1、数学学业水平测试 第 1 页 共 10 页 秘密启用前 2010 学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试 数 学（必修） 本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指 定的位置上. 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液
2、. 不按以上要求作答的答案无效. 4本次考试不允许使用计算器. 5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择 题 ： 本 大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1函数 的定义域为1yx A B C D,11,1, 2直线 的倾斜角为30xy A B C D632356 3已知全集 ，集合 ， ，则1,245,678U,468A1,37BB A B C D ,468,3,2,6 4某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛，他们所有比赛 得分的情况用如图 1 所示的茎叶图表示，则甲、乙两名
3、运动员得分的 平均数分别为 A14、12 B13、12 C14、13 D12、14 5在边长为 1 的正方形 内随机取一点 ，则点 到点 的距离小于 1 的概率为ABCPA012 1 35 58759975 486 甲 乙图 1 数学学业水平测试 第 2 页 共 10 页 A B C D414818 6已知向量 与 的夹角为 ，且 ，则 等于ab201abab A1 B C2 D33 7有一个几何体的三视图及其尺寸如图 2 所示 （单位：cm） ，则该几何体的表面积为 A 21cm B. 5 C. 24c D. 36 8若 ， ， ， ， 2x12 xP2logQxR 则 ， ， 的大小关系是
4、R A B C DQPQPR 9已知函数 的图像()2sin()fx0,2 如图 3 所示，则函数 的解析式是f A 10()2sin6fxx B ()if C ()2sin6fxx D ()if 10一个三角形同时满足：三边是连续的三个自然数；最大角是最小角的 2 倍，则这 个三角形最小角的余弦值为 6 5 主视图 6 5 侧视图 俯视图 图 2 1 O x y 12 图 3 数学学业水平测试 第 3 页 共 10 页 A B C D378347418 二、填空题 ： 本 大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 11圆心为点 ，且过点 的圆的方程为 0,21， 12如图 4，函数
5、 ， ，若输入的 值xf2gx 为 3， 则输出的 的值为 .h 13若函数 是偶函数，则213fxax 函数 的单调递减区间为 14设不等式组 表示的平面区域为 D，若直0,236xy ， 线 上存在区域 D 上的点，则 的取值范围是 kk 三、解答题 ： 本 大题共 6 小题，满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15 （本小题满分 12 分） 在 中，角 ， ， 成等差数列ABCC （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的值2sinsinA 16 （本小题满分 12 分） 某校在高二年级开设了 ， ， 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进ABC 行调查，用分
6、层抽样方法从 ， ， 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查 小组，有关数据见下表（单位：人） 兴趣小组 小组人数 抽取人数 24 xB 36 3C 48 y 否 是 开始()hxf()fg 输出 输入 x 结束 ()hxg 图 4 数学学业水平测试 第 4 页 共 10 页 （1）求 ， 的值；xy （2）若从 ， 两个兴趣小组抽取的人中选 2 人作专题发言，求这 2 人都来自兴趣AB 小组 的概率 17 （本小题满分 14 分） 如图 5，在四棱锥 中，底面 为正方形，PABCDAB 平面 ， ，点 是 的中点PAEP （1）求证： 平面 ； （2）若四面体 的体积为 ，求 的长E23
7、18 （本小题满分 14 分） 已知数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列 的前 项和 na nb2nS （1）求数列 与 的通项公式；nb （2）求数列 的前 项和na 19 （本小题满分 14 分） 直线 与圆 交于 、 两点，记 的面积为 （其中 为ykxb24yABAOBSO 坐标原点） （1）当 ， 时，求 的最大值；0S （2）当 ， 时，求实数 的值1Sk A B C D P E 图 5 数学学业水平测试 第 5 页 共 10 页 20 （本小题满分 14 分） 已知函数 在区间 上有零点，求实数 的取值范213fxaaR1,a 围 2010 学年度广州市高中二年级学生
8、学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A B C D C B 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 11 （或 ） 129 225xy2410xy 13 （或 ） 140, 12， 三、解答题 15本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力满分 12 分 解：（1）在 中， ， ABC 由角 ， ， 成等差数列，得 2BAC 解得 3 （2）方法 1：由 ，
9、即 ，得 sin2A2sin2sinC 所以 或 4C 由（1）知 ，所以 ，即 3B4C512 所以 5sinisin126A icosi44 322 数学学业水平测试 第 6 页 共 10 页 264 方法 2：因为 ， 是 的内角，且 ，ABC2sinAB 所以 或 434 由（1）知 ，所以 ，即 512 以下同方法 1 方法 3：由（1）知 ，所以 3Bsin3A 即 2sincosiA 即 13i2 即 cossinA 即 2 23iA 因为 ， 2cs1i 所以 2nsinA 即 解得 24sisi106i4A 因为角 是 的内角，所以 BCsn 故 6sin4A 16本小题主要
10、考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力满分 12 分 解：（1）由题意可得， ， 32468xy 解得 ， xy （2）记从兴趣小组 中抽取的 2 人为 ， ，从兴趣小组 中抽取的 3 人为 ，A1a2B1b 数学学业水平测试 第 7 页 共 10 页 ， ，则从兴趣小组 ， 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 ，2b3AB12,a ， ， ， ， ， ， ， ，1,a12,13,ab21,ab3,12,b3 共 10 种 23 设选中的 2 人都来自兴趣小组 的事件为 ，则 包含的基本事件有 ，BX12, ， 共 3 种 13,b, 所以 0PX 故选中的 2 人都来自兴趣
11、小组 的概率为 B310 17本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理 论证能力和运算求解能力满分 14 分 （1）证明：连接 交 于点 ，连接 ， DACOE 因为 是正方形，所以点 是 的中点ABB 因为点 是 的中点，EP 所以 是 的中位线O 所以 因为 平面 ， 平面 ，CACE 所以 平面 PBAE （2）解：取 的中点 ，连接 ， DH 因为点 是 的中点，所以 PA 因为 平面 ，所以 平面 CBCD 设 ，则 ，且 ABxPx12Ex 所以 13ECDAVSH 2 3126xx 解得 x 故 的长为 2 AB 18本小题主要考查等差数列、等比
12、数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能 力满分 14 分 解：（1）因为数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，na AB C D P E O O H 数学学业水平测试 第 8 页 共 10 页 所以数列 的通项公式为 na12na 因为数列 的前 项和 bnS 所以当 时， ，2 1n221n 当 时， ，1n1 所以数列 的通项公式为 nb2nb （2）由（1）可知， 1na 设数列 的前 项和为 ，nbnT 则 ， 2135731248n nnT 即 ， 6 ，得 21n nn 21nn ， 32n 所以 16nnT 故数列 的前 项和为 nba1362n 19本小题主要考查直
13、线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力满分 14 分 解：（1）当 时，直线方程为 ，0kyb 设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， A1()x， B2()x， 由 ，解得 ，24xb24， 所以 21B 所以 SA24b 数学学业水平测试 第 9 页 共 10 页 224b 当且仅当 ，即 时， 取得最大值 bS2 （2）设圆心 到直线 的距离为 ，则 O2ykxd1k 因为圆的半径为 ，R 所以 22241ABkdk 于是 ， 22211Sk 即 ，解得 240k3k 故实数 的值为 ， ， ， 3223 20本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨
14、 论的数学思想方法满分 14 分 解法 1：当 时， ，令 ，得 ，是区间 上的零点0a1fx0fx1,1 当 时，函数 在区间 上有零点分为三种情况：, 方程 在区间 上有重根，fx 令 ，解得 或 1430a16a2 当 时，令 ，得 ，不是区间 上的零点 6fx3, 当 时，令 ，得 ，是区间 上的零点 211 若函数 在区间 上只有一个零点，但不是 的重根，yfx, 0fx 令 ，解得 1420fa 2a 若函数 在区间 上有两个零点，则yfx1, 或 .01-,2,041,02fa.01-,2,014,2fa 数学学业水平测试 第 10 页 共 10 页 解得 a 综上可知，实数 的取值范围为 10,2 解法 2：当 时， ，令 ，得 ，是区间 上的零点0afxfx1,1 当 时， 在区间 上有零点 在区213a,23xax 间 上有解 在区间 上有解 1,2x 问题转化为求函数 在区间 上的值域 3y, 设 ，由 ，得 且 1tx1,0,t2013ty 而 2432tyt 设 ，可以证明当 时， 单调递减 gtt0,tgt 事实上，设 ，120 则 ，12121244ttgttt 由 ，得 ， ，即 120t120t12t120gt 所以 在 上单调递减 g, 故 4t 所以 12ygt 故实数 的取值范围为 a0,
