 形三边都是
25、 8 时，当三角形三边为 8、8、1 时，再分别计算对应的周长即可 【解答】解：（x1） （x 8）=0， x1=0 或 x8=0， 所以 x1=1，x 2=8， 当三角形三边都是 1 时，三角形的周长为 3； 当三角形三边都是 8 时，三角形的周长为 24； 当三角形三边为 8、8、1 时，三角形的周长为 17， 所以 ABC 的周长为 3 或 24 或 17 故答案为 3 或 24 或 17 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解 化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方 程的解，这样也就把原
26、方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学 转化思想） 也考查了三角形三边的关系 15在同一平面直角坐标系内，将函数 y=x23 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到 的图象的顶点坐标为 （2，4） 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得答案 【解答】解：将函数 y=x23 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到新函数解析式为 y=（x2 ） 231， 即 y=（x 2） 24， 其顶点坐标为（2，4） ， 故答案为：（2，4） 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，
27、要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下 减并用规律求函数解析式 16如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y= 上，第二象限的点 B 在反比例函数 y= 上， 且 OAOB，A=30，则 k 的值为 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】过 A 作 ANx 轴于 N，过 B 作 BMx 轴于 M设 A（x， ） （x0） ，由点 A 在反比例 函数 y= 上可得 ONAN= ，由 tanA= = ，再证明MBONOA ，可得 = = = ，进而可得 BM= ON，OM= AN，然后再利用反比例函数图象上点的坐标特 点可得 k=OMBM= ON AN= = 【解答】解：过 A 作
28、 ANx 轴于 N，过 B 作 BMx 轴于 M 第一象限内的点 A 在反比例函数 y 的图象上， 设 A（ x， ） （x0） ，ON AN= A=30， tanA= = ， OAOB， BMO=ANO=AOB=90， MBO+BOM=90，MOB+ AON=90， MBO=AON， MBONOA， = = = ， BM= ON，OM= AN 又 第二象限的点 B 在反比例函数 y= 上， k=OMBM= ON AN= = 故答案为 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点，横 纵坐标之积等于 k 三、用心做一做，显显自己的能力满分 72 分 17解
29、下列方程 （1） （3x1） （ x2）=2 （2）2x 21=3x 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -公式法 【专题】计算题 【分析】 （1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程 【解答】解：（1）3x 27x=0， x（3x7 ）=0 ， x=0 或 3x7=0， 所以 x1=0，x 2= ； （2）2x 23x1=0， =（3） 242（1）=17 ， x= ， 所以 x1= ，x 2= 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解 化为两个一次因式的积的形式，那
30、么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方 程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学 转化思想） 也考查了公式法解一元二次方程 18已知关于 x 的方程 x22（ k1）x+k 2=0 有两个实数根 x1，x 2 （1）求 k 的取值范围； （2）若|x 1+x2|=x1x21，求 k 的值 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【专题】计算题 【分析】 （1）方程有两个实数根，可得=b 24ac0，代入可解出 k 的取值范围； （2）结合（1）中 k 的取值范围，由题意可知，x 1+x2=2（k 1）0，去绝对值号结合等式关系，可
31、得出 k的值 【解答】解：（1）由方程有两个实数根，可得 =b24ac=4（k 1） 24k2=4k28k+44k2=8k+40， 解得，k ； （2）依据题意可得，x 1+x2=2（k1） ，x 1x2=k2， 由（1）可知 k ， 2（ k1）0，x 1+x20， x1x2=（x 1+x2）=x 1x21， 2（k1）=k 21， 解得 k1=1（舍去） ，k 2=3， k 的值是 3 答：（1）k 的取值范围是 k ；（2）k 的值是 3 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是 一种经常使用的解题方法；注意 k 的取值范围是正确解答的关键
32、19如图，在四边形 ABCD 中，BAD= C=90，AB=AD，AEBC 于 E，BEA 旋转后能与 DFA 重合 （1）BEA 绕 A 点 逆 时针旋转 90 度能与DFA 重合； （2）若 AE= cm，求四边形 AECF 的面积 【考点】旋转的性质 【分析】 （1）根据旋转的性质直接填空得出即可； （2）根据垂直的定义可得AEB= AEC=90，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状 与大小可得ADF 和ABE 全等，根据全等三角形对应角相等可得AEB=F，全等三角形对应边 相等可得 AE=AF，然后证明四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形可得四边形 AECF 是 正方形，
33、然后根据正方形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：（1）BEA 绕 A 点逆（或顺）时针旋转 90 度（或 270 度）能与DFA 重合； 故答案为：A，逆（或顺） ； 90（或 270 度） ； （2）AE BC， AEB=AEC=90， AB=AD，BEA 旋转后能与 DFA 重合， ADFABE， AEB=F，AE=AF， C=90， AEC=C=F=90， 四边形 AECF 是矩形， 又 AE=AF， 矩形 AECF 是正方形， AE= cm， 四边形 AECF 的面积为（ ） 2=6（cm 2） 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，根据旋转变换只改变图形的位置不改变
34、图 形的形状与大小得到全等三角形，然后证明四边形 AECF 是正方形是解题的关键 20为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下： 春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用 2800 元，请问该班共有多少人参加这次春游活 动？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】阅读型 【分析】先要根据付给旅行社的费用来判断这次春游人数的大致范围然后根据相应范围的不同的 费用基数按方法来列出方程，求出符合题意的值 【解答】解：25 人的费用为 2500 元2800 元 参加这次春游活动的人数超过 25 人 设该班参加这次春游活动的人数为 x 名，根据题意得1002（x
35、25） x=2800 整理得 x275x+1400=0 解得 x1=40，x 2=35 当 x1=40 时，100 2（x25）=7075，不合题意，舍去 当 x2=35 时，100 2（x25）=8075，符合题意 答：该班参加这次春游活动的人数为 35 名 【点评】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解本题中根据工费 用判断人数的大致范围 是解题的基础 21已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 ， ，1 的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有 1，3，2 的卡片，卡片外形相同现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为 a，b （1）请你用树形图或列表法列出所有
36、可能的结果 （2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的 a，b 能使得 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根，则 称甲获胜；否则称乙获胜请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释 【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可 求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平 【解答】解：（1）画树状图得： （ a，b）的可能结果有（ ，1） 、 （ ，3） 、 （ ，2） 、 （ ，1） 、 （ ，3
37、） 、 （ ，2） 、 （1，1） 、 （1，3）及（1，2） ， （ a，b）取值结果共有 9 种； （2）当 a= ，b=1 时，=b 24ac=10，此时 ax2+bx+1=0 无实数根， 当 a= ，b=3 时，=b 24ac=70，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a= ，b=2 时，=b 24ac=20，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a= ，b=1 时，=b 24ac=0，此时 ax2+bx+1=0 有两个相等的实数根， 当 a= ，b=3 时，=b 24ac=80，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a= ， b
38、=2 时， =b24ac=30，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a=1，b=1 时，=b 24ac=30，此时 ax2+bx+1=0 无实数根， 当 a=1，b=3 时，=b 24ac=50，此时 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根， 当 a=1，b=2 时，=b 24ac=0，此时 ax2+bx+1=0 有两个相等的实数根， P（甲获胜）=P（0）= P（乙获胜）= ， 这样的游戏规则对甲有利，不公平 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就 公平，否则就不公平 22如图，以等腰ABC 的一腰 AB 上的点 O 为圆
39、心，以 OB 为半径作圆，O 交底边 BC 于点 D过 D 作O 的切线 DE，交 AC 于点 E （1）求证：DEAC； （2）若 AB=BC=CA=2，问圆心 O 与点 A 的距离为多少时，O 与 AC 相切？ 【考点】切线的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质 【专题】计算题；证明题 【分析】 （1）连接 OD，由切线性质求出 ODDE，根据等腰三角形性质求出 B=ODB=C，推出 ODAC，即可求出 DEAC （2）作 OFAC 于 F，设 AF=x，根据等边三角形的性质求出A=60，OF= x=OB，OA=2x，根 据 OA+OB=AB 得出 x+2x=
40、2，求出 x 即可 【解答】 （1）证明：连接 OD， DE 切O 于 D， ODDE OB=OD， B=ODB， 又 AB=AC， B=C， ODB=C， ODAC， 又 DEOD， DEAC （2）解：过 O 作 OFAC 于 F，设 AF=x， ABC 为等边三角形， 在 RtAOF 中A=60，OF= x=OB，OA=2x， 由 OA+OB=AB 得： x+2x=2， 解得：x=4 2 ， OA=2x=84 ， 答：圆心 O 与点 A 的距离为 84 时， O 与 AC 相切 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平行线的性质的 应用，通过做此题培养了
41、学生的推理能力和计算能力，题型较好，综合性比较强 23某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计） ，这些薄板的形状均为正方形，边长（单位： cm）在 550 之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm 2）成正比例，每张薄 板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不 变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据 薄板的边长 （cm） 20 30 出厂价（元/张） 50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （2）40cm 的薄板，获得的利润是 26 元（利润=出厂价成本价） 求一张薄板的利润与边长
42、之间满足的函数关系式； 当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】一次函数的应用 【分析】 （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案； （2）首先假设一张薄板的利润为 p 元，它的成本价为 mx2 元，由题意，得：p=ymx 2，进而得 出 m 的值，求出函数解析式即可； 利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可 【解答】解：（1）设一张薄板的边长为 xcm，它的出厂价为 y 元，基础价为 n 元，浮动价为 kx 元， 则 y=kx+n 由表格中的数据，得 ， 解得 k=2，n=10， 所以 y=2x+10； （2）设一张薄板的利润为 p 元，它的成本价
43、为 mx2 元，由题意，得： p=ymx2=2x+10mx2， 将 x=40，p=26 代入 p=2x+10mx2 中， 得 26=240+10m402 解得 m= 所以 p= x2+2x+10 因为 a= 0，所以，当 x= = 25（在 550 之间）时， p 最大值 = = =35 即出厂一张边长为 25cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是 35 元 【点评】本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大 （小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后 两种方法 24如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+b
44、x+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点 的左侧，B 点的坐标为（3， 0） ，与 y 轴交于 C（0，3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动 点 （1）求这个二次函数的表达式 （2）连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】 （1）将 B、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求
45、得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形 POPC 为菱形，那么 P 点必在 OC 的垂直平分线 上，据此可求出 P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出 P 点的坐标； （3）由于ABC 的面积为定值，当四边形 ABPC 的面积最大时，BPC 的面积最大；过 P 作 y 轴 的平行线，交直线 BC 于 Q，交 x 轴于 F，易求得直线 BC 的解析式，可设出 P 点的横坐标，然后 根据抛物线和直线 BC 的解析式求出 Q、P 的纵坐标，即可得到 PQ 的长，以 PQ 为底，B 点横坐标 的绝对值为高即可求得BPC 的面积，由此可得到关于四边形 ACPB 的面积与 P
46、 点横 坐标的函数关 系式，根据函数的性质即可求出四边形 ABPC 的最大面积及对应的 P 点坐标 【解答】解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得 ， 解得： ； 所以二次函数的表达式为：y=x 22x3 （2）存在点 P，使四边形 POPC 为菱形； 设 P 点坐标为（x，x 22x3） ，PP 交 CO 于 E 若四边形 POPC 是菱形，则有 PC=PO； 连接 PP，则 PECO 于 E， C（0，3） ， CO=3， 又 OE=EC， OE=EC= y= ； x22x3= 解得 x1= ，x 2= （不合题意，舍去） ， P 点的坐标为（ ， ） （3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x，x 22x3） ，设直线 BC 的 解析式为：y=kx+d， 则 ， 解得： 直线 BC 的解析式为 y=x3， 则 Q 点的坐标为（x，x3） ； 当 0=x22x3， 解得：x 1
