1、北京市西城区 2014-2015 学年度第一学期期末试卷 九年级数学 2015. 1 考 生 须 知 1 本试卷共 6 页，共五道大题， 25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共 32 分，每小题 4 分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1二次函数 的最大值是2(+1)yx A B C1 D22 2
2、如图，四边形 ABCD 内接于O ，E 为 CD 延长线上一点，如果 ADE=120，那么B 等于 A130 B120 C80 D60 3下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B C D 4把抛物线 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线2=+1yx A B33yx C D 21yx 2 5ABC 与ABC 是位似图形，且 ABC 与ABC的位似比是 12，如果ABC 的面 积是 3，那么ABC 的面积等于 A3 B6 C9 D12 6如果关于 x 的一元二次方程 有实数根，那么 m 的取值范围是2104xm Am2 Bm3 Cm 5 Dm5 7如图，在
3、 RtABC 中，ACB= ，AC =12，BC=5，90 CDAB 于点 D，那么 的值是sinBC A B512513 C D32 8如图，在 1010 的网格中，每个小方格都是边长为 1 的小正 方形，每个小正方形的顶点称为格点如果抛物线经过图中 的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物 线的“内接格点三角形” 设对称轴平行于 y 轴的抛物线与 网 格对角线 OM 的两个交点为 A，B，其顶点为 C，如果 ABC 是该抛物线的内接格点三角形， ，且点 A，B，C32 的横坐标 ， ， 满足 ，那么符合上述条件的抛物线条数是AxBCAxBC A7 B8 C14 D16 二、填空
4、题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9在平面直角坐标系 xOy 中，点 在反比例函数 的图象上， x 轴于(2,)An6yxAB 点 B，那么AOB 的面积等于 10如图，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转某个角度得到 ABC，使 ABCB， CB，AC 的延长线相交于点 D， 如果D=28，那么 BC 11如图，点 D 为ABC 外一点，AD 与 BC 边的交点为 E，AE= 3，DE=5，BE=4，要使BDEACE，且点 B，D 的对应点 为 A，C，那么线段 CE 的长应等于 12在平面直角坐标系 xOy 中， ， （其中(,0)Am(,)B ） ，点 P 在以点 为圆心，半径等于
5、 2 的圆0m3,4C 上，如果动点 P 满足 ， （1）线段 的长90ABOP 等于 （用含 m 的代数式表示） ；（2）m 的最小值 为 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13计算： 23tan0cos4in60 14解方程： 21x 15如图，在 中，点 P 在直径 AB 的延长线上，PC，PDO 与 相切，切点分别为点 C，点 D，连接 交 AB 于 点 E如果 的半径等于 ， ，求351tan2PO 弦 的长CD 16如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个 小正方形的顶点叫做格点ABC 的三个顶点 A，B，C 都在格点上，将 绕点 A 顺时针方向旋转 90
6、得到BC AB （1）在正方形网格中，画出 ； （2）计算线段 AB 在旋转到 的过程中所扫过区域的面积 （结果保留 ） 17某商店以每件 20 元的价格购进一批商品，若每件商品售价 a 元，则每天可卖出 件如果商店计划要每天恰好盈利 8000 元，并且要使每天的销售量尽量大，(801)a 求每件商品的售价是多少元 18如果关于 x 的函数 的图象与 x 轴只有一个公共点，求实数 a2()1yaxa 的值 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19如图，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔 P 在它的北偏东 60方向上，在 A 的正东 400 米的 B 处，测得 海中灯塔
7、 P 在它的北偏东 30方向上问：灯塔 P 到环海路 的距离 PC 约等于多少米？（ 取 1.732，结果精确到 1 米）3 20如图，在正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中顶 点 E，F，G 分别在 AB，BC，FD 上 （1）求证：EBFFCD； （2）连接 DH，如果 BC=12，BF =3，求 的值tanHDG 21如图，在O 中，弦 BC，BD 关于直径 AB 所在直线对称E 为半径 OC 上一点， ，3CE 连接 AE 并延长交O 于点 F，连接 DF 交 BC 于点 M （1）请依题意补全图形； （2）求证： ；ACDB （3）求 的值BM 22 已知抛物线 C：
8、 .2=3yx 抛物线 顶点坐标 与 x 轴交点坐标 与 y 轴交点坐标 抛物线 C： 2( )A( )B(1,0(,3) 变换后的抛物线 1 （1）补全表中 A，B 两点的坐标，并在所给的平面直 角坐标系中画出抛物线 C； （2）将抛物线 C 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍， 纵坐标变为原来的 ，可证明得到的曲线仍是12 抛物线， （记为 ） ，且抛物线 1C的顶点是抛1 物 线 C 的顶点的对应点，求抛物线 1对应的函 数 表达式. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 ， 在反比例
9、函数 （m 为常1(,2)A(3,)Bnyx 数）的图象 G 上，连接 AO 并延长与图象 G 的另一个交点为点 C，过点 A 的直线 l 与 x 轴的交点为点 ，过点 C 作 CEx 轴交直线 l 于点 E(1,0)D （1）求 m 的值及直线 l 对应的函数表达式； （2）求点 E 的坐标； （3）求证： BA 24如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，直线 l 经过点 A 并与 AC 垂直当点 P 在直线 l 上运动到某一位置（点 P 不与点 A 重合）时，连接 PC，并将ACP 绕点 C 按逆时针 方向旋转 得到BCQ，记点 P 的对应点为 Q，线段 PA 的长为 m（ ） 60 0
10、 （1） = ；QBC 如图 1，当点 P 与点 B 在直线 AC 的同侧，且 时，点 Q 到直线 l 的距离3 等于 ； （2） 当旋转后的点 Q 恰好落在直线 l 上时，点 P，Q 的位置分别记为 ， 在图 20P 中画出此时的线段 及 ，并直接写出相应 m 的值；0PC0B （3）当点 P 与点 B 在直线 AC 的异侧，且PAQ 的面积等于 34时，求 m 的值 25如图 1，对于平面上不大于 的 ，我们给出如下定义：若点 P 在 的90MONMON 内 部或边界上，作 于点 E， 于点 ，则称 为点 P 相对于PPFEF 的“点角距离” ，记为 MON,d 如图 2，在平面直角坐标系
11、 xOy 中，对于 ，点 P 为第一象限内或两条坐标轴正xOy 半轴上的动点，且满足 5，点 P 运动形成的图形记为图形 G,dPxy （1）满足条件的其中一个点 P 的坐标是 ，图形 G 与坐标轴围成图形的面积 等于 ； （2）设图形 G 与 x 轴的公共点为点 A，已知 ， ，求 的值；(3,4)B(,1)M,dAOB （3）如果抛物线 经过（2）中的 A，B 两点，点 Q 在 A，B 两点之间21ybxc 的抛物线上（点 Q 可与 A，B 两点重合） ，求当 取最大值时，点 Q ,d 的坐标 北京市西城区 2014-2015 学年度第一学期期末 九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015
12、.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A B B C D D B C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 93 10.28 11. 12.（1）m ；（2）3.5 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13解： 2tan0cos4in60 3 分3312 5 分. 14解： 2410x ， ， ， 1 分ab1c 2 分22()42 3 分 2acx 43 原方程的解是 ， 5 分123x23x 15解：连接 OC （如图 1） PC，PD 与 相切，切点分别为点 C，点 D，O OCPC ， 1 分 PC=
13、PD， OPC=OPD CDOP ，CD=2CE 2 分 ，21tanCP 3 分tOE 设 OE=k，则 CE=2k， （ ）5k0 的半径等于 ，3 ，解得 5kk CE=6 4 分 CD=2CE=12 5 分 16 （1）画图见图 2 2 分 （2）由图可知 是直角三角形， AC=4，BC=3，ABC 所以 AB=5 3 分 线段 AB 在旋转到 的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为 90，半径为 5 4 分 22154ABS扇 形 5 分 所以线段 AB 在旋转到 的过程中所扫过区域的面积为 AB 254 17解：根据题意，得 （20a80） 1 分(20)81)0aa 整理
14、，得 14 可得 (4)6 解方程，得 ， 310a2 分 当 时， （件） 148104 当 时， （件） 260a62a 图 1 图 2 因为要使每天的销售量尽量大，所以 4 分40a 答：商店计划要每天恰好盈利 8000 元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售 价应是 40 元 5 分 18解：（1）当 时，函数 的图象与 x 轴只有一个公共点成立10a21yx 分 （2）当 a0 时，函数 是关于 x 的二次函数2()aa 它的图象与 x 轴只有一个公共点， 关于 x 的方程 有两个相等的实数根 2 分2()10x 3 分()410a 整理，得 23 解得 5 分 综上， 或 0
15、a3 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19解：如图 3，由题意，可得PAC =30，PBC=60 2 分 30APBCPA PAC=APB PB=AB= 400 3 分 在 RtPBC 中，PCB=90，PBC =60，PB=400 ， 346（米） 4 分sin40246. 答：灯塔 P 到环海路的距离 PC 约等于 346 米 5 分 20 （1）证明：如图 4 正方形 ABCD，正方形 EFGH， B=C=90 ，EFG =90， BC=CD，GH=EF=FG 又 点 F 在 BC 上，点 G 在 FD 上， DFC+EFB=90，DFC+FDC=90， EFB = FD
16、C 1 分 EBFFCD 2 分 （2）解： BF=3，BC=CD=12， CF=9， 25DFC 由（1）得 BE 3 分39124 图 4 FGHE DCBAFG HE DCBAFGHE DCBA 图 3 4 分2154GHFEBF 45D 5 分1tan3 21 （1）补全图形见图 51 分 （2）证明： 弦 BC，BD 关于直径 AB 所在直线对称， DBC=2ABC 2 分 又 ，2AOCB 3 分D （3）解： ， A= D 又 ， AOEDBM 4 分 OEBM ，OA =OC ，3C 13DA 弦 BC，BD 关于直径 AB 所在直线对称， BC=BD 5 分13BMC 22解
17、：（1） ， 2(,4)A(,0) 分 画图象见图 6 3 分 （2）由题意得变换后的抛物线 的相关点的坐标如下表所示：1C 抛物线 顶点坐标 与 x 轴交点坐标 与 y 轴交点坐标 变换后的抛物线 1(2,)A(6,0)B (2,(0,1.5) 设抛物线 对应的函数表达式为 （a 0）Cyax 抛物线 与 y 轴交点的坐标为 ，1(0,1.5) 342a 解得 8 5 分22113()yxx BF=BF 图 5 图 6 抛物线 对应的函数表达式为 1C2138yx 说明：其他正确解法相应给分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 2
18、3解：（1） 点 在反比例函数 （m 为常数）的图象 G 上，(,2)Ayx 11m 分 反比例函数 （m 为常数）对应的函数表达式是 yx yx 设直线 l 对应的函数表达式为 （k ，b 为常数，k0） yx 直线 l 经过点 ， ，1(,2)A(,0)D 解得 1,20.kb4,.kb 直线 l 对应的函数表达式为 2yx 分 （2）由反比例函数图象的中心对称性可知点 C 的坐标为 3 分1(,2) CEx 轴交直线 l 于点 E， ECy 点 E 的坐标为 4 分3(,2) （3）如图 7，作 AFCE 于点 F，与过点 B 的 y 轴的垂线交于点 G，BG 交 AE 于点 M， 作
19、CHBG 于点 H，则 BHCE ， BCH ， ， ，1(,2)A(,2)C3(,)E 点 F 的坐标为 1, CF=EF AC=AE ACE = AEC 5 分 点 在图象 G 上，(3,)Bn ，1 图 7 ， ， 1(3,)B(,)23G1(,)H 在 Rt ABG 中， ， 23tan1AB 在 Rt BCH 中， ， 23tan1CH 6ABH 分 CE ， ， MABECABHCAEBC BAE =ACB 7 分 24解：（1） = 90 ； 1Q 分 m=3 时，点 Q 到直线 l 的距离等于 2 分32+ （2）所画图形见图 8 3 分 4 分43 （3）作 BGAC 于点
20、G，过点 Q 作直线 l 的垂线交 l 于点 D，交 BG 于点 F CA 直线 l， CAP =90 易证四边形 ADFG 为矩形 等边三角形 ABC 的边长为 4， ACB =60 ， ， 12DFAGC1302CBGA 将ACP 绕点 C 按逆时针方向旋转 得到 BCQ，60 ACPBCQ AP = BQ = m，PAC =QBC=90 QBF=60 在 RtQBF 中，QFB=90 ， QBF=60 ，BQ=m， 图 8 532QFm 分 要使PAQ 存在，则点 P 不能与点 A， 重合，所以点 P 的位置分为以下0P 两 种情况： 如图 9，当点 P 在（2）中的线段 上（点 P 不
21、与点 A， 重合）时，0A0 可得 ，此时点 Q 在直线 l 的下方430m 2DQFm ，134APS (2)m 整理，得 330 解得 或 12 经检验， 或 在 的范围内，均符合题意 7 分3m403m 如图 10，当点 P 在（2）中的线段 的延长线上（点 P 不与点 A，0AP 重合）时，可得 ，此时点 Q 在直线 l 的上方043 2DQFm ，124APS . 3() 整理，得 230m 解得 （舍负） 1 经检验， 在 的范围内，符合题意82343 分 综上所述， 或 或 时，PAQ 的面积等于 34m21 图 9 图 10 25解：（1）满足条件的其中一个点 P 的坐标是 ；
22、 1(5,0) 分 （说明：点 的坐标满足 ， 0x5，0y5 均可）(,)xyxy 图形 G 与坐标轴围成图形的面积等于 2 分2 （2）如图 11，作 MEOB 于点 E，MFx 轴于点 F，则 MF =1，作 MDx 轴， 交 OB 于点 D，作 BKx 轴于点 K 由点 B 的坐标为 ，可求得直线 OB 对应的函数关系式为 (3,4) 43y 点 D 的坐标为 ， ,1314M OB=5， ，sin5BKAO iE 134sin5MD 3 分 8(,)dAOBEMF 4 分 （3） 抛物线 经过 ， 两点，21yxbc(5,0)A(3,)B 解得 205,143.bc2,. 抛物线对应的函数关系式为 5 分215yx 如图 12，作 QGOB 于点 G，QHx 轴于点 H作 QNx 轴，交 OB 于点 N 设点 Q 的坐标为 ，其中 3m5，(,)n 则 21Hn 同（2）得 4sisin5NGAOB 图 11 点 N 的坐标为 ， 3(,)4n34NQmn si)5QG 35mn 4342(,)55dAOBQHmnn 21()285 11(4)m 当 （在 3m5 范围内）时， 取得最大值（ ） 4,dQAOB215 6 分 此时点 Q 的坐标为 7(4,)2 分 图 12
