1、山东省聊城市莘县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题：每小题 3 分，共 36 分 1抛物线 y=（x+2 ） 23 的对称轴是（ ） A直线 x=3 B直线 x=3 C直线 x=2 D直线 x=2 2配方法解方程 x2+8x+7=0，则方程可化为（ ） A （x4 ） 2=9 B （x+4） 2=9 C （x 8） 2=16 D （x+8） 2=16 3下列说法正确的是（ ） A一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000 次，其中，抛掷出 5 点的次数最少，则第 2001 次一定 抛掷出 5 点 B某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖 C天气预报说明天
2、下雨的概率是 50%，所以明天将有一半时间在下雨 D抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 4在ABC 中，已知 AC=3，BC=4，AB=5 ，那么下列结论成立的是（ ） AsinA= BcosA= CtanA= DcotA= 5下列命题错误的是（ ） A经过三个点一定可以作圆 B三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 6一元二次方程（1k）x 22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 且 k1 7若 = = ，且 3a2b+c=3，则 2a+
3、4b3c 的值是（ ） A14 B42 C7 D 8手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的 空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么， 每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） A B C D 9在 RtABC 中， C=90，已知 a 和 A，则下列关系中正确的是（ ） Ac=asinA Bc= Cc=acosA Dc= 10二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 y= 与正比例函数 y=（b+c）x 在同一坐标 系中的大致图象可能是（ ） A B C D 11如图，A
4、B 是半圆的直径，AB=2r，C、D 为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 12如图所示的两个圆盘中，指针停在每个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率 是（ ） A B C D 二、填空题：每题 4 分，共 20 分 13把一元二次方程（x3） 2=4 化为一般形式为： ，二次项为 ，一次项 系数为 ，常数项为 14在ABC 中， C=90，AC=3，BC=4 ， ABC 外接圆O 的半径为 ，ABC 内切 圆 I 的半径为 15抛物线 y=2x2bx+3 的对称轴是直线 x=1，则 b 的值为 16如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，2） ，B（
5、4，0） ，C （6，4）以原点为位似中心， 将ABC 缩小，位似比为 1：2，则线段 AC 中点 P 变换后对应点的坐标为 17一个斜坡的坡度是 5：12，高度是 4m，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是 m（精确到 0.1m） 三、解答题：共 64 分 18 （1）计算：2cos30+cos60 2tan45tan60 （2）解方程：x 2+3x4=0 19直线 y=kx+b 过 x 轴上的点 A（ ，0） ，且与双曲线 y= 相交于 B、C 两点，已知 B 点坐标为 （ ，4 ） ，求直线和双曲线的解析式 20某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售
6、，增加利润，尽 量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天 可多售出 2 件，若商场每天要获利润 1200 元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ 21如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AE=ED ，DF= DC，连接 EF 并 延长交 BC 的延长线于点 G （1）求证：ABEDEF ； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长 22如图所示，有一个可以自由转动的圆形转盘，被平均分成四个扇形，四个扇形内分别标有数字 1、2、3、 4、若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为 a、b（若指
7、针恰好指在分界线上，则该次不计，重新转动一次，直至指针落在扇形内） 请你用列表法或树状图求 a 与 b 的乘积等于 2 的概率 23某船向正东航行，在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30，又 航行了半小时到 D 处，望见灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里求 A、D 两点间的距 离 （结果不取近似值） 24如图，已知 RtABC，ABC=90，以直角边 AB 为直径作O，交斜边 AC 于点 D，连接 BD （1）若 AD=3，BD=4，求边 BC 的长； （2）取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与O 相切 25杭州休博会期间，
8、嘉年华游乐场投资 150 万元引进一项大型游乐设施若不计维修保养费用， 预计开放后每月可创收 33 万元而该游乐设施开放后，从第 1 个月到第 x 个月的维修保养费用累 计为 y（万元） ，且 y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益 g（万元） ， g 也是关于 x 的二次函数； （1）若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元求 y 关于 x 的解析式； （2）求纯收益 g 关于 x 的解析式； （3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大；几个月后，能收回投资？ 山东省聊城市莘县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析
9、 一、选择题：每小题 3 分，共 36 分 1抛物线 y=（x+2 ） 23 的对称轴是（ ） A直线 x=3 B直线 x=3 C直线 x=2 D直线 x=2 【考点】二次函数的性质 【分析】直接利用二次函数的顶点式求得 【解答】解：根据抛物线的顶点式可知， 顶点横坐标 x=2，所以对称轴是 x=2 故选 D 【点评】主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法 2配方法解方程 x2+8x+7=0，则方程可化为（ ） A （x4 ） 2=9 B （x+4） 2=9 C （x 8） 2=16 D （x+8） 2=16 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】方程常数项移到右边，两边加上 1
10、6 变形即可得到结果 【解答】解：方程移项得：x 2+8x=7， 配方得：x 2+8x+16=9，即（x+4） 2=9 故选：B 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键 3下列说法正确的是（ ） A一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000 次，其中，抛掷出 5 点的次数最少，则第 2001 次一定 抛掷出 5 点 B某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖 C天气预报说明天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半时间在下雨 D抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【考点】概率的意义 【专题】压轴题 【分析】概率是反映事件
11、发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发 生 【解答】解：A、是随机事件，错误； B、中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票不一定会中奖，错误； C、明天下雨的概率是 50%，是说明天下雨的可能性是 50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错 误； D、正确 故选 D 【点评】正确理解概率的含义是解决本题的关键注意随机事件的条件不同，发生的可能性也不 等 4在ABC 中，已知 AC=3，BC=4，AB=5 ，那么下列结论成立的是（ ） AsinA= BcosA= CtanA= DcotA= 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】计算题 【分析】根据三边长度判断三角形的形
12、状；利用锐角三角函数的定义求解 【解答】解：在ABC 中，已知 AC=3，BC=4，AB=5 ， 则ABC 是直角三角形，且 AB 是斜边 因而 sinA= ， cosA= = ， tanA= ， cotA= 所以，结论成立的是 cosA= 故选 B 【点评】本题重点考查了三角函数的定义，是需要识记的内容 5下列命题错误的是（ ） A经过三个点一定可以作圆 B三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【考点】确定圆的条件 【分析】分别根据圆的有关性质判断即可要注意：在同一平面上但不在同一条直线上的三点确定 一个圆 【
13、解答】解：A、在同一平面上但不在同一条直线上的三点确定一个圆，故选项错误； B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等，故选项正确； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项正确； D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，故选项正确 故选 A 【点评】要掌握确定一个圆的条件和注意事项注意：不在同一直线的三个点确定一个圆 6一元二次方程（1k）x 22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 且 k1 【考点】根的判别式 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不
14、为零； （2）在有不相等的实数根下必须满足=b 24ac0 【解答】解：a=1 k，b=2， c=1，一元二次方程有两个不相等的实数根， =b24ac=224（1 k）（ 1）0，解得 k2， （ 1k）是二次项系数，不能为 0， k1 且 k2 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为 零这一隐含条件 7若 = = ，且 3a2b+c=3，则 2a+4b3c 的值是（ ） A14 B42 C7 D 【考点】比例的性质 【专题】计算题 【分析】根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达 到约分的目的即可
15、【解答】解：设 a=5k，则 b=7k，c=8k， 又 3a2b+c=3，则 15k14k+8k=3， 得 k= ， 即 a= ，b= ，c= ， 所以 2a+4b3c= 故选 D 【点评】根据已知条件得到关于未知数的方程，从而求得各个字母，再进一步计算代数式的值 8手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的 空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么， 每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） A B C D 【考点】相似图形 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求
16、答案 【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故 A 选项不符合 要求； B：形状相同，符合相似形的定义，故 B 选项不符合要求； C：形状相同，符合相似形的定义，故 C 选项不符合要求； D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故 D 选项符合要求； 故选：D 【点评】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似 形全等形是相似形的一个特例 9在 RtABC 中， C=90，已知 a 和 A，则下列关系中正确的是（ ） Ac=asinA Bc= Cc=acosA Dc= 【考点】解直角三角形 【专题】计算题 【分析】
17、正确计算 sinA、cosA 即可求得 a、c 的关系，即可解题 【解答】解：直角三角形中，sinA= ，cosA= ， 可以求得 c= ，故 B 选项正确， 故选 B 【点评】本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，正确计算A 的正弦值是解题的关键 10二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 y= 与正比例函数 y=（b+c）x 在同一坐标 系中的大致图象可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象 【专题】压轴题 【分析】可先根据二次函数的图象与性质判断 a、b、c 的符号，再判断正比例函数、反比例函数的 图象大致位置 【解答
18、】解：由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上可知 a0； x= 0， b 0； 图象与 y 轴交于负半轴， c0， 即 b+c0， 反比例函数 y= 图象在一、三象限，正比例函数 y=（b+c）x 图象在二、四象限； 故选 B 【点评】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数图象与性质 11如图，AB 是半圆的直径，AB=2r，C、D 为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 【考点】扇形面积的计算 【分析】连接 OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形 OCD 的面 积，然后计算扇形面积就可 【解答】解：连接 OC、OD COD 和C
19、DA 等底等高， SCOD=SACD 点 C，D 为半圆的三等分点，AB=2r， COD=1803=60，OA=r， 阴影部分的面积=S 扇形 COD= = r2 故选 B 【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形 OCD 的面积 是解题关键 12如图所示的两个圆盘中，指针停在每个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率 是（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个指针同时落在偶数 上的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 共有 25 种等可能的结果，两
20、个指针同时落在偶数上的有 6 种情况， 两个指针同时落在偶数上的概率是： 故选 A 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 二、填空题：每题 4 分，共 20 分 13把一元二次方程（x3） 2=4 化为一般形式为： x 26x+5=0 ，二次项为 x 2 ，一次项系数为 6 ，常数项为 5 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b，c 是常数且 a0） ，在一般形式中 ax2 叫 二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 【解答】解：把
21、一元二次方程（x3） 2=4 化为一般形式为：x 26x+5=0，二次项为 x2，一次项系数 为6 ，常数项为 5 【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号注意在说明 二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号 14在ABC 中， C=90，AC=3，BC=4 ， ABC 外接圆O 的半径为 2.5 ，ABC 内切圆I 的半径为 1 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心 【分析】由勾股定理求出斜边 AB，直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，即可得出ABC 外 接圆 O 的半径由切线长定理得出 AE=AD，CE=CF，BD=BF ；证
22、出四边形 IECF 是正方形，则 列方程即可求得I 的半径 r 【解答】解：C=90 ，AC=3，BC=4， AB= =5， ABC 外接圆的半径为 AB=2.5； 连接ABC 内切圆I 的圆心 I 和各个切点，如图所示 I 为ABC 的内切圆， AE=AD，CE=CF，BD=BF，IE AC，IFBC， IFC=IEC=C=90， 四边形 IECF 是矩形； IE=IF， 四边形 IECF 是正方形； I 的半径为 r， CE=CF=r，AE=AD=3r，BD=BF=4r， 3r+4r=5， 解得：r=1， ABC 的内切圆的半径 r=1 故答案为：2.5，1 【点评】本题考查了直角三角形外
23、接圆和内切圆的性质、切线长定理、勾股定理、正方形的判定； 熟知直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半和由勾股定理求出内切圆半径是解决问题的关键 15抛物线 y=2x2bx+3 的对称轴是直线 x=1，则 b 的值为 4 【考点】二次函数的性质 【分析】已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求 b 的值 【解答】解：y=2x 2bx+3，对称轴是直线 x=1， =1，即 =1，解得 b=4 【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（ ， ） ，对称轴是 x= 16如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，2） ，B（4，0） ，C （6，4）以原点为
24、位似中心， 将ABC 缩小，位似比为 1：2，则线段 AC 中点 P 变换后对应点的坐标为 （2， ）或（2， ） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】分缩小后的三角形在第一象限和第三象限两种情况，根据网格结构分别找出点 A、B、C 的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 P 的坐标 【解答】解：如图，A（2， 2） ，C （6，4） ， 点 P 的坐标为（4，3） ， 以原点为位似中心将ABC 缩小位似比为 1：2， 线段 AC 的中点 P 变换后的对应点的坐标为（ 2， ）或（2， ） 故答案为：（2， ）或（2， ） 【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形性质
25、，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键，难点在 于点 P 的对应点有两种情况，作出图形更形象直观 17一个斜坡的坡度是 5：12，高度是 4m，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是 10.4 m （精 确到 0.1m） 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】根据坡度求出斜坡的水平长度，然后利用勾股定理求出他从坡底到坡顶部所走的路程 【解答】解：该斜坡的坡度为 5：12，高度是 4m， 水平长度为：4 =9.6（m） ， 则斜坡的长度为： =10.4（m ） 故答案为：10.4 【点评】本题考查了解直角三角线的应用，解答本题的关键是根据所给条件，利用坡度为坡面的铅 直高度 h 和水平宽度
26、 l 的比来求解 三、解答题：共 64 分 18 （1）计算：2cos30+cos60 2tan45tan60 （2）解方程：x 2+3x4=0 【考点】特殊角的三角函数值；解一元二次方程-因式分解法 【分析】 （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）利用因式分解法求解方程 【解答】解：（1）原式=2 + 2 = ； （2）因式分解得：（x+4） （x1）=0， 解得：x 1=4，x 2=1 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握特殊 角的三角函数值以及因式分解 19直线 y=kx+b 过 x 轴上的点 A（ ，0） ，且与双曲线 y= 相交于
27、B、C 两点，已知 B 点坐标为 （ ，4 ） ，求直线和双曲线的解析式 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】待定系数法 【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 （k0）即可求得 k 的值 【解答】解：由题意知点 A（ ，0） ，点 B（ ，4）在直线 y=kx+b 上， 由此得 ， ， 直线的解析式是 y=2x+3； 点 B（ ，4）在双曲线 y= 上， ，k= 2， 双曲线解析式为 y= 【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数 k，求出函数解析式难易程度适 中 20某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加利润
28、，尽 量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天 可多售出 2 件，若商场每天要获利润 1200 元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】设每件衬衫应降价 x 元，根据均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加 利润，尽量减少库存，要降价，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场每天 要获利润 1200 元，可列方程求解 【解答】解：设每件衬衫应降价 x 元，据题意得： （40x） =1200， 解得 x=10 或 x=20 因题意要尽快减少库存，所以 x 取 20 答：每
29、件衬衫至少应降价 20 元 【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看出降价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列 方程求解 21如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AE=ED ，DF= DC，连接 EF 并 延长交 BC 的延长线于点 G （1）求证：ABEDEF ； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长 【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例 【专题】计算题；证明题 【分析】 （1）利用正方形的性质，可得A= D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且 夹角相等三角形相似，可得ABE DEF； （2）根据平行线分线段成比例定理，可得
30、 CG 的长，即可求得 BG 的长 【解答】 （1）证明：ABCD 为正方形， AD=AB=DC=BC，A=D=90， AE=ED， ， DF= DC， ， ， ABEDEF； （2）解：ABCD 为正方形， EDBG， ， 又 DF= DC，正方形的边长为 4， ED=2，CG=6， BG=BC+CG=10 【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似） 、正方形的性 质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用解题的关键是数形结合思想的应用 22如图所示，有一个可以自由转动的圆形转盘，被平均分成四个扇形，四个扇形内分别标有数字 1、2、3、 4、若将转盘转动两次，
31、每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为 a、b（若指针恰好指在分界线上，则该次不计，重新转动一次，直至指针落在扇形内） 请你用列表法或树状图求 a 与 b 的乘积等于 2 的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】用列表法列举出所有情况，看 a 与 b 的乘积等于 2 的情况占总情况的多少即可 【解答】解：a 与 b 的乘积的所有可能出现的结果如下表所示： a b 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 4 4 8 12 16 总共有 16 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中 ab=2 的结果有 2 种， a 与 b 的乘积等于 2 的概率是
32、 【点评】如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那 么事件 A 的概率 P（A）= 注意本题是放回实验 23某船向正东航行，在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30，又 航行了半小时到 D 处，望见灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里求 A、D 两点间的距 离 （结果不取近似值） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】先作 CHAD，可得 BD= 20，AH=DH ，可求 AH 的长，从而求得 AD 的长 【解答】解：作 CHAD 于点 H， 由题意可得：ACD 是等腰直角三角形，则
33、CH= AD，设 CH=x，则 DH=x， 在 RtCBH 中， BCH=30， 则 =tan30，故 BH= x， BD=x x= 20， 解得：x=15+5 ， 故 2x=30+10 答：A、D 两点间的距离为（30+10 ）海里 【点评】本题考查了方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题， 关键是作出辅助线，构造直角三角形 24如图，已知 RtABC，ABC=90，以直角边 AB 为直径作O，交斜边 AC 于点 D，连接 BD （1）若 AD=3，BD=4，求边 BC 的长； （2）取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与O 相切 【考点】切线的判定；
34、勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【专题】代数几何综合题；压轴题；数形结合 【分析】 （1）根据勾股定理易求 AB 的长；根据ABD ACB 得比例线段可求 BC 的长 （2）连接 OD，证明 DEOD 【解答】 （1）解：AB 为直径， ADB=90，即 BDAC 在 RtADB 中，AD=3，BD=4， 由勾股定理得 AB=5 ABC=90，BDAC ， ABDACB， = ， 即 = ， BC= ； （2）证明：连接 OD， OD=OB， ODB=OBD； 又 E 是 BC 的中点，BDAC， DE=BE， EDB=EBD ODB+EDB=OBD+EBD=90， 即ODE=9
35、0 ， DEOD ED 与O 相切 【点评】直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形相似； 证过圆上一点的直线是切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证直线和半径垂直 25杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资 150 万元引进一项大型游乐设施若不计维修保养费用， 预计开放后每月可创收 33 万元而该游乐设施开放后，从第 1 个月到第 x 个月的维修保养费用累 计为 y（万元） ，且 y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益 g（万元） ， g 也是关于 x 的二次函数； （1）若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元求 y 关于 x 的解析式；
36、 （2）求纯收益 g 关于 x 的解析式； （3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大；几个月后，能收回投资？ 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题；压轴题；分类讨论 【分析】 （1）根据题意确定 x，y 的两组对应值求 y 的函数关系式； （2）根据纯收益 g=开放后每月可创收 33 万元月数 x游乐场投资 150 万元 从第 1 个月到第 x 个月 的维修保养费用累计 y，列出函数关系式； （3）求函数最大值，及 g0 时，x 的值，可确定回收投资的月份 【解答】解：（1）由题意得：x=1 时 y=2； x=2 时，y=2+4=6 代入得： 解之得： y=x2+x； （2）由题意得： g=33x150（x 2+x） =x2+32 x150； （3）g= x2+32 x150=（x 16） 2+106， 当 x=16 时，g 最大 值=106 ， 即设施开放 16 个月后，游乐场的纯收益达到最大， 又 当 0x16 时，g 随 x 的增大而增大； 当 x5 时，g 0；而当 x6 时，g0， 6 个月后能收回投资 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用此题为数学建模题， 借助二次函数解决实际问题
