1、2016-2017 学年天津市河北区九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1用电器的输出功率 P 与通过的电流 I、用电器的电阻 R 之间的关系是 P=I2R， 下面说法正确的是（ ） AP 为定值，I 与 R 成反比例 BP 为定值，I 2 与 R 成反比例 C P 为定值，I 与 R 成正比例 DP 为定值，I 2 与 R 成正比例 2下列说法正确的是（ ） A分别在ABC 的边 AB，AC 的反向延长线上取点 D，E，使 DEBC，则 ADE 是ABC 放大后的图形 B两位似图形的面积之比等于位似比 C位似多边形中对应对角线之比等于位
2、似比 D位似图形的周长之比等于位似比的平方 3下列命题中，正确的个数是（ ） 13 个人中至少有 2 人的生日是同一个月是必然事件为了解我班学生的数学 成绩，从中抽取 10 名学生的数学成绩是总体的一个样本一名篮球运动员投篮 命中概率为 0.7，他投篮 10 次，一定会命中 7 次小颖在装有 10 个黑、白球的 袋中，多次进行摸球试验，发现摸到黑球的频率在 0.6 附近波动，据此估计黑 球约有 6 个 A1 B2 C3 D4 4如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB， AC，BC 上，且 DEBC，EFAB若 AD=2BD，则 的值为（ ） A B C D 5若点（x 1，y 1）
3、、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数 y= 的图象 上的点，并且 x10x 2x 3，则下列各式中正确的是（ ） Ay 1y 3y 2 By 2y 3y 1 Cy 3y 2y 1 Dy 1y 2y 3 6在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比， 已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ） A12.36 cm B13.6 cm C32.36 cm D7.64 cm 7如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长 为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A175cm
4、 2B350cm 2C cm2 D150cm 2 8一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电 了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（ ） A B C D1 9如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着 边 BCCDDA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（s ）， BPQ 的面积为 y（cm 2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ） A B C D 10如图，在平面直
5、角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 O 在坐标原点，点 B 的 坐标为（1，4），点 A 在第二象限，反比例函数 y= 的图象经过点 A，则 k 的 值是（ ） A 2 B4 C D 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11若把二次函数 y=x2+6x+2 化为 y=（x h） 2+k 的形式，其中 h，k 为常数，则 h+k= 12已知点（1，y 1），（ 2，y 2），（3，y 3）在反比例函数 y= 的图象 上，则用“ ”连接 y1，y 2，y 3 为 13如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状 相同，面积相等的三部分，且分别标有“
6、1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固 定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指 针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇 数的概率为 14在一个不透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共 200 个， 某位同学经过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在 35%和 55%，则口袋中可能有黄球 个 15如图，在ABCD 中，E 是边 BC 上的点，分别连结 AE、BD 相交于点 O，若 AD=5， = ，则 EC= 16已知正六边形 ABCDEF 的边心距为 cm，则正六边形的半径为 cm 17一个不透明的盒子里
7、有 4 个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球 上分别标有 1，1，2，3 四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀， 任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积 是负数的概率为 18如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=5 ，P 为 CD 边上的动点，当ADP 与 BCP 相似时，DP= 三、解答题（本大题共 6 小题，共 36 分） 19反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于点 A（m，2），点 B（2 ，n），一次函数图象与 y 轴的交点为 C （1）求一次函数的解析式； （2）求AOC 的面积 20如图，D 是ABC 的边 A
8、B 上一点，连接 CD，若 AD=2， BD=4，ACD= B，求 AC 的长 21如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上一点，以 OA 为半径的O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD （1）求证：AD 平分BAC； （2）若BAC=60 ，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留 ） 22如图，甲、乙分别是 4 等分、3 等分的两个圆转盘，指针固定，转盘转动 停止后，指针指向某一数字 （1）直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“1”的概率； （2）小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘， 停止后，指针各指向一个数字，若两数字之积为非负数则小华胜；否
9、则，小明 胜你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由 23如图，在ABC 中， AB=8cm，BC=16cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 边想向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动， 如果 P、Q 同时出发，经过几秒后PBQ 和ABC 相似？ 24如图，直线 y= x+2 分别交 x，y 轴于 A，C ，点 P 是该直线与反比例函数在 第一象限内的一个交点，PBx 轴交于点 B，且 SABP =9 （1）求证：AOCABP； （2）求点 P 的坐标； （3）设点 R 与点 P 在同一反比例函数的图象上，且点 R 在直
10、线 PB 的右侧，作 RT x 轴于点 T，当BRT 与AOC 相似时，求点 R 的坐标 2016-2017 学年天津市河北区九年级（上）期末数学模 拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1用电器的输出功率 P 与通过的电流 I、用电器的电阻 R 之间的关系是 P=I2R， 下面说法正确的是（ ） AP 为定值，I 与 R 成反比例 BP 为定值，I 2 与 R 成反比例 C P 为定值，I 与 R 成正比例 DP 为定值，I 2 与 R 成正比例 【考点】反比例函数的定义 【分析】在本题中，P=I 2R，即 I2 和 R 的乘积为定值，所以
11、根据反比例的概念应 该是 I2 和 R 成反比例，而并非 I 与 R 成反比例 【解答】解：根据 P=I2R 可以得到：当 P 为定值时，I 2 与 R 的乘积是定值，所以 I2 与 R 成反比例 故选：B 【点评】本题渗透初中物理中“电流” 有关的知识，当 P 为定值时，I 2 与 R 成反 比例把 I2 看作一个整体时，I 2 与 R 成反比例，而不是 I 与 R 成反比例，这是易 忽略的地方，应引起注意 2下列说法正确的是（ ） A分别在ABC 的边 AB，AC 的反向延长线上取点 D，E，使 DEBC，则 ADE 是ABC 放大后的图形 B两位似图形的面积之比等于位似比 C位似多边形中
12、对应对角线之比等于位似比 D位似图形的周长之比等于位似比的平方 【考点】位似变换 【分析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一 个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点 叫做位似中心，位似图形是特殊的相似形，因而满足相似形的性质，因而正确 的是 C 【解答】解：分别在ABC 的边 AB，AC 的反向延长线上取点 D，E，使 DEBC，则ADE 是ABC 放大或缩小后的图形， A 错误 位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质， B，D 错误，正确的是 C 故选 C 【点评】本题主要考查了位似图形的定义，位似是特殊的相似 3下列命题中，正确的个
13、数是（ ） 13 个人中至少有 2 人的生日是同一个月是必然事件为了解我班学生的数学 成绩，从中抽取 10 名学生的数学成绩是总体的一个样本一名篮球运动员投篮 命中概率为 0.7，他投篮 10 次，一定会命中 7 次小颖在装有 10 个黑、白球的 袋中，多次进行摸球试验，发现摸到黑球的频率在 0.6 附近波动，据此估计黑 球约有 6 个 A1 B2 C3 D4 【考点】命题与定理 【分析】根据必然事件的定义对进行判断；根据样本的定义对进行判断； 根据概率的意义对进行判断；根据频率估计概率对进行判断 【解答】解：13 个人中至少有 2 人的生日是同一个月是必然事件，所以正确； 为了解我班学生的数
14、学成绩，从中抽取 10 名学生的数学成绩是总体的一个样本， 所以正确； 一名篮球运动员投篮命中概率为 0.7，他投篮 10 次，不一定会命中 7 次，所以 错误； 小颖在装有 10 个黑、白球的袋中，多次进行摸球试验，发现摸到黑球的频率在 0.6 附近波动，据此估计黑球约有 6 个，所以正确 故选 C 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题 都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事 项，一个命题可以写成“ 如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的， 这样的真命题叫做定理 4如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB， AC，B
15、C 上，且 DEBC，EFAB若 AD=2BD，则 的值为（ ） A B C D 【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 = = =2，即可得出答案 【解答】解：DEBC，EFAB，AD=2BD ， = =2， = =2， = ， 故选：A 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两 条直线，所截得的对应线段成比例 5若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数 y= 的图象 上的点，并且 x10x 2x 3，则下列各式中正确的是（ ） Ay 1y 3y 2 By 2y 3y 1 Cy 3y 2y 1 Dy
16、1y 2y 3 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】首先确定反比例函数的系数与 0 的大小关系，然后根据题意画出图形， 再根据其增减性解答即可 【解答】解：a 210， 反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， x 10x 2x 3， y 2y 3y 1 故选 B 【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的函数值的大 小，同学们要灵活掌握 6在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比， 已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ） A12.36 cm B13.6 cm C32.36 cm D7.64 cm 【
17、考点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的比值约为 0.618 列式进行计算即可得解 【解答】解：书的宽与长之比为黄金比，书的长为 20cm， 书的宽约为 200.618=12.36cm 故选：A 【点评】本题考查了黄金分割的应用关键是明确黄金分割所涉及的线段的 比 7如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长 为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A175cm 2B350cm 2C cm2 D150cm 2 【考点】扇形面积的计算 【分析】贴纸部分的面积等于扇形 ABC 减去小扇形的面积，已知圆心角的度数 为
18、 120，扇形的半径为 25cm 和 10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的 面积 【解答】解：AB=25，BD=15， AD=10， S 贴纸 =2（ ） =2175 =350cm2， 故选 B 【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇 形面积计算公式，此题难度一般 8一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电 了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（ ） A B C D1 【考点】列表法与树状图法 【分析】根据概率的计算公式颜色搭配总共有 4 种可能，分别列出搭配正确 和搭配错误的可能，进而求出概率即可 【
19、解答】解：用 A 和 a 分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用 B 和 b 分别表 示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下： Aa、Ab、Ba 、 Bb 所以颜色搭配正确的概率是 ； 故选 B 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可 能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 9如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着 边 BCCDDA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A
20、点停止运动设 P 点运动时间为 x（s ）， BPQ 的面积为 y（cm 2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】首先根据正方形的边长与动点 P、Q 的速度可知动点 Q 始终在 AB 边上， 而动点 P 可以在 BC 边、CD 边、AD 边上，再分三种情况进行讨论： 0x1；1x2；2x3 ；分别求出 y 关于 x 的函数解析式，然后根 据函数的图象与性质即可求解 【解答】解：由题意可得 BQ=x 0x1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x ， 则BPQ 的面积 = BPBQ， 解 y= 3xx= x2；故 A 选项错误； 1x2 时，
21、P 点在 CD 边上， 则BPQ 的面积 = BQBC， 解 y= x3= x；故 B 选项错误； 2x3 时，P 点在 AD 边上，AP=93x， 则BPQ 的面积 = APBQ， 解 y= （93x）x= x x2；故 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利 用数形结合、分类讨论是解题的关键 10如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 O 在坐标原点，点 B 的 坐标为（1，4），点 A 在第二象限，反比例函数 y= 的图象经过点 A，则 k 的 值是（ ） A 2 B4 C D 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析
22、】作 ADx 轴于 D，CEx 轴于 E，先通过证得AODOCE 得出 AD=OE，OD=CE，设 A（x， ），则 C（ ， x），根据正方形的性质求得对角 线解得 F 的坐标，根据直线 OB 的解析式设出直线 AC 的解析式为：y= x+b， 代入交点坐标求得解析式，然后把 A，C 的坐标代入即可求得 k 的值 【解答】解：作 ADx 轴于 D，CEx 轴于 E， AOC=90， AOD+ COE=90， AOD+ OAD=90， OAD=COE ， 在AOD 和 OCE 中， ， AOD OCE（AAS）， AD=OE，OD=CE， 设 A（x， ），则 C（ ，x）， 点 B 的坐标为
23、（1，4）， OB= = ， 直线 OB 为：y=4x ， AC 和 OB 互相垂直平分， 它们的交点 F 的坐标为（ ，2）， 设直线 AC 的解析式为： y= x+b， 代入（ ，2）得，2= +b，解得 b= ， 直线 AC 的解析式为： y= x+ ， 把 A（x， ）， C（ ，x）代入得 ，解得 k= 故选 C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式， 正方形的性质，三角形求得的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关 键 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11若把二次函数 y=x2+6x+2 化为 y=（x h） 2+k
24、 的形式，其中 h，k 为常数，则 h+k= 10 【考点】二次函数的三种形式 【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是 1，只需加上一次项 系数的一半的平方来凑成完全平方式，从而得出 h，k 的值，进而求出 h+k 的 值 【解答】解：y=x 2+6x+2=x2+6x+99+2=（x +3） 27， h=3，k=7， h+k=37=10 【点评】考查二次函数的解析式的三种形式 12已知点（1，y 1），（ 2，y 2），（3，y 3）在反比例函数 y= 的图象 上，则用“ ”连接 y1，y 2，y 3 为 y 2y 3y 1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】先根据反比
25、例函数中 k0 判断出函数图象所在的象限及增减性，再根 据各点横坐标的特点即可得出结论 【解答】解：反比例函数 y= 中， k210， 函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而 增大， 1 0， 点 A（1 ，y 1）位于第二象限， y 10； 023 ， B（1，y 2）、C（2 ，y 3）在第四象限， 23， y 2y 30， y 2y 3y 1 故答案为：y 2y 3y 1 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象 上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 13如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线
26、分成形状 相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固 定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指 针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇 数的概率为 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次指 针指向的数都是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：列表得如下： 1 2 3 1 1、1 1、2 1、3 2 2、1 2、2 2、3 3 3、1 3、2 3、3 由表可知共有 9 种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有 4 种结 果， 两次
27、指针指向的数都是奇数的概率为 ， 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可 以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状 图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率=所求情况数与总情况数之比 14在一个不透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共 200 个， 某位同学经过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在 35%和 55%，则口袋中可能有黄球 20 个 【考点】利用频率估计概率 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到红色球和蓝色球的频率稳定在 35%和 55%，由此得到摸到黄球的概率=1 35%55%=10%
28、，然后用 10%乘以总球数即可 得到黄球的个数 【解答】解：某位同学经过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球 的频率稳定在 35%和 55%， 摸到黄球的概率=135%55%=10%， 口袋中黄球的个数=200 10%=20， 即口袋中可能有黄球 20 个 故答案为 20 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在 某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理， 可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 15如图，在ABCD 中，E 是边 BC 上的点，分别连结 AE、BD 相交于点 O，若 AD=5， = ，则
29、 EC= 2 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形的性质得到 ADBC，AD=BC，推出BE0 DAO， 根据相似三角形的性质得到 ，求得 BE=3，即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC， BE0DAO ， ， AD=5 ， BE=3， CE=5 3=2， 故答案为：2 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质熟练掌 握相似三角形的判定和性质是解题的关键 16已知正六边形 ABCDEF 的边心距为 cm，则正六边形的半径为 2 cm 【考点】正多边形和圆 【分析】根据题意画出图形，连接 OA、O
30、B，过 O 作 ODAB ，再根据正六边形 的性质及锐角三角函数的定义求解即可 【解答】解：如图所示， 连接 OA、OB，过 O 作 ODAB ， 多边形 ABCDEF 是正六边形， OAD=60 ， OD=OAsinOAB= AO= ， 解得：AO=2 故答案为：2 【点评】本题考查的是正六边形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求 解是解答此题的关键 17一个不透明的盒子里有 4 个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球 上分别标有 1，1，2，3 四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀， 任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积 是负数的概率为 【考
31、点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及 两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的情况，再利用概率公式即可求得答 案 【解答】解：画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有 6 种情 况， 两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为： = 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图 法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件， 树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数 与总情况数之比 18如图，矩形 ABCD 中，AD=2，
32、AB=5 ，P 为 CD 边上的动点，当ADP 与 BCP 相似时，DP= 1 或 4 或 2.5 【考点】相似三角形的判定；矩形的性质 【分析】需要分类讨论：APDPBC 和PAD PBC，根据该相似三角形 的对应边成比例求得 DP 的长度 【解答】解：当APDPBC 时， = ， 即 = ， 解得：PD=1，或 PD=4； 当PADPBC 时， = ，即 = ， 解得：DP=2.5 综上所述，DP 的长度是 1 或 4 或 2.5 故答案是：1 或 4 或 2.5 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质对于动点问题， 需要分类讨论，以防漏解 三、解答题（本大题共 6 小题，共
33、 36 分） 19（2015 春 衢州期末）反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交 于点 A（m，2），点 B（2，n ），一次函数图象与 y 轴的交点为 C （1）求一次函数的解析式； （2）求AOC 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）首先求出 A、B 两点坐标，再列出方程组即可解决问题 （2）求出点 C 坐标，根据三角形面积公式即可求解 【解答】解：（1）反比例函数 y= 的图象经过点 A（m，2），点 B（2 ，n）， m=1，n= 1， y=kx+b 经过点 A（1，2 ），B（2， 1）， ， 一次函数解析式为 y=x+1 （2）一次函
34、数 y=x+1 交 y 轴于 C（0，1），连接 OA， S AOC = 11= 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活应用 待定系数法确定函数解析式，学会求一次函数与坐标轴的交点坐标，属于中考 常考题型 20（2011佛山）如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，连接 CD，若 AD=2， BD=4，ACD= B，求 AC 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】可证明ACDABC ，则 = ，即得出 AC2=ADAB，从而得出 AC 的长 【解答】解：在ABC 和ACD 中， ACD=B，A= A， ABCACD， = 即 AC2=ADAB=AD（AD+BD
35、）=2 6=12， AC=2 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，两个角相等，两个三角形相 似 21（2015临沂）如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上一点，以 OA 为半径的 O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD （1）求证：AD 平分BAC； （2）若BAC=60 ，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留 ） 【考点】切线的性质；扇形面积的计算 【分析】（1）由 RtABC 中，C=90 ，O 切 BC 于 D，易证得 ACOD，继 而证得 AD 平分 CAB （2）如图，连接 ED，根据（1）中 ACOD 和菱形的判定与性质得到四边形 AEDO 是菱形，
36、则AEM DMO ，则图中阴影部分的面积=扇形 EOD 的面积 【解答】（1）证明：O 切 BC 于 D， ODBC ， ACBC ， ACOD， CAD=ADO， OA=OD， OAD=ADO， OAD=CAD， 即 AD 平分 CAB； （2）设 EO 与 AD 交于点 M，连接 ED BAC=60 ，OA=OE ， AEO 是等边三角形， AE=OA，AOE=60， AE=AO=OD， 又由（1）知，ACOD 即 AEOD， 四边形 AEDO 是菱形，则AEMDMO ，EOD=60， S AEM =SDMO ， S 阴影 =S 扇形 EOD= = 【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形
37、的性质此题难度适中，注意掌 握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 22（2015 秋 广西期末）如图，甲、乙分别是 4 等分、3 等分的两个圆转盘， 指针固定，转盘转动停止后，指针指向某一数字 （1）直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“1”的概率； （2）小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘， 停止后，指针各指向一个数字，若两数字之积为非负数则小华胜；否则，小明 胜你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】（1）由题意可知转盘中共有四个数，其中“1”只有一种，进而求出其 概率； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格
38、即可求得所有等可能的结果与小华、 小明获胜的情况，继而求得小华、小明获胜的概率，比较概率大小，即可知这 个游戏是否公平 【解答】解：（1）甲盘停止后指针指向数字“1”的概率= ； （2）列表得： 转盘 A 两个数字之积 转盘 B 1 0 2 1 1 1 0 2 1 2 2 0 4 2 1 1 0 2 1 由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有 12 种，每种情况出现的可能 性相同，其中两个数字之积为非负数有 7 个，负数有 5 个， P（小华获胜）= ，P（小明获胜）= 这个游戏对双方不公平 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件 的概率，概率相等就公平，否则就
39、不公平 23（2010 春 吴江市期末）如图，在ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点 P 从 点 A 出发沿 AB 边想向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果 P、Q 同时出发，经过几秒后PBQ 和ABC 相似？ 【考点】相似三角形的性质 【分析】设经过 x 秒两三角形相似，分别表示出 BP、BQ 的长度，再分BP 与 BC 边是对应边，BP 与 AB 边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比 例列出比例式求解即可 【解答】解：设经过 x 秒后 PBQ 和ABC 相似 则 AP=2x cm， BQ=4x c
40、m， AB=8cm， BC=16cm， BP=（82x）cm ， BP 与 BC 边是对应边，则 = ， 即 = ， 解得 x=0.8， BP 与 AB 边是对应边，则 = ， 即 = ， 解得 x=2 综上所述，经过 0.8 秒或 2 秒后PBQ 和ABC 相似 【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边 BP、BQ 的长 是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错 24（2016 秋 河北区期末）如图，直线 y= x+2 分别交 x，y 轴于 A，C，点 P 是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PBx 轴交于点 B，且 S ABP=9 （1）求证：AOCAB
41、P； （2）求点 P 的坐标； （3）设点 R 与点 P 在同一反比例函数的图象上，且点 R 在直线 PB 的右侧，作 RT x 轴于点 T，当BRT 与AOC 相似时，求点 R 的坐标 【考点】反比例函数综合题 【分析】（1）由一对公共角相等，一对直角相等，利用两对角相等的三角形相 似即可得证； （2）先求点 A、C 的坐标，根据点 A、C 分别在 x、y 轴上，设出 A（a ，0 ）， C（ 0，c）代入直线的解析式可知；由AOCABP ，利用线段比求出 BP，AB 的值从而可求出点 P 的坐标即可； （3）把 P 坐标代入求出反比例函数，设 R 点坐标为（x，y），根据BRT 与 AOC
42、 相似分两种情况，利用线段比联立方程组求出 x，y 的值，即可确定出 R 坐 标 【解答】解：（1）CAO= PAB ，AOC=ABP=90 ， AOC ABP； （2）设 A（a，0），C （ 0，c ）由题意得 ， 解得： ， A（4 ，0），C （0，2），即 AO=4，OC=2 ， 又S ABP =9， ABBP=18， 又PBx 轴， OCPB ， AOC ABP， = ，即 = ， 2BP=AB， 2BP 2=18， BP 2=9， BP=3， AB=6， P 点坐标为（2，3）； （3）设反比例函数的解析式为 y= ， 由题意得 =3，解得 k=6， 反比例函数的解析式为 y= ， 设 R 点的坐标为（x，y）， P 点坐标为（2，3）， 反比例函数解析式为 y= ， 当BTRAOC 时， = ，即 = ， 则有 ，解得： ， 此时 R 的坐标为（ +1， ）； 当BRTCOA 时， = ，即 = ， 解得：x 1=3， x2=1（不符合题意应舍去）， 此时 R 坐标为（3，2）， 综上，R 的坐标为（ +1， ）或（3，2） 【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析 式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，以及坐标与图 形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键
