1、2015-2016 学年内蒙古赤峰市宁城县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共有 8 个小题，每小题 3 分，共 32 分每小题只有一个正确选项，请 把正确选项的字母代号填在题后的括号内） 1下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 2如图，将ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20，B 点落在 B位置，A 点落在 A位置， 若 ACAB，则 BAC 的度数是( ) A50 B60 C70 D80 3已知 m 是方程 x2x =0 的一个根，则 m2m 的值是( ) A0 B1 C D 4方程 3x2+4x2=0 的根的情况是( ) A两个不相等的实数
2、根 B两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 5平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是( ) A正方形 B菱形 C矩形 D等腰梯形 6二次函数 y=x24x+7 的最小值为( ) A2 B2 C3 D3 7如图，AB 是 O 直径，点 C 在O 上，AE 是O 的切线，A 为切点，连接 BC 并延 长交 AE 于点 D若 AOC=80，则ADB 的度数为( ) A40 B50 C60 D20 8一个均匀的立方体六个面上分别标有数 1，2，3，4，5，6如图是这个立方体表面的 展开图抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 的概率是( ) A B C D 二、填
3、空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分请把答案填在题中的横线上 ） 9已知抛物线 y= 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，若 D 为 AB 的中 点，则 CD 的长为_ 10若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a=0 有实数根，则 a 的取值范围是_ 11如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB 为 0.8m，则 排水管内水的深度为_m 12小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色 外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是_ 13二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论
4、： 2a+b0；abc0；b 24ac0； a+b+c0；4a2b+c0，其中正确的个数是 _ 14如图，AB 是双曲线 y= 上的两点，过 A 点作 ACx 轴，交 OB 于 D 点，垂足为 C若ADO 的面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为_ 15边长为 4cm 的正方形 ABCD 绕它的顶点 A 旋转 180，顶点 B 所经过的路线长为 _cm 16如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 CD 于点 F，则 DF：FC 等于_ 三、解答题：本大题共 10 个小题，满分 102 分，解答时应写出必要的计算过程
5、、推理步骤 或文字说明 17解方程：x（2x5）=4x10 18已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0（a 0）有两个相等的实数根，求 的值 19如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点 A 的坐标是（1，0） 画出将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后的图形A BC，并写出点 C的坐标 20 如图，AB 为 O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E （1）求证：AC 平分DAB； （2）若B=60，CD=2 ，求 AE 的长 21如图，在等边ABC 内有一点 D，AD=5，BD=6，CD=4，将ABD 绕 A 点
6、逆时针旋 转，使 AB 与 AC 重合，点 D 旋转至点 E，求 DCE 的面积 22在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础 上每张降价 80 元，这样按原定票价需花费 6000 元购买的门票张数，现在只花费了 4800 元 （1）求每张门票的原定票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续 二次降价后降为 324 元，求平均每次降价的百分率 23如图，直线 y=2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点，过点 C 作 CDx 轴，点 P 是 x 轴 下方直线 CD 上的一点，且OCP 与 OBC 相似，求过点 P
7、的双曲线解析式 24中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干 名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A 接听电话；B 收发短信；C 查阅资料；D 游 戏聊天并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整） ，请根据图中提供的信息，解 答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了_名学生； （2）将图 1、图 2 补充完整； （3）现有 4 名学生，其中 A 类两名，B 类两名，从中任选 2 名学生，求这两名学生为同 一类型的概率（用列表法或树状图法） 25 （14 分）在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC， CD 上，且 EAF=CEF=4
8、5 （1）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG（如图） ，求证：AEG AEF； （2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N （如图 ） ，求证： EF2=ME2+NF2 26 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为 x= ，且经过 点 A（2，1） ，点 P 是抛物线上的动点，P 的横坐标为 m（0m2） ，过点 P 作 PBx 轴， 垂足为 B，PB 交 OA 于点 C，点 O 关于直线 PB 的对称点为 D，连接 CD，AD，过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E （1）求抛物线的解析式； （2）填空： 用含 m
9、的式子表示点 C， D 的坐标： C（_，_ ） ，D（_，_） ； 当 m=_时， ACD 的周长最小； （3）若ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标 2015-2016 学年内蒙古赤峰市宁城县九年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共有 8 个小题，每小题 3 分，共 32 分每小题只有一个正确选项，请 把正确选项的字母代号填在题后的括号内） 1下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【专题】常规题型 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故
10、A 选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形 的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要 寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 2如图，将ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20，B 点落在 B位置，A 点落在 A位置， 若 ACAB，则 BAC 的度数是( ) A50 B60 C70 D80 【考点】旋转的性质 【分析】根据旋
11、转的性质可知，BCB =ACA=20，又因为 ACAB，则BAC 的度数可 求 【解答】解：ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20，B 点落在 B位置，A 点落在 A位 置 BCB=ACA=20 ACAB， BAC=A=9020=70 故选 C 【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对 对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点旋转中心； 旋转方向；旋转角度 3已知 m 是方程 x2x =0 的一个根，则 m2m 的值是( ) A0 B1 C D 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 m 代入方程 x2x =0，得到 m2m =0，
12、进而求解即可 【解答】解：把 m 代入方程 x2x =0，得到 m2m =0， 所以 m2m= 故选 C 【点评】本题考查的是一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程 的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 4方程 3x2+4x2=0 的根的情况是( ) A两个不相等的实数根 B两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【考点】根的判别式 【分析】首先求出方程的判别式，然后根据一元二次根与判别式的关系，可以判断方程的 根的情况 【解答】解：方程 3x2+4x2=0 中， =4243（
13、2）=40 0， 方程有两个不相等的实数根 故选 A 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 5平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是( ) A正方形 B菱形 C矩形 D等腰梯形 【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定 【分析】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形为圆的内接四边形，由圆内 接四边形的性质可得答案 【解答】解：因为圆内接四边形的对角互补，即圆的内接四边形对角和为 180，要保证对 角和为 180，A、C 选项都符合，但正方形是特
14、殊的矩形，所以该平行四边形为矩形 故选 C 【点评】本题涉及各种四边形的性质和圆内接四边形的相关性质，容易出错，难度中等 6二次函数 y=x24x+7 的最小值为( ) A2 B2 C3 D3 【考点】二次函数的最值 【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最小（大）值的方法 【解答】解：原式可化为 y=x24x+4+3=（x2） 2+3， 最小值为 3 故选 C 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配 方法，第三种是公式法 7如图，AB 是 O 直径，点 C 在O 上，AE 是O 的切线，A 为切点，连接 BC 并延 长交 AE 于点 D若 AOC=80，
15、则ADB 的度数为( ) A40 B50 C60 D20 【考点】切线的性质 【分析】由 AB 是 O 直径，AE 是 O 的切线，推出 ADAB，DAC= B= AOC=40， 推出AOD=50 【解答】解：AB 是O 直径，AE 是 O 的切线， BAD=90， B= AOC=40， ADB=90B=50， 故选 B 【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接 AC，构建直角三 角形，求B 的度数 8一个均匀的立方体六个面上分别标有数 1，2，3，4，5，6如图是这个立方体表面的 展开图抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 的概率是( ) A B C
16、 D 【考点】概率公式；专题：正方体相对两个面上的文字 【专题】压轴题 【分析】让朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 的情况数除以总情况数即为朝上 一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 的概率 【解答】解：根据图看出只有 6 和 3 是对面，1 和 4 是对面，2 和 5 是对面；并且只有 3 在 上面时 6 在下面，朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 ，抛掷这个立方体，朝上 一面上的数恰好等于 3 的概率是 故选 A 【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法，要善于观察把图折成立方体时各个面是什 么数字用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 二、填空题（本大题共有 8 小题，每
17、小题 3 分，共 24 分请把答案填在题中的横线上 ） 9已知抛物线 y= 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，若 D 为 AB 的中 点，则 CD 的长为 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】推理填空题 【分析】根据 y= 可以求得此抛物线与 x 轴的交点 A 和点 B 的坐标，与 y 轴交 点 C 的坐标，从而可以求得点 D 的坐标，进而可以求得 CD 的长 【解答】解：令 y=0，则 解得，x 1=3，x 2=12 令 x=0，则 y=6 抛物线 y= 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，D 为 AB 的中点， 点 A 的坐标为（ 3，0） ，点 B
18、的坐标为（12，0） ，点 C 的坐标为（0，6） 点 D 的坐标为（4.5，0） CD= 故答案为： 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是根据抛物线的解析式可以求得各点 的坐标 10若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a1 【考点】根的判别式 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有实数根下必须满足=b 24ac0 【解答】解：因为关于 x 的一元二次方程有实根， 所以=b 24ac=44a0， 解之得 a1 故答案为 a1 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=
19、0（a 0，a，b，c 为常数）根的判别式当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有 实数根 11如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB 为 0.8m，则 排水管内水的深度为 0.8m 【考点】垂径定理的应用；勾股定理 【分析】过 O 点作 OCAB， C 为垂足，交O 于 D，连 OA，根据垂径定理得到 AC=BC=0.5m，再在 RtAOC 中，利用勾股定理可求出 OC，即可得到 CD 的值，即水的 深度 【解答】解：如图，过 O 点作 OCAB，C 为垂足，交O 于 D、E，连 OA， OA=0.5m，AB=0.8m，
20、 OCAB， AC=BC=0.4m， 在 RtAOC 中，OA 2=AC2+OC2， OC=0.3m， 则 CE=0.3+0.5=0.8m， 故答案为：0.8 【点评】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用 12小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色 外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 【考点】几何概率 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总 面积的比值 【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（4 块）的面积占总面积（9 块）的 ， 则它
21、最终停留在黑色方砖上的概率是 ； 故答案为： 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴 影区域表示所求事件（A） ；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事 件（A）发生的概率 13二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论： 2a+b0；abc0；b 24ac0； a+b+c0；4a2b+c0，其中正确的个数是 3 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由二次函数的开口方向，对称轴 x1，以及二次函数与 y 的交点在 x 轴的上方， 与 x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可 【解答】解：二次函数的开口向下，
22、a0，对称轴在 1 的右边， 1，2a+b0，故正确； 观察图象，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c 0， 又 对称轴为 x= 在 x 轴的正半轴上，故 x= =0，a0，b0 abc0，故错误 二次函数与 x 轴有两个交点， =b24ac0，故正确 观察图象，当 x=1 时，函数值 y=a+b+c0，故 错误； 观察图象，当 x=2 时，函数值 y=4a2b+c0，故正确 故答案为 3 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是 要明确：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口； 当 a0 时，抛物线向下开口； 一次项
23、系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置： 当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 （0，c） 14如图，AB 是双曲线 y= 上的两点，过 A 点作 ACx 轴，交 OB 于 D 点，垂足为 C若ADO 的面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】过点 B 作 BEx 轴于点 E，根据 D 为 OB 的中点可知 CD 是OBE 的中位线，即 CD= BE，设 A（x， ）
24、 ，则 B（2x， ） ，故 CD= ，AD= ，再由ADO 的面积为 1 求出 y 的值即可得出结论 【解答】解：过点 B 作 BEx 轴于点 E， D 为 OB 的中点， CD 是OBE 的中位线，即 CD= BE 设 A（x， ） ，则 B（2x， ） ，CD= ，AD= ， ADO 的面积为 1， ADOC=1， （ ）x=1，解得 k= ， 故答案是： 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标 轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|本知识点是中考的重要考点，同学们应高 度关注 15边长为 4cm 的正方形 ABCD 绕它的顶点 A 旋转
25、 180，顶点 B 所经过的路线长为 4cm 【考点】弧长的计算；正方形的性质；旋转的性质 【分析】由于边长为 4cm 的正方形 ABCD 绕它的顶点 A 旋转 180，顶点 B 所经过的路线 是一段弧长，是以点 A 为圆心， AB 为半径，圆心角是 180的弧长，根据弧长公式即可求 得其长度 【解答】解：边长为 4cm 的正方形 ABCD 绕它的顶点 A 旋转 180，顶点 B 所经过的路线 是一段弧长， 是以点 A 为圆心，AB 为半径，圆心角是 180的弧长， 根据弧长公式可得： =4 故填空答案：4 【点评】本题主要考查了弧长公式的计算方法 16如图所示，在平行四边形 ABCD 中，A
26、C 与 BD 相交于 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 CD 于点 F，则 DF：FC 等于 1：2 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】先证明DEF BEA，得出 ，即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，AB=CD ，OD=OB， DEFBEA， ， E 为 OD 的中点， BE=3DE， ， AB=3DF， DF：CD=1 ： 3， DF：FC=1：2 故答案为：1：2 【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形 的性质是关键 三、解答题：本大题共 10 个小题，满分 102 分，解答时
27、应写出必要的计算过程、推理步骤 或文字说明 17解方程：x（2x5）=4x10 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】由于方程左右两边都含有（2x5） ，可将（2x 5）看作一个整体，然后移项，再分 解因式求解 【解答】解：原方程可变形为： x（2x5 ） 2（2x 5）=0， （2x5） （x 2） =0， 2x5=0 或 x2=0； 解得 x1= ，x 2=2 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法， 配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 18已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0（a 0）有两个相等的实数根，
28、求 的值 【考点】根的判别式 【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此=b 24a=0，可得出 a、b 之间的关系， 然后将 化简后，用含 a 的代数式表示 b，即可求出这个分式的值 【解答】解：ax 2+bx+1=0（a 0）有两个相等的实数根， =b24ac=0， 即 b24a=0， b2=4a， = = = a0， = = =4 【点评】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识 点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度 19如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点 A 的坐标是（1，0） 画出将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 90
29、后的图形A BC，并写出点 C的坐标 【考点】作图-旋转变换 【分析】利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案 【解答】解：如图所示：C（2，1） 【点评】此题主要考查了作图旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键 20 如图，AB 为 O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E （1）求证：AC 平分DAB； （2）若B=60，CD=2 ，求 AE 的长 【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形 【专题】几何综合题 【分析】 （1）连接 OC，由 CD 为圆 O 的切线，根据切线的性质得到 OC 垂直于 CD
30、，由 AD 垂直于 CD，可得出 OC 平行于 AD，根据两直线平行内错角相等可得出1= 2，再由 OA=OC，利用等边对等角得到2= 3，等量代换可得出1=3，即 AC 为角平分线； （2）法 1：由 AB 为圆 O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出 ACB 为直角，在 直角三角形 ABC 中，由B 的度数求出3 的度数为 30，可得出 1 的度数为 30，在直角 三角形 ACD 中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半，由 CD 的长求出 AC 的长，在 直角三角形 ABC 中，根据 cos30及 AC 的长，利用锐角三角函数定义求出 AB 的长，进而 得出半径 OE 的长，由
31、EAO 为 60，及 OE=OA，得到三角形 AEO 为等边三角形，可得出 AE=OA=OE，即可确定出 AE 的长； 法 2：连接 EC，由 AB 为圆 O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出ACB 为直角， 在直角三角形 ABC 中，由 B 的度数求出3 的度数为 30，可得出1 的度数为 30，在直 角三角形 ADC 中，由 CD 及 tan30，利用锐角三角函数定义求出 AD 的长，由 DEC 为圆 内接四边形 ABCE 的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到DEC=B， 由B 的度数求出 DEC 的度数为 60，在直角三角形 DEC 中，由 tan60及 DC 的长
32、，求出 DE 的长，最后由 ADED 即可求出 AE 的长 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OC， CD 为O 的切线， OCCD， OCD=90， ADCD， ADC=90， OCD+ADC=180， ADOC， 1=2， OA=OC， 2=3， 1=3， 则 AC 平分 DAB； （2）解： 法 1：如图 2，连接 OE， AB 是O 的直径， ACB=90， 又B=60， 1=3=30， 在 RtACD 中，CD=2 ，1=30， AC=2CD=4 ， 在 RtABC 中，AC=4 ，CAB=30， AB= = =8， EAO=23=60，OA=OE， AOE 是等边三角形， AE
33、=OA= AB=4； 法 2：如图 3，连接 CE， AB 为O 的直径， ACB=90， 又B=60 ， 1=3=30， 在 RtACD 中，CD=2 ， AD= = =6， 四边形 ABCE 是O 的内接四边形， B+AEC=180， 又DEC=B=60， 在 RtCDE 中，CD=2 ， DE= = =2， AE=ADDE=4 【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函 数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直 线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来 解决问题 21如图，在等
34、边ABC 内有一点 D，AD=5，BD=6，CD=4，将ABD 绕 A 点逆时针旋 转，使 AB 与 AC 重合，点 D 旋转至点 E，求 DCE 的面积 【考点】旋转的性质 【分析】由旋转的性质得出ACE ABD 得出 AE=AD=5CE=BD=6 DAE=60，得出 ADE 是等边三角形，因此 DE=AD=5作 EHCD 垂足为 H设 DH=x，由勾股定理得出 方程，解方程求出 DH，由勾股定理求出 EH，即可得出DCE 的面积 【解答】解：由旋转的性质得：ACE ABD， AE=AD=5CE=BD=6 DAE=60 DE=5 作 EHCD 垂足为 H 设 DH=x 由勾股定理得：EH 2
35、=CE2CH2=DE2DH2， 即 62（ 4x） 2=52x2， 解得：x= ， DH= ， 由勾股定理得：EH= = = ， DCE 的面积 = CDEH= 【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的 性质，由勾股定理求出 DH，EH 是解决问题的关键 22在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础 上每张降价 80 元，这样按原定票价需花费 6000 元购买的门票张数，现在只花费了 4800 元 （1）求每张门票的原定票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续 二次降价后降为
36、 324 元，求平均每次降价的百分率 【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用 【分析】 （1）设每张门票的原定票价为 x 元，则现在每张门票的票价为（x80）元，根据 “按原定票价需花费 6000 元购买的门票张数，现在只花费了 4800 元” 建立方程，解方程即 可； （2）设平均每次降价的百分率为 y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为 324 元” 建立 方程，解方程即可 【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为 x 元，则现在每张门票的票价为（x80）元， 根据题意得 = ， 解得 x=400 经检验，x=400 是原方程的根 答：每张门票的原定票价为 400 元； （2）设平均
37、每次降价的百分率为 y，根据题意得 400（1y） 2=324， 解得：y 1=0.1，y 2=1.9（不合题意，舍去） 答：平均每次降价 10% 【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根 据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 23如图，直线 y=2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点，过点 C 作 CDx 轴，点 P 是 x 轴 下方直线 CD 上的一点，且OCP 与 OBC 相似，求过点 P 的双曲线解析式 【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例 函数解析式 【分析】由直线 y=2x+4 与坐
38、标轴分别交于 C、B 两点，易得 OC=2，OB=4，再分两种情 况当OBC=COP 时，OCP 与OBC 相似，当OBC=CPO 时，OCP 与OBC 相似分别求出点的坐标，再求出过点 P 的双曲线解析式 【解答】解：直线 y=2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点， 令 y=0，可得2x+4=0，解得 x=2，即 C（2，0） ，OC=2， 令 x=0，可得 y=4，即 B（0，4） ，OB=4， 如图 1，当OBC= COP 时，OCPBOC， = ，即 = ，解得 CP=1， P（ 2， 1） ， 设过点 P 的双曲线解析式 y= ，把 P 点代入解得 k=2， 过点 P 的双曲线解
39、析式 y= ， 如图 2，当OBC= CPO 时，OCPCOB， 在OCP 和 COB 中， OCPCOB（AAS ） CP=BO=4， P（ 2， 4） 设过点 P 的双曲线解析式 y= ，把 P 点代入得 4= ，解得 k=8， 过点 P 的双曲线解析式 y= 综上可得，过点 P 的双曲线的解析式为 y= 或 y= 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数求反比例函数，解题的关键 是分两种情况正确画出图形 24中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干 名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A 接听电话；B 收发短信；C 查阅资料；D 游 戏聊
40、天并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整） ，请根据图中提供的信息，解 答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了 200 名学生； （2）将图 1、图 2 补充完整； （3）现有 4 名学生，其中 A 类两名，B 类两名，从中任选 2 名学生，求这两名学生为同 一类型的概率（用列表法或树状图法） 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图 【专题】计算题；数形结合 【分析】 （1）用 A 类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人数； （2）分别计算出 B、D 两类人数和 C、D 两类所占百分比，然后补全统计图； （3）先画树状图展示所有有 12 种等可能的结果数，再找出
41、两名学生为同一类型的结果数， 然后根据概率公式求解 【解答】解：（1）100 50%=200， 所以调查的总人数为 200 名； 故答案为 200； （2）B 类人数=200 25%=50（名） ；D 类人数=2001005040=10（名） ； C 类所占百分比= 100%=20%，D 类所占百分比= 100%=5%， 如图： （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两名学生为同一类型的结果数为 4， 所以这两名学生为同一类型的概率= = 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后
42、根据概率公式求出事件 A 或 B 的 概率也考查了扇形统计图和条形统计图 25 （14 分）在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC， CD 上，且 EAF=CEF=45 （1）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG（如图） ，求证：AEG AEF； （2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N （如图 ） ，求证： EF2=ME2+NF2 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【分析】 （1）由旋转的性质得出 AG=AF，BG=DF，GAF=90 ，BAG= DAF，证出 GAEEAF，由 SAS 即可得出 AEGAEF； （2）连
43、接 GM，由正方形的性质和已知条件得出 BE=DF，得出 BG=DF=BE=BF，得出 BMG=45，因此 EMG=90，由勾股定理得出 EG2=MG2+ME2=NF2+ME2，再由 EG=EF，即可得出结论 【解答】 （1）证明：ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG， AG=AF，BG=DF，GAF=90， BAG=DAF， EAF=45， BAE+DAF=BAE+BAG=9045=45， 即GAE= EAF， 在 AEG 和AEF 中， ， AEGAEF（SAS） ； （2）证明：连接 G，如图所示： 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD，C=90 ， CEF=
44、45 CE=CF，DF=DN，BM=BE， BC=CD， BE=DF， BG=DF， BG=DF=BE=BF， BMG=45， EMB=45， EMG=90， EG2=MG2+ME2=NF2+ME2， AEGAEF，EG=EF ， EF2=ME2+NF2 【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三 角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性 质，证明三角形全等是解决问题的关键 26 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为 x= ，且经过 点 A（2，1） ，点 P 是抛物线上的动点，
45、P 的横坐标为 m（0m2） ，过点 P 作 PBx 轴， 垂足为 B，PB 交 OA 于点 C，点 O 关于直线 PB 的对称点为 D，连接 CD，AD，过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E （1）求抛物线的解析式； （2）填空： 用含 m 的式子表示点 C， D 的坐标： C（m， m） ， D（2m，0） ； 当 m=1 时， ACD 的周长最小； （3）若ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】 （1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于 a，b 的方程组，解方程组可得抛物 线的解析式； （2）设 OA 所在的直线解析式为 y=kx，将点 A（2，1）代入求得 OA 所在的解析式为 y= x，因为 PCx 轴，所以 C 得横坐标与 P 的横坐标相同，为 m，令 x=m，则 y= m，所 以得出点 C（m， m） ，又点 O、D 关于直线 PB 的对称，所以由中点坐标公式可得点 D 的横坐标为 2m，则点 D 的坐标为（2m ，0） ； 因为 O 与 D 关于直线 PB 的对称，所以 PB 垂直平分 OD，则 CO=CD，因为，ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO= = = ，所以当 AD 最 小时，ACD 的周长最小；根据垂线段最短，可知此
