1、2014-2015 学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题 10 个，每小题 3 分，共 30 分） 1下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A 等边三角形 B 平行四边形 C 正五边形 D 正方形 2若ABC 相似A BC，面积比为 1：2，则 ABC 与AB C的相似比为（ ） A 1： B 1：4 C 4：1 D ：1 3 “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ） A 必然事件 B 随机事件 C 确定事件 D 不可能事件 4如果一个扇形的半径是 1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 5一元
2、二次方程 x22x=m 总有实数根，则 m 应满足的条件是（ ） A m1 B m=1 C m1 D m1 6二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A a0 B 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根 C c0 D 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 7一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器体积时，气体的 密度也随之改变密度 （单位： kg/m3）与体积 V（单位：m 3）满足函数关系式 = （k 为常数，k0） ，其图象如图所示，那么当 V6m3 时，气体的密度 （单位：kg/m 3）的取值 范围是
3、（ ） A 1.5kg/m3 B 0kg/m31.5kg/m 3 C 1.5kg/m3 D 1.5kg/m 3 8要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，根据场地和时间等条件，计划 共安排 28 场比赛设比赛组织共邀请 x 对参加比赛，则依题意可列方程为（ ） A x（x1）=28 B x（x+1）=28 C x（x1）=28 D x（x+1）=28 9如图，O 是ABC 的外接圆，B=60，AC=8，则 O 的直径 AD 的长度为（ ） A 16 B 4 C D 10如图，点 P（x，y） （x0）是反比例函数 y= （k0）的图象上的一个动点，以点 P 为圆心，OP 为半径的圆与
4、 x 轴的正半轴交于点 A若 OPA 的面积为 S，则当 x 增大时， S 的变化情况是（ ） A S 的值增大 B S 的值减小 C S 的值先增大，后减小 D S 的值不变 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： 12如图，在ABC 中，AB=8，AC=6，D 是 AB 边上的一点，当 AD= 时， ABCACD 13已知 x=2 是方程 x2+mx6=0 的一个根，则方程的另一个根是 14一个布袋中装有只有颜色不同的 a（a12）个小球，分别是 2 个白球、4 个黑球，6 个红球和 b 个黄球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，经
5、过多次重复实验，把摸出 白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整） 根据题中给出的信息，布袋中黄球 的个数为 15把抛物线 y=2x2 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位长度后，所得函数的表达 式为 16如图，半圆 O 的直径 AB 长度为 6，半径 OCAB，沿 OC 将半圆剪开得到两个圆心角 为 90的扇形将右侧扇形向左平移，使得点 A 与点 O，点 O 与点 B 分别重合，则所得图 形中重叠部分的面积为 三、解答题（共 72 题） 17解下列方程 （1）x 2+10x=3 （2）6+3x=x（x+2） 18在如图所示网格图中，已知ABC 和点 M（1，2） （1）在网格
6、中以点 M 为位似中心，画出ABC ，使其与ABC 的位似比为 1：2 （2）写出ABC的各顶点坐标 19如图，一次函数 y=x+b 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与反比例函数 y= （k0） 交于点 C，A 点坐标为（2，0） ，B 点是线段 AC 的中点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式， （2）根据图象写出，在第二象限内，一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围 20双十一期间，某商厦为了促销，将两张形状完全相同的图片（如图 1）从中间剪开， 再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起（如图 2） ，放到一个暗箱中，如果顾客在该 商厦一次购物满 300 元，就可以获
7、得一次抽奖机会，其规则是：从四张图片中随机摸取一 张，接着再随机摸取一张，如果抽出的两张小图片恰好能合成一张完整的图片，则可以返 还 20 元的购物券，问：一次抽奖，顾客获得购物券的概率是多少？ 21某商场经营某种电子产品，平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了实现每天的平 均利润增长 40%的目标，该商场的市场都经过调查得知，若每件商品每降价 1 元，商场平 均每天可多售出 2 件该电子产品问：每件商品降价多少元时，商场可以实现所提出的利 润增长目标？ 22 （10 分） （2014 秋 孝义市期末）如图，在 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，交 A
8、C 于点 G，过点 D 作 DEAC 于点 E，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F （1）判断直线 EF 与 O 的位置关系，并说明理由 （2）若 AB=13，BC=10 求 AE 的长 23 （12 分） （2014 秋 孝义市期末） 【实验观察】 （1）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为 10） ，猜想其中哪两个数的乘积最大（只写 出结论即可） ，1 9，2 8，37，82，91 （2）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为 100） ，猜想其中哪两个数的乘积最大（只 写出结论即可） 45 55，4654，4753，5446，5545 【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个
9、正乘数的和为 m（m 0） ，你认 为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用所学知识说明你的猜想的正确性 【拓展应用】小明欲制作一个四边形的风筝（如图所示） ，他想用长度为 1.8m 的竹签制作 风筝的骨架 AB 与 CD（AB CD） ，为了使风筝在空中能获得更大的浮力，他想把风筝的表 面积（四边形 ADBC 的面积）制作到最大根据上面的结论，求当风筝的骨架 AB、CD 的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？ 24 （12 分） （2014 秋 孝义市期末）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用特别是在解 （证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用 旋转
10、交换等知识，解决下面的问题 如图 1，ABC 与DCE 均为等腰直角三角形， DC 与 AB 交于点 M，CE 与 AB 交于点 N （1）以点 C 为中心，将ACM 逆时针旋转 90，画出旋转后的A CM （2）在（1）的基础上，证明 AM2+BN2=MN2 （3）如图 2，在四边形 ABCD 中，BAD=45， BCD=90，AC 平分BCD，若 BC=4，CD=3，则对角线 AC 的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问 题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等） 2014-2015 学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题 1
11、0 个，每小题 3 分，共 30 分） 1下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A 等边三角形 B 平行四边形 C 正五边形 D 正方形 考点： 中心对称图形；轴对称图形 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确 故选 D 点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原 图
12、重合 2若ABC 相似A BC，面积比为 1：2，则 ABC 与AB C的相似比为（ ） A 1： B 1：4 C 4：1 D ：1 考点： 相似三角形的性质 分析： 由ABC 相似A BC，面积比为 1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平 方，即可求得答案 解答： 解：ABC 相似AB C，面积比为 1：2， ABC 与ABC的相似比为：1： 故选 A 点评： 此题考查了相似三角形的性质此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键 3 “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ） A 必然事件 B 随机事件 C 确定事件 D 不可能事件 考点： 随机事件 分析： 根据随机事件的定义，
13、随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断 解答： 解：抛 1 枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上， 故抛 1 枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件 故选 B 点评： 本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物， 并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单 4如果一个扇形的半径是 1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 考点： 弧长的计算 专题： 压轴题 分析： 根据弧长公式 l= ，即可求解 解答： 解：设圆心角是 n 度，根据题意得 = ， 解得：n=60 故选：C 点评： 本题考查
14、了扇形的弧长公式，是一个基础题 5一元二次方程 x22x=m 总有实数根，则 m 应满足的条件是（ ） A m1 B m=1 C m1 D m1 考点： 根的判别式 专题： 计算题 分析： 由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，求出 m 的范围即可 解答： 解：一元二次方程 x22xm=0 总有实数根， =4+4m0， 解得：m1， 故选 C 点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有实数根即为根的判别式大于等于 0 6二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A a0 B 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根 C
15、 c0 D 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 考点： 二次函数的性质 专题： 数形结合 分析： 根据抛物线开口方向对 A 进行判断；根据抛物线顶点坐标对 B 进行判断；根据抛 物线与 y 轴的交点位置对 C 进行判断；根据二次函数的性质对 D 进行判断 解答： 解：A、抛物线开口向下，则 a0，所以 A 选项错误； B、因为抛物线当 x=1 时，二次函数有最大值 3，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 有 两个相等的实数根为 x1=x2=1，所以 B 选项正确； C、抛物线与 x 轴的交点在 x 轴上方，则 c0，所以 C 选项错误； D、当 x1 时，y 随 x 的增大而
16、减小，所以 D 选项错误 故选 B 点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（ ， ） ，对称轴直线 x= ，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的开口向上，x 时，y 随 x 的增大而减小；x 时，y 随 x 的增大而增大；x= 时，y 取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低 点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的开口向下，x 时，y 随 x 的增大而增大； x 时， y 随 x 的增大而减小； x= 时，y 取得最大值 ，即顶点是抛物线的最 高点 7一个可以改
17、变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器体积时，气体的 密度也随之改变密度 （单位： kg/m3）与体积 V（单位：m 3）满足函数关系式 = （k 为常数，k0） ，其图象如图所示，那么当 V6m3 时，气体的密度 （单位：kg/m 3）的取值 范围是（ ） A 1.5kg/m3 B 0kg/m31.5kg/m 3 C 1.5kg/m3 D 1.5kg/m 3 考点： 反比例函数的应用 分析： 由图象可知，反比例函数图象经过点（6，1.5） ，利用待定系数法求出函数解形式 即可求得 k 值，然后根据 V6m3 求解即可 解答： 解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5） ， 设
18、反比例函数为 = ， 则 1.5= ， 解得 k=9， 所以解析式为：= ， 当 V=6 时，求得 =1.5， 故选 B 点评： 此题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式同学们要认真观察图象 8要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，根据场地和时间等条件，计划 共安排 28 场比赛设比赛组织共邀请 x 对参加比赛，则依题意可列方程为（ ） A x（x1）=28 B x（x+1）=28 C x（x1）=28 D x（x+1）=28 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程 分析： 设比赛组织共邀请 x 对参加比赛，则每队参加（x1）对比赛，但 2 队之间只有 1 场比赛，根据共安排
19、28 场比赛，列方程即可 解答： 解：设比赛组织共邀请 x 对参加比赛，则每队参加（x1）对比赛， 由题意得， x（x1）=28 故选 A 点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未 知数，找出合适的等量关系，列方程 9如图，O 是ABC 的外接圆，B=60，AC=8，则 O 的直径 AD 的长度为（ ） A 16 B 4 C D 考点： 圆周角定理；勾股定理 分析： 首先连接 CD，由 AD 是O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 ACD=90，又由圆周角定理，可得D= B=60，然后利用三角函数，求得 O 的直径 AD 的长度 解答： 解：连接
20、 CD， AD 是 O 的直径， ACD=90， D=B=60，AC=8， AD= = 故选 D 点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注 意掌握数形结合思想的应用 10如图，点 P（x，y） （x0）是反比例函数 y= （k0）的图象上的一个动点，以点 P 为圆心，OP 为半径的圆与 x 轴的正半轴交于点 A若 OPA 的面积为 S，则当 x 增大时， S 的变化情况是（ ） A S 的值增大 B S 的值减小 C S 的值先增大，后减小 D S 的值不变 考点： 反比例函数系数 k 的几何意义 专题： 计算题 分析： 作 PBOA 于 B，如图，根据垂
21、径定理得到 OB=AB，则 SPOB=SPAB，再根据反 比例函数 k 的几何意义得到 SPOB= |k|，所以 S=2k，为定值 解答： 解：作 PBOA 于 B，如图， 则 OB=AB， SPOB=SPAB， SPOB= |k|， S=2k， S 的值为定值 故选 D 点评： 本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= 图象中任取一点，过 这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： y= 考点： 反比例函数的性质 专题： 开放型 分析： 根据反
22、比例函数的性质可得 k0，写一个 k0 的反比例函数即可 解答： 解：图象在第二、四象限， y= ， 故答案为：y= 点评： 此题主要考查了反比例函数 （k0） ， （1）k0，反比例函数图象在一、三象限； （2）k0，反比例函数图象在第二、四象限内 12如图，在ABC 中，AB=8，AC=6，D 是 AB 边上的一点，当 AD= 时， ABCACD 考点： 相似三角形的判定 分析： 根据相似三角形的对应边成比例即可得出 AD 的长 解答： 解：ABCACD，AB=8，AC=6 ， = ，即 = ， 解得 AD= 故答案为： 点评： 本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对
23、应相等的两个 三角形相似是解答此题的关键 13已知 x=2 是方程 x2+mx6=0 的一个根，则方程的另一个根是 3 考点： 根与系数的关系 专题： 计算题 分析： 根据根与系数的关系得到2 x1=6，然后解一次方程即可 解答： 解：设方程另一个根为 x1，根据题意得2 x1=6， 所以 x1=3 故答案为 3 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 14一个布袋中装有只有颜色不同的 a（a12）个小球，分别是 2 个白球、4 个黑球，6 个红球和 b 个黄球，从中任意摸出一个球，记下颜色后
24、放回，经过多次重复实验，把摸出 白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整） 根据题中给出的信息，布袋中黄球 的个数为 8 考点： 利用频率估计概率 分析： 首先根据黑球数 总数=摸出黑球的概率，再计算出摸出白球，黑球，红球的概率 可得答案 解答： 解：球的总数：4 0.2=20（个） ， 2+4+6+b=20， 解得：b=8， 故答案为：8 点评： 此题主要考查了概率和条形统计图，关键是掌握概率 P（A）=事件 A 可能出现的 结果数所有可能出现的结果数 15把抛物线 y=2x2 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位长度后，所得函数的表达 式为 y= 2（x+1） 22 考点：
25、 二次函数图象与几何变换 专题： 几何变换 分析： 先确定抛物线 y=2x2 的顶点坐标为（0，0） ，再根据点平移的规律得到点（0，0） 平移后所得对应点的坐标为（1， 2） ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 解答： 解：抛物线 y=2x2 的顶点坐标为（0，0） ，把点（0，0）向左平移 1 个单位，再向 下平移 2 个单位长度所得对应点的坐标为（1， 2） ，所以平移后的抛物线解析式为 y=2（x+1） 22 故答案为 y=2（x+1） 22 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求
26、出原抛物线上任意两点平移后 的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 16如图，半圆 O 的直径 AB 长度为 6，半径 OCAB，沿 OC 将半圆剪开得到两个圆心角 为 90的扇形将右侧扇形向左平移，使得点 A 与点 O，点 O 与点 B 分别重合，则所得图 形中重叠部分的面积为 3 考点： 扇形面积的计算 分析： 连接 AE，作 EDAB 于点 D，S 扇形 SADE，即可求得弧 BE 和 BD 以及 DE 围成 的阴影部分的面积，则阴影部分的面积即可求得 解答： 解：连接 AE，作 EDAB 于点 D AE=AB=2AD， AED=30， EAB=60
27、， S 扇形 = = ， 在直角ADE 中，DE= = = ，则 S ADE= = ， 则弧 BE 和 BD 以及 DE 围成的阴影部分的面积是： ， 则 S 阴影 =2（ ）=3 故答案是：3 点评： 本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面 积的和、差计算，是关键 三、解答题（共 72 题） 17解下列方程 （1）x 2+10x=3 （2）6+3x=x（x+2） 考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法 专题： 计算题 分析： （1）方程整理后，利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可 解答： 解：（1）配方得：
28、x 2+10x+25=28，即（x+5） 2=28， 开方得：x+5= 2 ， 解得：x 1=2 5，x 2=2 5； （2）方程变形得：3（x+2）x（x+2）=0， 分解因式得：（x+2） （3 x）=0， 可得 x+2=0 或 3x=0， 解得：x 1=2，x 2=3 点评： 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键 18在如图所示网格图中，已知ABC 和点 M（1，2） （1）在网格中以点 M 为位似中心，画出ABC ，使其与ABC 的位似比为 1：2 （2）写出ABC的各顶点坐标 考点： 作图-位似变换 分析： （1）利用位似图形的性质结合位似比的位
29、置得出对应点位置进而得出答案； （2）利用所画图形得出各对应点坐标 解答： 解：（1）如图所示：AB C，即为所求； （2）如图所示：A（2，4） ，B（3，2） ，C （6，3） 点评： 此题主要考查了位似变换，得出对应点位置是解题关键 19如图，一次函数 y=x+b 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与反比例函数 y= （k0） 交于点 C，A 点坐标为（2，0） ，B 点是线段 AC 的中点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式， （2）根据图象写出，在第二象限内，一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： （1）把 A 点坐
30、标代入一次函数解析式可求得 b 的值，可得到一次函数解析式，则 可求得 B 点坐标，结合中点，可求得 C 点坐标，代入反比例函数解析式可求得 k 的值，可 得到反比例函数解析式； （2）可先求得两函数图象另一交点坐标，结合图象可得到一次函数图象在反比例函数图象 的下方对应的 x 的取值，可得到答案 解答： 解： （1）一次函数图象过 A 点， 0=2+b，解得 b=2， 一次函数解析式为 y=x+2， B 点坐标为（0，2） ， 又 B 为线段 AC 的中点， 如图，过点 C 作 CDx 轴， 由中位线定理可知 CD=2OB=4， 即 C 点纵坐标为 4，又 C 点在一次函数图象上， 代入可得
31、 4=x+2，解得 x=2， C 点坐标这（2，4） ， 又 C 点在反比例函数图象上， k=24=8， 反比例函数解析式为 y= ； （2）联立两函数解析式可得 ，解得 或 ， 两函数图象的另一交点坐标为（4，2） ， 当一次函数值小于反比例函数值时，即一次函数图象在反比例函数图象的下方， 结合图象可知 x 的取值范围为：2x0 或 x4 点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点，求得 C 点坐标是求反比例函 数解析式的关键，求得另一个交点坐标是（2）的关键注意数形结合思想的应用 20双十一期间，某商厦为了促销，将两张形状完全相同的图片（如图 1）从中间剪开， 再把得到的四张形状
32、相同的小图片混合在一起（如图 2） ，放到一个暗箱中，如果顾客在该 商厦一次购物满 300 元，就可以获得一次抽奖机会，其规则是：从四张图片中随机摸取一 张，接着再随机摸取一张，如果抽出的两张小图片恰好能合成一张完整的图片，则可以返 还 20 元的购物券，问：一次抽奖，顾客获得购物券的概率是多少？ 考点： 列表法与树状图法 分析： 首先设四张小图片分别用 A，a，B，b 表示，然后根据题意画树状图，再由树状图 求得所有等可能的结果与一次抽奖，顾客获得购物券的情况，再利用概率公式即可求得答 案 解答： 解：设四张小图片分别用 A，a，B，b 表示， 画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，一次
33、抽奖，顾客获得购物券有 4 种情况， 一次抽奖，顾客获得购物券的概率是： = 点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 况数之比 21某商场经营某种电子产品，平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了实现每天的平 均利润增长 40%的目标，该商场的市场都经过调查得知，若每件商品每降价 1 元，商场平 均每天可多售出 2 件该电子产品问：每件商品降价多少元时，商场可以实现所提出的利 润增长目标？ 考点： 一元二次方程的应用 专题： 销售问题 分析： 分别表示出单件的利润和销售量，利用单件利润销售量=总利润列出方程求解 解答： 解：设每件商品降价 x 元
34、时，商场可以实现利润增长目标 由题意得：（50x） （30+2x）=3050140%， 解得：x=20 或 x=15 答：当每件商品降价 20 元或 15 元时，商场可以实现所提出的利润增长目标 点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是看出降价和销售量的关系，然后以利 润做为等量关系列方程求解 22 （10 分） （2014 秋 孝义市期末）如图，在 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 G，过点 D 作 DEAC 于点 E，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F （1）判断直线 EF 与 O 的位置关系，并说明理由 （2）若 AB=13，B
35、C=10 求 AE 的长 考点： 切线的判定 分析： （1）首先连接 OD，由 AB=AC，OB=OD，易得 ABD=ODB=C，继而可得 ODAC，然后由 DEAC，证得 DEOD，则可得直线 EF 与O 相切 （2）首先连接 AD，由圆周角定理，可得ADB=90，然后由三线合一，可求得 BD 的长， 再由勾股定理，求得 AD 的长，易证得AEDADC ，然后由相似三角形的对应边成比例， 求得答案 解答： 解：（1）直线 EF 与 O 相切 理由：连接 OD， AB=AC，OB=OD ， ABC=C， OBD=ODB， ODB=C， ODAC， DEAC， ODDE， 直线 EF 与O 相切
36、 （2）连接 AD， AB 为O 的直径， ADB=90， AB=AC， BD=DC= BC=5， AD= = =12， DAC=DAC，ADC=AED=90， AEDADC， ， 即 ， 解得：AE= 点评： 此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理以及相 似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想 的应用 23 （12 分） （2014 秋 孝义市期末） 【实验观察】 （1）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为 10） ，猜想其中哪两个数的乘积最大（只写 出结论即可） ，1 9，2 8，37，82，91 （2）观察下列两个数的乘积
37、（两个乘数的和为 100） ，猜想其中哪两个数的乘积最大（只 写出结论即可） 45 55，4654，4753，5446，5545 【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为 m（m 0） ，你认 为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用所学知识说明你的猜想的正确性 【拓展应用】小明欲制作一个四边形的风筝（如图所示） ，他想用长度为 1.8m 的竹签制作 风筝的骨架 AB 与 CD（AB CD） ，为了使风筝在空中能获得更大的浮力，他想把风筝的表 面积（四边形 ADBC 的面积）制作到最大根据上面的结论，求当风筝的骨架 AB、CD 的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
38、 考点： 二次函数的应用 分析： （1）由列举法就可以得出 55=25 最大； （2）同样由列举法可以得出 5050=2500 最大； 猜想验证，当两个数的和为 m 时，当两个数分别为 时，乘积最大设这两个数的乘积为 n，其中一个数为 x，另一个数为 mx，就有 n=x（mx） ，由二次函数的性质就可以求出结 论； 拓展运用，设 AB=a，则 CD=1.8a，风筝的表面积为 w，由三角形的面积公式就可以得出 结论 解答： 解：（1）由题意，得 19=9，28=16，3 7=21，46=24，5 5=25 64=24，73=21，8 2=16，91=9， 55=25 最大， 答：55=25 的乘
39、积最大； （2）由题意，得 4555=2475，46 54=2484，4753=2491，4852=2496，4951=2499，5050=2500， 5149=2499，52 48=2496，5347=2491，5446=2484，5545=2475 5050=2500 最大， 答：5050=2500 的乘积最大； 猜想验证，若两个数的和为 m，当两个数分别为 时，乘积最大 理由：设这两个数的乘积为 n，其中一个数为 x，另一个数为 mx，由题意，得 n=x（mx） ， n=x2+mx， n=（x ） 2+ ； a=10， 当 x= 时，n 最大 = 拓展运用，设 AB=a，则 CD=1.8
40、a，风筝的表面积为 w，由题意，得 w=a（1.8 a） ， w=a2+1.8a， w=（ a0.9） 2+0.81， a=10， a=0.9 时，w 最大 =0.81， 当 AB=CD=0.9 时，风筝的表面积能达到最大 点评： 本题考查了列举法的运用，二次函数的运用，二次函数的顶点式的运用，二次函数 解实际问题的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键 24 （12 分） （2014 秋 孝义市期末）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用特别是在解 （证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用 旋转交换等知识，解决下面的问题 如图 1，ABC 与DCE 均为等腰
41、直角三角形， DC 与 AB 交于点 M，CE 与 AB 交于点 N （1）以点 C 为中心，将ACM 逆时针旋转 90，画出旋转后的A CM （2）在（1）的基础上，证明 AM2+BN2=MN2 （3）如图 2，在四边形 ABCD 中，BAD=45， BCD=90，AC 平分BCD，若 BC=4，CD=3，则对角线 AC 的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问 题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等） 考点： 几何变换综合题 分析： （1）根据旋转的性质画出图形即可； （2）连接 MN，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可； （3）将ADC 顺时针旋
42、转 90到ACD，连接 CC，利用等腰直角三角形的性质和全等三 角形的判定和性质进行解答 解答： 解：（1）旋转后的ACM如图 1 所示： （2）连接 MN， ABC 与DCE 为等腰直角三角形， ACB=90，DCE=45 ， A=CBA=45， ACM+BCN=45， BCM是由 ACM 旋转得到的， BCM=ACM，CM=CM，AM=BM ， CBM=A=45， MCN=MCN=45，NBM=90， CN=CN， 在MCN 与MCN 中， ， MCNMCN（SAS） ， MN=MN， 在 RTBMN 中，根据勾股定理得：MN 2=BN2+BM2， MN2=AM2+BN2； （3）如图 2，将ADC 顺时针旋转 90到ACD，连接 CC， 则ACC 是等腰直角三角形，CD=3 ， C=ACB=45， C，D，B，C 均在同一直线上， 在DAB 与 DAB 中， ， DABDAB（SAS） ， DB=DB， 在 RTBCD中， BC=4，CD=3， DB=5， CC=12， AC=6 点评： 此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等 三角形的判定和性质解答
