1、甘肃省天水市甘谷县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题 （每小题 4 分，共 40 分） 1函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx Cx Dx 2若（m2） x+1=0 是一元二次方程，则 m 的值为（ ） A2 B2 C2 D以上结论都不对 3一元二次方程 x2+x+ =0 的根的情况是（ ） A有两个不等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 4两个相似三角形的面积比是 9：16，则这两个三角形的相似比和周长的比分别为（ ） A9：16；3：4 B3：4； 9：16 C9：4；9：16 D3：4；3：4 5如图，小正方形的边长均为 1，则下
2、列图中的三角形与ABC 相似的是（ ） A B C D 6已知锐角 A 满足关系式 2sin2A7sinA+3=0，则 sinA 的值为（ ） A B3 C 或 3 D4 7在 a24a4 的空格中，任意填上“+ ”或“”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是 （ ） A B C D1 8已知 P（x，y）在第三象限，且|x|=1，|y|=7 ，则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （1.7 ） B （1， 7） C （ 1，7） D （1，7） 9在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） A B C D 10如图：把ABC 沿 AB 边平移到
3、ABC的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积 是ABC 面积的一半，若 AB= ，则此三角形移动的距离 AA是（ ） A 1 B C1 D 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 11已知二次根式 ， ， ， ， ，其中是最简二次根式的是 12若 tantan35=1，且 为锐角，则 = ；若 sin2+sin237=1，则锐角 = 13若 +|y |=0，那么（xy） 2012 的值为 14有 4 条长度分别为 1，3，5，7 的线段，现从中任取三条能构成三角形的概率是 15一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的 3 倍，它的十位数字比个位数字大 2若设个位数字为 x，
4、列出求该两位数的方程式为 16如图，DE 是ABC 的中位线，M、N 分别是 BD、CE 的中点，MN=6，则 BC= 17关于 x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+2k 2=0 有实数根，则 k 的取值范围是 18如图，Rt ABC 中， B=90，AB=3cm ，BC=4cm，将ABC 折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长等于 cm 三、解答题 19计算题： （2sin60 cos45）+sin45tan60 20已知方程 x23x+m=0 的一个根 x1=1，求方程的另一个根 x2 及 m 的值 21已知一纸箱中装有 5 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球
5、，3 个红球 （1）求从箱中随机取出一个白球的概率是 ； （2）若往装有 5 个球的原纸箱中，再放入 x 个白球和 y 个红球，从箱中随机取出一个白球的概率 是 ，则 y 与 x 的函数解析式为 22如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，ADE= B （1）求证：ABD ADE （2）若 AB=9，AE=4，求 AD 的长 23如图，点 P 表示我国的钓鱼岛，在此岛周围 25 海里水域有暗礁我渔政海监船由西向东航行 到 A 处，发现 P 岛在北偏东 60的方向上，轮船继续向前航行 20 海里到达 B 处，发现 P 岛在北偏 东 45的方向上该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据
6、 =1.73） 24如图，分别写出五边形 ABCDE 的五个顶点的坐标，然后作出： （1）关于原点 O 对称的图形，并写出对称图形的顶点的坐标； （2）以原点 O 为中心，把它缩小为原图形的 ，并写出新图形的顶点坐标 25在ABC， C=90，斜边 AB=10，直角边 AC、BC 的长是关于 x 的方程 x2mx+3m+6=0 的两 个实数根 （1）求 m 的值； （2）计算 sinA+sinB+sinAsinB 26贵阳市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台 后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米
7、4860 元的均价开盘销售 （1）求平均每次下调的百分率 （2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择： 打 9.8 折销售； 不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？ 27我区在修筑渭河堤防工程时，欲拆除河岸边的一根电线杆 AB如图，已知距电线杆 AB 水平 距离 14 米处是河岸，即 BD=14 米，该河岸的坡面 CD 的坡度为 1：0.5，岸高 CF 为 2 米，在坡顶 C 处测得杆顶 A 的仰角为 30，D 、E 之间的宽是 2 米，请你通过计算说明在拆除电线杆 AB 时， 为确保安全，是否将 DE 段封止？（在地面
8、上以点 B 为圆心，以 AB 长为半径的圆形区域为危险区 域） 28已知，如图，在 RtACB 中， C=90，AC=4cm ，BC=3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s，点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s，连接 PQ， 若设运动的时间为 t（s） （0 t2） ，解答下列问题： （1）设AQP 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （2）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 甘肃省天水市甘谷县 2
9、016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 （每小题 4 分，共 40 分） 1函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx Cx Dx 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案 【解答】解：由 y= ，得 1+2x0， 解得 x 故选：B 【点评】本题考查了函数值变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达 式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；当函数表 达式是二次根式时，被开方数非负 2若（m2） x+1=0 是一元二次方程，则 m 的值为（ ） A2 B2 C2
10、D以上结论都不对 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义可知 m20，m 22=2，从而可求得 m 的值 【解答】解：分式 的值为零， m20，m 22=2 解得：m=2 故选：C 【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义得到 m20，m 22=2 是解 题的关键 3一元二次方程 x2+x+ =0 的根的情况是（ ） A有两个不等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【考点】根的判别式 【专题】计算题 【分析】先计算=b 24ac，然后根据的意义进行判断根的情况 【解答】解：=b 24ac=1241 =0， 原方程有两个相等的实数根
11、 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的根判别式=b 24ac：当 0，方程有 两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 4两个相似三角形的面积比是 9：16，则这两个三角形的相似比和周长的比分别为（ ） A9：16；3：4 B3：4； 9：16 C9：4；9：16 D3：4；3：4 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形周长的比等于相似比解答即可 【解答】解：两个相似三角形的面积比是 9：16， 这两个三角形的相似比为 3：4， 这两个三角形的周长的比为 3：4， 故选：D
12、 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积 的比等于相似比的平方是解题的关键 5如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形与ABC 相似的是（ ） A B C D 【考点】相似三角形的判定 【专题】网格型 【分析】根据网格中的数据求出 AB，AC，BC 的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三 角形相似判断即可 【解答】解：根据题意得：AB= = ，AC= ，BC=2， AC：BC：AB= ：2： =1： ： ， A、三边之比为 1： ：2 ，图中的三角形与ABC 不相似； B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形与 ABC 不相似； C、
13、三边之比为 1： ： ，图中的三角形与 ABC 相似； D、三边之比为 2： ： ，图中的三角形与ABC 不相似 故选 C 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键 6已知锐角 A 满足关系式 2sin2A7sinA+3=0，则 sinA 的值为（ ） A B3 C 或 3 D4 【考点】锐角三角函数的定义；解一元二次方程-因式分解法 【专题】换元法 【分析】将 sinA 看做一个整体，采用换元思想解方程即可解答 【解答】解：设 sinA=y，则上式可化为 2y27y+3=0 2y27y+3=（2y1） （y 3）=0， 所以 y1=3，y 2= A 为锐
14、角， 0sinA1， 故选 A 【点评】此题要注意换元思想与锐角正弦值的求法，提高了学生的灵活应用能力 7在 a24a4 的空格中，任意填上“+ ”或“”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是 （ ） A B C D1 【考点】列表法与树状图法；完全平方式 【专题】计算题 【分析】先利用树状图展示所有 4 种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占 2 种，然后根据 概率的概念计算即可 【解答】解：画树状图如下： 共有 4 种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占 2 种， 所以可以构成完全平方式的概率= = 故选 A 【点评】本题考查了利用列表法与树状图法概率的方法：先通过列表法
15、或树状图展示所有等可能的 结果数 n，然后找出某事件所占有的结果数 m，再根据概率的概念计算出这个事件的概率 P= 8已知 P（x，y）在第三象限，且|x|=1，|y|=7 ，则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （1.7 ） B （1， 7） C （ 1，7） D （1，7） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【分析】直接利用第三象限点的性质得出 x，y 的值，进而利用关于 x 轴对称点的性质得出是解题 关键 【解答】解：P （x，y）在第三象限，且 |x|=1，|y|=7， P（ 1，7） ， 点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是：（ 1，7） 故选：A 【点评】此题
16、主要考查了关于 x 轴对称点的性质以及第三象限点的坐标性质，正确记忆各象限内点 的坐标性质是解题关键 9在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） A B C D 【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【专题】压轴题；网格型 【分析】先设小正方形的边长为 1，然后找个与B 有关的 RTABD，算出 AB 的长，再求出 BD 的长，即可求出余弦值 【解答】解：设小正方形的边长为 1，则 AB=4 ，BD=4， cosB= = 故选 B 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角 B 有关的直角三角形 10如图：把ABC 沿 AB
17、边平移到 ABC的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积 是ABC 面积的一半，若 AB= ，则此三角形移动的距离 AA是（ ） A 1 B C1 D 【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质 【专题】压轴题 【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出 AB，再求 AA就可以了 【解答】解：设 BC 与 AC交于点 E， 由平移的性质知，ACAC BEABCA SBEA：S BCA=AB2：AB 2=1：2 AB= AB=1 AA=ABAB= 1 故选 A 【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：平移不改变图形的形状和大小； 经过平移，对应点所连的线段平行且相等
18、，对应线段平行且相等，对应角相等 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 11已知二次根式 ， ， ， ， ，其中是最简二次根式的是 、 【考点】最简二次根式 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是 否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解： =3 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 符合最简二次根式的定义，它是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； =2 |b|，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 符合最简二次根式的定义，它是最简二次根式； 故填： 、 【点评】本题考查最简二次根式
19、的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条 件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式 12若 tantan35=1，且 为锐角，则 = 55 ；若 sin2+sin237=1，则锐角 = 53 【考点】互余两角三角函数的关系 【分析】根据互余两角的正切与余切的乘积为 1，可得答案；一角的正弦等于余角的余弦，可得答 案 【解答】解：由 tantan35=tan35cot351，且 为锐角，则 =55；若 sin2+sin237=1，则锐角 =53， 故答案为：55，53 【点评】本题考查了互余两角三角的函数关系，互余两角的正切与余切的乘积为 1，一角
20、的正弦等 于余角的余弦 13若 +|y |=0，那么（xy） 2012 的值为 1 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值，代入所求代数式计算即可 【解答】解：由题意得，x =0，y =0， 解得，x= ，y= ， 则 xy= =1， （ xy） 2012，=1 ， 故答案为：1 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 14有 4 条长度分别为 1，3，5，7 的线段，现从中任取三条能构成三角形的概率是 【考点】三角形三边关系；几何概率 【分析】从 4 条中任取 3 条的可能有 4 种，
21、要构成三角形要满足 abca+b，将 4 组数据代入， 看是否满足，用满足的个数除以总的个数即可 【解答】解：从 4 条中任取 3 条的可能有 4 种即 1、3、5；1、3、7；3、5、7；1、5、7 能构成三 角形的数有 3，5，7 一组，故其概率为： 【点评】本题考查了概率的公式和三角形性质的综合运用，满足三角形的条件为 abca+b 15一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的 3 倍，它的十位数字比个位数字大 2若设个位数字为 x，列出求该两位数的方程式为 10（x+2）+x=3x 2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】数字问题 【分析】设个位数字为 x，则这个数为
22、 3x2，十位数字为 x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方 程 【解答】解：设个位数字为 x，则这个数为 3x2，十位数字为 x+2， 由题意得，10（x+2）+x=3x 2 故答案为：10（x+2）+x=3x 2 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数， 找出合适的等量关系，列出方程 16如图，DE 是ABC 的中位线，M、N 分别是 BD、CE 的中点，MN=6，则 BC= 8 【考点】梯形中位线定理；三角形中位线定理 【专题】计算题 【分析】利用三角形的中位线求得 DE 与 BC 的关系，利用梯形的中位线的性质求得 BC 的长即 可 【解
23、答】解：DE 是ABC 的中位线， DE= BC，DE BC M、N 分别是 BD、CE 的中点， 由梯形的中位线定理得：MN= （DE+BC）= BC=6， BC=8 故答案为：8 【点评】本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质 17关于 x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+2k 2=0 有实数根，则 k 的取值范围是 k 【考点】根的判别式 【分析】由于已知方程有实数根，则 0，由此可以建立关于 k 的不等式，解不等式就可以求出 k 的取值范围 【解答】解：由题意知=（ 2k+1） 2+4（2k 2）=4k+9 0，k 【点评】总结一元二次方程根的
24、情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 18如图，Rt ABC 中， B=90，AB=3cm ，BC=4cm，将ABC 折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长等于 7 cm 【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题；数形结合 【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 【解答】解：由折叠的性质知，AE=CE ， ABE 的周长 =AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm 故答案为：7 【点评】本题考查了翻折变换的知识，利用了折叠
25、的性质 三、解答题 19计算题： （2sin60 cos45）+sin45tan60 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再根据实数的计算顺序进行计算 【解答】解：原式= （2 ）+ ， = （ ）+ ， =3 + ， =3 【点评】此题主要考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数，关键是熟练掌握 30、45 、60角 的各种三角函数值 20已知方程 x23x+m=0 的一个根 x1=1，求方程的另一个根 x2 及 m 的值 【考点】一元二次方程的解 【分析】首先将方程的根代入方程求得 m 的值，然后代入方程求得方程的另一根即可 【解答】解：方程 x23
26、x+m=0 的一个根 x1=1， 13+m=0， 解得：m=2， 方程为 x23x+2=0， 解得：x 1=1，x 2=2， x2=2，m=2 【点评】本题考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是能够了解方程的定义并将方程的根代 入求得 m 的值，难度不大 21已知一纸箱中装有 5 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，3 个红球 （1）求从箱中随机取出一个白球的概率是 ； （2）若往装有 5 个球的原纸箱中，再放入 x 个白球和 y 个红球，从箱中随机取出一个白球的概率 是 ，则 y 与 x 的函数解析式为 y=2x+1 【考点】概率公式；根据实际问题列一次函数关系式 【分析】 （1）根据
27、概率的求法，找准两点： 符合条件的情况数目； 全部情况的总数 二者的比值就是其发生的概率 （2）根据白球的概率公式得到相应的等式，整理即可 【解答】解：根据题意分析可得：纸箱中装有 5 只有颜色不同的球，其中 2 个白球，3 个红球 根据概率的求法有： （1）取出一个白球的概率 = ； （2）取出一个白球的概率 ， 5+x+y=6+3x，即 y=2x+1， y 与 x 的函数解析式是 y=2x+1 【点评】 （1）如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果， 那么事件 A 的概率 P（A）= ； （2）结合概率知识考查了求解析式的方法 22如图，已知
28、AD 为ABC 的角平分线，ADE= B （1）求证：ABD ADE （2）若 AB=9，AE=4，求 AD 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】 （1）利用两组角对应相等的两个三角形相似； （2）由于ABD ADE，根据相似三角形的性质得到 AD：AE=AB：AD ，然后把 AB=9，AE=4 代入后利用比例性质可计算出 AD 的长 【解答】 （1）证明：AD 为ABC 的角平分线， BAD=EAD， ADE=B， ABDADE； （2）解：ABDADE， AD：AE=AB：AD，即 AD：4=9：AD， AD=6 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两
29、个三角形相似时，应注意利用图形中已有 的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作 平行线构造相似三角形；在应用相似三角形性质时主要利用相似比计算线段的长 23如图，点 P 表示我国的钓鱼岛，在此岛周围 25 海里水域有暗礁我渔政海监船由西向东航行 到 A 处，发现 P 岛在北偏东 60的方向上，轮船继续向前航行 20 海里到达 B 处，发现 P 岛在北偏 东 45的方向上该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据 =1.73） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】设 PC=x 海里，根据锐角三角函数的定义表示出 BC、AC，根据
30、题意列出方程，解方程求 出 x 的值，比较即可 【解答】解：设 PC=x 海里， 由题意得，PBC=45，PBC=30， BC=PC=x， AC= = x， xx=20， 解得，x27.3， PC=27.325， 该船若不改变航向继续前进，无触礁危险 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的 概念是解题的关键 24如图，分别写出五边形 ABCDE 的五个顶点的坐标，然后作出： （1）关于原点 O 对称的图形，并写出对称图形的顶点的坐标； （2）以原点 O 为中心，把它缩小为原图形的 ，并写出新图形的顶点坐标 【考点】作图-位似变换；中心对称；作图 -
31、旋转变换 【专题】作图题 【分析】根据各点的位置可得相应坐标 （1）连接 BO 并延长到 B，使 OB=2OB，得到点 B 的对应点 B，同法得到其余各点的对应点，按 原图的顺序连接即可，对称图形的顶点的横纵坐标与原图形中的横纵坐标均互为相反数； （2）连接 OB，在 OB 上截取 0B= OB，得到点 B 的对应点 B，同法得到其余各点的对应点，按 原图的顺序连接即可，新图形的对应点的横纵坐标为原图形中的横纵坐标的一半 【解答】解：A（0，5） ，B（4，3） ，C （3，5） ，D（1，4） ，E（4，1） （1） A（0，5） ，B（4 ， 3） ，C（3，5） ，D （1，4） ， E
32、（ 4，1） （2） A（0， ） ，B（2 ， ） ，C （ ） ，D（ ， 2） ， D（2， ） 【点评】考查画中心对称图形和位似图形；用到的知识点为：关于原点对称的点的横纵坐标均互为 相反数；两图形是位似图形，若相似比为 k，新图形的顶点的坐标为原图形顶点坐标的 k 倍 25在ABC， C=90，斜边 AB=10，直角边 AC、BC 的长是关于 x 的方程 x2mx+3m+6=0 的两 个实数根 （1）求 m 的值； （2）计算 sinA+sinB+sinAsinB 【考点】根与系数的关系；勾股定理；锐角三角函数的定义 【分析】 （1）RtABC 中，AB 2=AC2+BC2=（AC+
33、BC） 22ACBC，再将二次方程的系数代入求得 m 值； （2）将 sinA+sinB+sinAsinB 用ABC 的边表示，化为两边之和，两边之积，将二次方程的系数代 入求得结果 【解答】解：（1）如图，设 AC=x1，BC=x 2， 由题意，得 x1+x2=m0，x 1x2=3m+60 在 RtABC 中，AC 2+BC2=100， 即 x12+x22=100， （x 1+x2） 22x1x2=100 m26m112=0 解得 m1=14，m 2=8（舍去） m=14 （2）sinA+sinB+sinAsinB= = 由 x1+x2=m=14，x 1x2=3m+6=314+6=48 得：
34、 = 【点评】本题考查的是根与系数的关系，即两根之和、两根之积与二次方程系数的关系，同学们应 灵活运用 26贵阳市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台 后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售 （1）求平均每次下调的百分率 （2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择： 打 9.8 折销售； 不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 （1）设求平均每
35、次下调的百分率为 x，由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可； （2）分别求出两种优惠方法的费用，比较大小就可以得出结论 【解答】 （1）解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 6000（1x） 2=4860， 解得：x 1=0.1，x 2=1.9（舍去） 答：平均每次下调的百分率为 10%； （2）由题意，得 方案优惠：4860 100（10.98）=9720 元， 方案优惠：80 100=8000 元 9720 8000 方案 更优惠 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，降低率问题 的数量关系的运用，解答时列一元二次方程解实际问题是难点 2
36、7我区在修筑渭河堤防工程时，欲拆除河岸边的一根电线杆 AB如图，已知距电线杆 AB 水平 距离 14 米处是河岸，即 BD=14 米，该河岸的坡面 CD 的坡度为 1：0.5，岸高 CF 为 2 米，在坡顶 C 处测得杆顶 A 的仰角为 30，D 、E 之间的宽是 2 米，请你通过计算说明在拆除电线杆 AB 时， 为确保安全，是否将 DE 段封止？（在地面上以点 B 为圆心，以 AB 长为半径的圆形区域为危险区 域） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用- 坡度坡角问题 【分析】根据题意分析图形可得：在 RtCDF 中，由 CF=2，tanCDF=2 ，可求得 DE，进
37、而得到 BE 的长解 RtAGC 可得 BE 的值，通过比较 BE、AB 的大小即可求出答案 【解答】解：i=1 ：0.5，CF=2 米 tanCDF= =2， DF=1 米，BG=2 米， BD=14 米， BF=GC=15 米 在 RtAGC 中，AG=15tan30=15 =5 8.66（米） ， AB=AG+BG=8.66+2=10.66 米，BE=BDDE=14 2=12（米） ， 10.66 12， 没有必要封止 DE 【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用 三角函数解直角三角形 28已知，如图，在 RtACB 中， C=90，AC=
38、4cm ，BC=3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s，点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s，连接 PQ， 若设运动的时间为 t（s） （0 t2） ，解答下列问题： （1）设AQP 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （2）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）求三角形 APQ 的面积就要先确定底边和高的值，底边 AQ 可以根据 Q 的速度和时间 t 表示出来关
39、键是高，可以用 AP 和A 的正弦值来求AP 的长可以用 ABBP 求得，而 sinA 就是 BC：AB 的值，因此表示出 AQ 和 AQ 边上的高后，就可以得出 y 与 t 的函数关系式 （2）如果将三角形 ABC 的周长和面积平分，那么 AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用 t 表示出 CQ，AQ，AP ，BP 的长，那么可以求出此时 t 的值，我们可将 t 的值代入（1）的面积与 t 的关系 式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形 ABC 面积的一半，从而判断出是否存在 这一时刻 【解答】解：（1）过点 P 作 PHAC 于 H APHABC， = ， = ， PH=3 t， y= AQPH= 2t（3 t） = t2+3t （2）不存在 理由：若 PQ 把ABC 周长平分， AP+AQ=BP+BC+CQ （ 5t） +2t=t+3+（4 2t） ，解得 t=1 若 PQ 把ABC 面积平分，则 SAPQ= SABC， t2+3t=3 t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 RtACB 的周长和面积同时平分 【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，此 类问题是 2016 届中考中常见的题目，在解答（2）时要注意进行分类讨论
