1、2014-2015 学年山东省聊城市冠县金太阳中学九年级（上）期 末数学试卷（1） 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：1.5，则坝底 AD 的长度为（ ） A26 米 B28 米 C30 米 D46 米 2如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，E 为 AB 上一点且 AE：EB=4：1，EFAC 于 F，连接 FB，则 tanCFB 的值等于（ ） A B C D 3如图，在ABC 中，两条中线 BE、CD 相交于点 O，则 SDOE ：S COB =（ ） A1：4 B
2、2：3 C1：3 D1：2 4关于 x 的一元二次方程（m1）x 2+5x+m23m+2=0 的常数项为 0，则 m 等于（ ） A1 B2 C1 或 2 D0 5二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点 在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6用配方法解方程：x 24x+2=0，下列配方正确的是（ ） A （x2） 2=2 B （x+2） 2=2C （x2） 2=2 D （x2） 2=6 7如图，ABC 的顶点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC 于点 D则 BD 的长为（ ） A B C D 8在平面直角坐标系中，若将抛物线 y=2x2
3、分别向上、向右平移 2 个单位，则新抛物线的 解析式是（ ） Ay=2（x2） 2+2 By=2（x+2） 22 Cy=2（x2） 22 Dy=2（x+2） 2+2 9在同一直角坐标系中，函数 y=kxk 与 y= （k0）的图象大致是（ ） A B C D 10O 的直径 AB=10cm，弦 CDAB，垂足为 P若 OP：OB=3：5，则 CD 的长为（ ） A6cm B4cm C8cm D cm 11某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元已知两次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A100（1+x） 2=81 B100（1x） 2=81 C100（1x%
4、） 2=81 D100x 2=81 12如图，O 是ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F，已知A=100，C=30，则 DFE 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 13函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 14如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点若 AD=6，DE=5，则 CD 的长等于 15如图是反比例函数的图象，O 为原点，点 A 是图象上任意一点，AMx 轴，垂足为 M， 如果AOM 的面积为 2，那么反比例函数的解析式是 16如图抛物线 y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点（
5、1，0） ，则抛物线与 x 轴的另一个 交点坐标是 17如图，点 O 是ABC 的内心，A=50，则BOC= 18已知扇形的弧长是 2，半径为 10cm，则扇形的面积是 cm 2 19体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 y= x2+x+12 的一部分，该同学的成绩是 20在直角三角形中，若两条直角边长分别为 6cm 和 8cm，则三角形的内切圆半径与外接 圆半径之比为 三、解答题（共 60 分） 21解方程： （1） （x+1） （x3）=12 （2）3（x5） 2=2（5x） 22如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E
6、，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF= CAB （1）求证：直线 BF 是O 的切线； （2）若 AB=5，sinCBF= ，求 BC 的长 23如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A（2，1） ，B（1，n） 两点 （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB 的面积 24如图，一艘核潜艇在海面 DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30正前方的海底 C 点处有 黑匣子，继续在同一深度直线航行 1464 米到 B 点处测得正前方 C 点处的俯角为 45求 海底 C 点处距离海面 DF 的深度（结果精确到个位，参考数据： 1.414， 1.7
7、32， 2.236） 25某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售， 增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每 降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件； （1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 26如图，已知等边ABC，AB=12，以 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点 D，过点 D 作 DFAC，垂足为 F，过点 F 作 FGAB，垂足为 G，连结 GD （1）求证：DF 是O 的切线； （2）求 FG 的长； （3）求 tanFG
8、D 的值 2014-2015 学年山东省聊城市冠县金太阳中学九年级 （上）期末数学试卷（1） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：1.5，则坝底 AD 的长度为（ ） A26 米 B28 米 C30 米 D46 米 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 专题： 几何图形问题 分析： 先根据坡比求得 AE 的长，已知 CB=10m，即可求得 AD 解答： 解：坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：1.5， AE=1.5BE=18 米， BC=10 米，
9、AD=2AE+BC=218+10=46 米， 故选：D 点评： 此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况， 将相关的知识点相结合更利于解题 2如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，E 为 AB 上一点且 AE：EB=4：1，EFAC 于 F，连接 FB，则 tanCFB 的值等于（ ） A B C D 考点： 锐角三角函数的定义 分析： tanCFB 的值就是直角BCF 中，BC 与 CF 的比值，设 BC=x，则 BC 与 CF 就可以用 x 表示出来就可以求解 解答： 解：根据题意：在 RtABC 中，C=90，A=30， EFAC， EFBC， A
10、E：EB=4：1， =5， = ， 设 AB=2x，则 BC=x，AC= x 在 RtCFB 中有 CF= x，BC=x 则 tanCFB= = 故选：C 点评： 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边 比斜边；正切等于对边比邻边 3如图，在ABC 中，两条中线 BE、CD 相交于点 O，则 SDOE ：S COB =（ ） A1：4 B2：3 C1：3 D1：2 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 专题： 计算题 分析： 根据三角形的中位线得出 DEBC，DE= BC，根据平行线的性质得出相似，根据相 似三角形的性质求出即可 解答： 解：BE
11、和 CD 是ABC 的中线， DE= BC，DEBC， = ，DOECOB， =（ ） 2=（ ） 2= ， 故选：A 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形 的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 4关于 x 的一元二次方程（m1）x 2+5x+m23m+2=0 的常数项为 0，则 m 等于（ ） A1 B2 C1 或 2 D0 考点： 一元二次方程的一般形式 专题： 计算题 分析： 根据一元二次方程成立的条件及常数项为 0 列出方程组，求出 m 的值即可 解答： 解：根据题意，知， ， 解方程得：m=2 故选：B
12、 点评： 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽 视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别 叫二次项系数，一次项系数，常 数项 5二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点 在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 考点： 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题 分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系， 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交
13、点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答： 解：根据图象可得：a0，b0，c0， 0， 点 Q 在第三象限 故选 C 点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，正确根据函数的图象确定 a，b，c 的符 号是关键 6用配方法解方程：x 24x+2=0，下列配方正确的是（ ） A （x2） 2=2 B （x+2） 2=2C （x2） 2=2 D （x2） 2=6 考点： 解一元二次方程-配方法 专题： 配方法 分析： 在本题中，把常数项 2 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4 的一半的 平方 解答： 解：把方程 x24x+2=0 的常数项移到等号的右边，得到 x24x=2， 方程两
14、边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x24x+4=2+4， 配方得（x2） 2=2 故选：A 点评： 配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的 倍数 7如图，ABC 的顶点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC 于点 D则 BD 的长为（ ） A B C D 考点： 勾股定理；三角形的面积 专题： 计算题 分析： 利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得 BD 的长度 解答： 解：如图，由勾股定
15、理得 AC= = BC2= ACBD，即 22= BD BD= 故选：C 点评： 本题考查了勾股定理，三角形的面积利用面积法求得线段 BD 的长度是解题的关 键 8在平面直角坐标系中，若将抛物线 y=2x2分别向上、向右平移 2 个单位，则新抛物线的 解析式是（ ） Ay=2（x2） 2+2 By=2（x+2） 22 Cy=2（x2） 22 Dy=2（x+2） 2+2 考点： 二次函数图 象与几何变换 分析： 易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解 析式 解答： 解：原抛物线的顶点为（0，0） ，分别向上、向右平移 2 个单位，那么新抛物线的 顶点为（2，2）
16、 ； 可设新抛物线的解析式为 y=2（xh） 2+k，代入得：y=2（x2） 2+2， 故选 A 点评： 抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐 标 9在同一直角坐标系中，函数 y=kxk 与 y= （k0）的图象大致是（ ） A B C D 考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象 分析： 根据 k 的取值范围，分别讨论 k0 和 k0 时的情况，然后根据一次函数和反比例 函数图象的特点进行选择正确答案 解答： 解：当 k0 时， 一次函数 y=kxk 经过一、三、四象限， 反比例函数的 y= （k0）的图象经过一、三象限， 故 B 选项的图象符合要求， 当
17、k0 时， 一次函 数 y=kxk 经过一、二、四象限， 反比例函数的 y= （k0）的图象经过二、四象限， 没有符合条件的选项 故选：B 点评： 此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的 k 值 相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与 y 轴的交点与一次函数的常数项相关 10O 的直径 AB=10cm，弦 CDAB，垂足为 P若 OP：OB=3：5，则 CD 的长为（ ） A6cm B4cm C8cm D cm 考点： 垂径定理；勾股定理 专题： 计算题 分析： 连结 OC，先计算出 OP=3cm，再由 CDAB，根据垂径定理得到 CP=DP，然后根据勾 股定理
18、可计算出 PC=4cm，于是得到 CD=8cm 解答： 解：如图 1，连结 OC， 直径 AB=10cm，OP：OB=3：5， OP=3cm， CDAB， CP=DP， 在 RtOPC 中，OC=5，OP=3， PC= =4， CD=2PC=8（cm） 如图 2，与前面的求法一样可得到 CD=8cm 故选 C 点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考 查了勾股定理 11某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元已知两次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A100（1+x） 2=81 B100（1x） 2=81 C100（1x
19、%） 2=81 D100x 2=81 考点： 由实际问题抽象出 一元二次方程 专题： 增长率问题 分析： 若两次降价的百分率均是 x，则第一次降价后价格为 100（1x）元，第二次降价 后价格为 100（1x） （1x）=100（1x） 2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后 的价格=81 元，由此等量关系列出方程即可 解答： 解：设两次降价的百分率均是 x，由题意得： x 满足方程为 100（1x） 2=81 故选：B 点评： 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方 程 12如图，O 是ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F，已知A=100，C=30，则
20、 DFE 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 考点： 三角形的内切圆与内心 专题： 压轴题 分析： 根据三角形的内角和定理求得B=50，再根据切线的性质以及四边形的内角和定 理，得DOE=130，再根据圆周角定理得DFE=65 解答： 解：A=100，C=30， B=50， BDO=BEO， DOE=130， DFE=65 故选 C 点评： 熟练运用三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及切线的性质定理、圆周角 定理 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 13函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x2 考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件 专题
21、： 计算题 分析： 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是： 分母不为 0 解答： 解：要使分式有意义，即：x20， 解得：x2 故答案为：x2 点评： 本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0 14如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点若 AD=6，DE=5，则 CD 的长等于 8 考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线 专题： 计算题 分析： 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得 AC=2DE=10；然后在直角 ACD 中，利用勾股定理来求线段 CD 的长度即可 解答： 解：如图，ABC 中，
22、CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，DE=5， DE= AC=5， AC=10 在直角ACD 中，ADC=90，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得 CD= = =8 故答案是：8 点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边 上的中线 等于斜边的一半求得 AC 的长度是解题的难点 15如图是反比例函数的图象，O 为原点，点 A 是图象上任意一点，AMx 轴，垂足为 M， 如果AOM 的面积为 2，那么反比例函数的解析式是 y= （x0） 考点： 反比例函数系数 k 的几何意义 分析： 根据反比例函数 y= （k0）系数 k 的几何意义得到 SAOM = |k|
23、，则 |k|=2，解 得 k=4，再根据反比例函数的性质得到 k0，所以 k=4，从而求得反比例函数的解析 式 解答： 解：S AOM = |k|， 而 SAOM =2， |k|=2，解得 k=4， 反比例函数的图象在第二象限内， k=4， 该反比例函数的解析式为 y= （x0） ； 故答案为 y= （x0） 点评： 本题考查了反比例函数 y= （k0）系数 k 的几何意义：过反比例函数图象上任意 一点分别作 x 轴、y 轴的垂线，则垂线与坐标 轴所围成的矩形的面积为|k| 16如图抛物线 y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点（1，0） ，则抛物线与 x 轴的另一个 交点坐标是 （
24、3，0） 考点： 抛物线与 x 轴的交点 分析： 根据抛物线与 x 轴交点关于对称轴对称，已知一个交点，即可求得另一个交点的坐 标，即可解题 解答： 解：设另一个交点横坐标为 x， y=x 2+bx+c 的对称轴为 x=1， x+1=12， x=3 故答案为（3，0） 点评： 本题考查了韦达定理的运用，考 查了抛物线与 x 轴交点关于对称轴对称的性质， 本题中运用韦达定理是解题的关键 17如图，点 O 是ABC 的内心，A=50，则BOC= 115 考点： 三角形的内切圆与内心 分析： 利用三角形的内心的性质得出ABO+ACO=OBC+OCB=65，进而得出答案 解答： 解：点 O 是ABC
25、的内心， ABO=OBC，ACO=OCB， A=50， ABC+ACB=130， ABO+ACO=OBC+OCB=65， 则BOC=18065=115 故答案为：115 点评： 此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，根据已知得出 ABO+ACO=OBC+OCB=65是解题关键 18已知扇形的弧长是 2，半径为 10cm，则扇形的面积是 10 cm 2 考点： 扇形面积的计算；弧长的计算 分析： 直接利用扇形面积公式 S= lr 求出即可 解答： 解：扇形的弧长是 2，半径为 10cm， 扇形的面积是：S= lr= 210=10（cm 2） 故答案为：10 点评： 此题主要考查了扇
26、形面积公式，正确记忆扇形面积公式是解题关键 19体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 y= x2+x+12 的一部分，该同学的成绩是 6+6 考点： 二次函数的应用 分析： 成绩是当 y=0 时 x 的值，据此求解 解答： 解：在抛物线 y= x2+x+12 中， 当 y=0 时，x=66 ， 该同学的成绩是 6+6 ， 故答案为：6+6 点评： 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，运 用二次函数解决实际问题，比较简单 20在直角三角形中，若两条直角边长分别为 6cm 和 8cm，则三角形的内切圆半径与外接 圆半径之比为 2：5 考点：
27、 三角形的内切圆与内心 专题： 计算题 分析： 首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再根据其外接圆的半径等于斜边的一半 和内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算 解答： 解：根据勾股定理得，直角三角形的斜边= =10cm 根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，则其外接圆的半径是 5cm， 根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径 是 2cm， 三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为：2：5， 故答案为：2：5 点评： 本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，要求熟记直角三角形外接圆的半径和内 切圆的半径公式：外接圆的半径等于斜边的一半；内
28、切圆的半径等于两条直角边的和与斜 边的差的一半 三、解答题（共 60 分） 21解方程： （1） （x+1） （x3）=12 （2）3（x5） 2=2（5x） 考点： 解一元二次方程-因式分解法 分析： （1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 解答： 解：（1）整理得：x 22x15=0， （x5） （x+3）=0， x5=0，x+3=0， x1=5，x 2=3； （2）移项得：3（x5） 2+2（x5）=0， （x5） （3x15+2）=0， x5=0，3x15+2=0， x1=5，x 2= 点评：
29、 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元 一次方程，难度适中 22如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF= CAB （1）求证：直线 BF 是O 的切线； （2）若 AB=5，sinCBF= ，求 BC 的长 考点： 切线的判定 分析： （1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三 角形两锐角相等得到直角，从而证明ABF=90 （2）利用已知条件证得AGCABF，利用比例式求得线段的长即可 解答： （1）证明：连接 AE， AB 是O 的直径
30、， AEB=90， 1+2=90 AB=AC， 1= CAB CBF= CAB， 1=CBF CBF+2=90 即ABF=90 AB 是O 的直径， 直线 BF 是O 的切线 （2）解：过点 C 作 CGAB 于 G sinCBF= ，1=CBF， sin1= ， 在 RtAEB 中，AEB=90，AB=5， BE=ABsin1=5 = ， AB=AC，AEB=90， BC=2BE=5 点评： 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学 生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题 23如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A（2，
31、1） ，B（1，n） 两点 （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB 的面积 考点： 一次函数综合题；反比例函数综合题菁优网版权所 有 专题： 压轴题；待定系数法 分析： （1）首先把 A 的坐标代入反比例函数关系式中可以求出 m，再把 B（1，n）代入反 比例函数关系式中可以求出 n 的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式； （2）AOB 的面积不能直接求出，要求出一次函数与 x 轴的交点坐标，然后利用面积的割 补法球它的面积S AOB =SAOC +SBOC 解答： 解：（1）点 A（2，1）在反比例函数 的图象上， m=（2）1=2 反比例函数的表达式为
32、 点 B（1，n）也在反比例函数 的图象上， n=2，即 B（1，2） 把点 A（2，1） ，点 B（1，2）代入一次函数 y=kx+b 中， 得 解得 一次函数的表达式为 y=x1 （2）在 y=x1 中，当 y=0 时，得 x=1 直线 y=x1 与 x 轴的交点为 C（1，0） 线段 OC 将AOB 分成AOC 和BOC， S AOB =SAOC +SBOC = 11+ 12= +1= 点评： 此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积 24如图，一艘核潜艇在海面 DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30正前方的海底 C 点处有 黑匣子，继续在同一深度直
33、线航行 1464 米到 B 点处测得正前方 C 点处的俯角为 45求 海底 C 点处距离海面 DF 的深度（结果精确到个位，参考数据： 1.414， 1.732， 2.236） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权 所有 专题： 几何图形问题 分析： 首先作 CEAB 于 E，依题意，AB=1464，EAC=30，CBE=45，设 CD=x，则 BE=x，进而利用正切函数的定义求出 x 即可 解答： 解：作 CEAB 于 E， 依题意，AB=1464，EAC=30，CBE=45， 设 CE=x，则 BE=x， RtACE 中，tan30= = = ， 整理得出：3x=1464 +
34、 x， 解得：x=732（ ）2000 米， C 点深度=x+600=2600 米 答：海底 C 点处距离海面 DF 的深度约为 2600 米 点评： 此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的 定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题 25某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售， 增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每 降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件； （1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利
35、最多？ 考点： 一元二次方程的应用 专题： 销售问题 分析： 此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价 x 元，则每件所得利润为（40x）元， 但每天多售出 2x 件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40x） （20+2x）元，进 而可根据题意列出方程求解 解答： 解：（1）设每件衬衫应降价 x 元 ， 根据题意得（40x） （20+2x）=1200， 整理得 2x260x+400=0 解得 x1=20，x 2=10 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降 20 元 答：每件衬衫应降价 20 元 （2）设商场平均每天赢利 y 元，则 y=（20+2
36、x） （40x） =2x 2+60x+800 =2（x 230x400）=2（x15） 2625 =2（x15） 2+1250 当 x=15 时，y 取最大值，最大值为 1250 答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为 1250 元 点评： （1）当降价 20 元和 10 元时，每天都赢利 1200 元，但降价 10 元不满足“尽量减 少库存” ，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件； （2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式 26如图，已知等边ABC，AB=12，以 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点 D，过点 D 作 DFAC
37、，垂足为 F，过点 F 作 FGAB，垂足为 G，连结 GD （1）求证：DF 是O 的切线； （2）求 FG 的长； （3）求 tanFGD 的值 考点： 切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形 专题： 几何综合题 分析： （1）连结 OD，根据等边三角形的性质得C=A=B=60，而 OD=OB，所以 ODB=60=C，于是可判断 ODAC，又 DFAC，则 ODDF，根据切线的判定定理可得 DF 是O 的切线； （2）先证明 OD 为ABC 的中位线，得到 BD=CD=6在 RtCDF 中，由C=60，得 CDF=30，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 CF= CD=3，所以
38、AF=ACCF=9，然 后在 RtAFG 中，根据正弦的定义计算 FG 的长； （3）过 D 作 DHAB 于 H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 FGDH，根据平行 线的性质可得FGD=GDH解 RtBDH，得 BH= BD=3，DH= BH=3 解 RtAFG，得 AG= AF= ，则 GH=ABAGBH= ，于是根据正切函数的定义得到 tanGDH= = ，则 tanFGD 可求 解答： （1）证明：连结 OD，如图， ABC 为等边三角形， C=A=B=60， 而 OD=OB， ODB 是等边三角形，ODB=60， ODB=C， ODAC， DFAC， ODDF， DF 是O
39、的切线； （2）解：ODAC，点 O 为 AB 的中点， OD 为ABC 的中位线， BD=CD=6 在 RtCDF 中，C=60， CDF=30， CF= CD=3， AF=ACCF=123=9， 在 RtAFG 中，A=60， FG=AFsinA=9 = ； （3）解：过 D 作 DHAB 于 H FGAB，DHAB， FGDH， FGD=GDH 在 RtBDH 中，B=60， BDH=30， BH= BD=3，DH= BH=3 在 RtAFG 中，AFG=30， AG= AF= ， GH=ABAGBH=12 3= ， tanGDH= = = ， tanFGD=tanGDH= 点评： 本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与 这点（即为半径） ，再证垂直即可也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识
