1、2015-2016 学年广西玉林市博白县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1气温由1上升 2后是（ ） A3 B2 C1 D1 2截止年底，某市人口总数已达到 4230000 人，将 4230000 用科学记数法表示为（ ） A0.42310 7 B4.23 106 C42.3 105 D42310 4 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4一元二次方程 x25x6=0 的根是（ ） Ax 1= 1，x 2=6 Bx 1=2，x 2=3 Cx 1=1，x 2=6 Dx 1=1，x 2=6 5下列等式从左到
2、右的变形，属于因式分解的是（ ） Aa（xy）=axay Bx 2+2x+1=x（x+2）+1 C （x+1 ） （x+3）=x 2+4x+3 Dx 3x=x（x+1 ） （x 1） 6如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则1+ 2 等于（ ） A270 B180 C135 D90 7下列函数中自变量的取值范围是 x2 的是（ ） Ay=x 2By= Cy= Dy= 8已知 AB 是 O 的直径，过点 A 的弦 AD 平行于半径 OC，若A=70 ，则B 等于（ ） A30 B35 C40 D60 9已知样本数据 1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ） A平均数是 3
3、B中位数是 4 C极差是 4 D方差是 2 10如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y=k 1x+b1 与直线 l2：y=k 2x+b2 相交于点 P（1，m） ，则 关于 x 的不等式 k1x+b1k 2x+b2 的解集是（ ） Ax1 Bx1 Cx 1 Dx1 11函数 y=mx2+2x3m（m 为常数）的图象与 x 轴的交点有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 12如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 的一边 BC 与直角边分别是 2 和 4 的 RtGEF 的一边 GF 重 合正方形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 GE 向右匀速运动，当点 A 和点
4、 E 重合时正方形 停止运动设正方形的运动时间为 t 秒，正方形 ABCD 与 RtGEF 重叠部分面积为 S，则 S 关于 t 的函数图象为（ ） A B C D 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 132 的倒数是 14如图，点 B 是线段 AC 上的点，点 D 是线段 BC 的中点，若 AB=4cm，AC=10cm，则 CD= cm 15若3x 2m+ny5 和 5x4ym+2n 是同类项，则 mn 的值是 16如图所示，转盘被等分成十个扇形，并在上面依次标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数正好能被 3 整
5、除的概率是 17若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值是 18如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形 ABCDEF，点 P 沿直线 AB 从右向左移动，当 出现点 P 与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线 AB 上会发出 警报的点 P 的个数为 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19计算： （ ） 022 20先化简，再求值： ，其中 a= ， 21如图，E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，且 BEDF， 求证：ABECDF 22为迎接“建党九十周年” ，某校组织了“ 红歌大家唱”的竞赛活动，从全校 1200 名学生中随机抽查
6、 了 100 名学生的成绩（满分 30 分） ，整理得到如下的统计图表，请根据所提供的信息解答下列问题： 成绩（分） 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 2 3 3 6 7 5 8 15 9 11 12 8 6 4 频率分布表： 成绩分组 频数 频率 15x18 3 0.03 18x21 a 0.12 21x24 20 0.20 24x27 35 0.35 27x30 30 b （1）样本的众数是 分，中位数是 分； （2）频率分布表中 a= ，b= ；补全频数分布直方图； （3）请根据抽样统计结果，估计该校全体学生“红歌大家唱
7、”的竞赛成绩不少于 21 分的大约有多少 人？ 23如图，过OAB 的顶点 O 作 O，与 OA，OB 边分别交于点 C，D，与 AB 边交于 M，N 两点， 且 CDAB，已知 OC=3，CA=2 （1）求 OB 的长； （2）若A=30，求 MN 的长 24某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球其中篮球的单价比足球的单价多 40 元，用 1500 元购进的篮球个数与 900 元购进的足球个数相等 （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）该校打算用 1000 元购买篮球和足球，问恰好用完 1000 元，并且篮球、足球都买有的购买方 案有哪几种？ 25如图，四边形 ABCD 是矩
8、形，EDC= CAB， DEC=90 （1）求证：ACDE； （2）过点 B 作 BFAC 于点 F，连接 EF，试判别四边形 BCEF 的形状，并说明理由 26如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点 的左侧，B 点的坐标为（3， 0） ，与 y 轴交于 C（0，3）点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）若抛物线的顶点为点 D，求BCD 的面积； （3）设 M 是（1）所得抛物线上第四象限内的一个动点，过点 M 作直线 lx 轴交于点 F，交直线 BC 于点 N试问：线段 MN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及
9、此时 M 点的坐标； 若不存在，请说明理由 2015-2016 学年广西玉林市博白县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1气温由1上升 2后是（ ） A3 B2 C1 D1 【考点】有理数的加法 【分析】根据上升 2即是比原来的温度高了 2，就是把原来的温度加上 2即可 【解答】解：气温由 1上升 2， 1+2=1 故选 C 【点评】此题考查了有理数的加法，要先判断正负号的意义：上升为正，下降为负，再根据有理数 加法运算法则进行计算 2截止年底，某市人口总数已达到 4230000 人，将 4230000 用科学记数法表示为
10、（ ） A0.42310 7 B4.23 106 C42.3 105 D42310 4 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看 把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 4230000 用科学记数法表示为：4.2310 6 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值
11、3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 故选：A 【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概 念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合 4一元二次方程 x25x
12、6=0 的根是（ ） Ax 1=1，x 2=6 Bx 1=2，x 2=3 Cx 1=1，x 2=6 Dx 1=1，x 2=6 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x6） （x+1 ）=0 ，然后根据“ 两式相乘值为 0，这两 式中至少有一式值为 0 ”来解题 【解答】解：x 25x6=0 （x6） （ x+1）=0 x1=1， x2=6 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法， 公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法 5下列等式从左到右的变形，属
13、于因式分解的是（ ） Aa（xy）=axay Bx 2+2x+1=x（x+2）+1 C （x+1 ） （x+3）=x 2+4x+3 Dx 3x=x（x+1 ） （x 1） 【考点】因式分解的意义 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项 进行判断即可 【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； D、符合因式分解的定义，故本选项正确； 故选：D 【点评】本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解后右边是整
14、式积的形式 6如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则1+ 2 等于（ ） A270 B180 C135 D90 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理 【分析】首先根据三角形内角和定理算出3+ 4 的度数，再根据四边形内角和为 360，计算出 1+2 的度数 【解答】解：5=90 ， 3+4=18090=90， 3+4+1+2=360， 1+2=36090=270， 故选：A 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，关键是算出1+ 2 的度数 7下列函数中自变量的取值范围是 x2 的是（ ） Ay=x 2By= Cy= Dy= 【考点】函数自变量的取值范
15、围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 【专题】计算题 【分析】当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母 不能为 0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 【解答】解：A、项中 x 的取值范围是全体实数； B、项中 x 的取值范围是 x2； C、项中 x 的取值范围是 x2； D、项根据二次根式和分式的意义得 x20，解得：x2 故选 D 【点评】当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；当函数表达式是二次根式时，被开方 数为非负数 8已知 AB 是 O 的直径，过点 A 的弦 AD 平行于半径 OC，若A=70 ，则B 等于（ ） A30
16、 B35 C40 D60 【考点】圆周角定理 【分析】由 ADOC， A=70，根据平行线的性质，即可求得 AOC 的度数，又由在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得B 的度数 【解答】解：ADOC，A=70， AOC=A=70， B= AOC=35 故选 B 【点评】此题考查了圆周角定理与平行线的性质此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角 的一半定理的应用是解此题的关键 9已知样本数据 1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ） A平均数是 3 B中位数是 4 C极差是 4 D方差是 2 【考点】算术平均
17、数；中位数；极差；方差 【专题】计算题 【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；根据中位数的定义可求出；对于极差是 最大值与最小值的差；方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数 【解答】解：在已知样本数据 1，2，4，3，5 中，平均数是 3； 极差=5 1=4； 方差=2 所以根据中位数的定义，中位数是 3，所以 B 不正确 故选：B 【点评】本题考查平均数和中位数一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求 一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个 数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中
18、位数；当数据个数为偶数 时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数 10如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y=k 1x+b1 与直线 l2：y=k 2x+b2 相交于点 P（1，m） ，则 关于 x 的不等式 k1x+b1k 2x+b2 的解集是（ ） Ax1 Bx1 Cx 1 Dx1 【考点】一次函数与一元一次不等式 【专题】数形结合 【分析】直接根据当 x1 时直线 y=k1x+b1 在直线 y=k2x+b2 相的上方进行解答即可 【解答】解：由函数图象可知，当 x1 时直线 y=k1x+b1 在直线 y=k2x+b2 相的上方， 关于 x 的不等式 k1x+b1k 2x+b
19、2 的解集是 x1 故选 D 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此 题的关键 11函数 y=mx2+2x3m（m 为常数）的图象与 x 轴的交点有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 【考点】抛物线与 x 轴的交点；正比例函数的性质 【专题】计算题 【分析】分两种情况考虑：当 m 不为 0 时，函数为二次函数，找出二次项系数为 m，一次项系数 为 2，常数项为3m，计算出 b24ac，根据完全平方式恒大于等于 0，判断出 b24ac 大于 0，即可得 出二次函数图象与 x 轴有两个交点； 当 m=0 时，将 m=0 代入得到
20、 y=2x，此时函数为正比例函数，得到此时函数与 x 轴交点有 1 个，综 上，得到函数与 x 轴交点的个数 【解答】解：分两种情况考虑： （i）m0 时，函数 y=mx2+2x3m 为二次函数， b24ac=4+12m240， 则抛物线与 x 轴的交点有 2 个； （ii）当 m=0 时，函数解析式为 y=2x，是正比例函数， 此时 y=2x 与 x 轴有一个交点， 综上，函数与 x 轴的交点有 1 个或 2 个 故选 D 【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点由 b24ac 来决定， 当 b24ac0，抛物线与 x 轴没 有交点；当 b2
21、4ac=0，抛物线与 x 轴只有一个交点；当 b24ac0 时， 抛物线与 x 轴有两个交点 12如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 的一边 BC 与直角边分别是 2 和 4 的 RtGEF 的一边 GF 重 合正方形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 GE 向右匀速运动，当点 A 和点 E 重合时正方形 停止运动设正方形的运动时间为 t 秒，正方形 AB CD 与 RtGEF 重叠部分面积为 S，则 S 关于 t 的函数图 象为（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】压轴题 【分析】分类讨论：当 0t2 时，BG=t，BE=2 t，运用EBPEGF 的相似比可
22、表示 PB=1 t，S 为梯形 PBGF 的面积，则 S= （42t+4 ）t= t2+4t，其图象为开口向下的抛物线的一部分； 当 2t4 时， S= FGGE=4，其图象为平行于 x 轴的一条线段； 当 4t6 时， GA=t4，AE=6t ，运用EAPEGF 的相似比可得到 PA=2（6t） ，所以 S 为三角形 PAE 的面积，则 S= （t6） 2，其图象为开口向上的抛物线的一部分 【解答】解：当 0t2 时，如图， BG=t，BE=2t， PBGF， EBPEGF， = ，即 = ， PB=42t， S= （PB+FG ）GB= （42t+4） t=t2+4t； 当 2t4 时，
23、S= FGGE=4； 当 4t6 时，如图， GA=t4， AE=6t， PAGF， EAPEGF， = ，即 = ， PA=2（6t） ， S= PAAE= 2（6t） （6 t） =（t6） 2， 综上所述，当 0t2 时，s 关于 t 的函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当 2t 4 时，s 关于 t 的函数图象为平行于 x 轴的一条线段；当 4t 6 时，s 关于 t 的函数图象为开口向上的抛物线的一 部分 故选：B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关 系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围 二、填空题
24、（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 132 的倒数是 【考点】倒数 【分析】根据倒数的定义，2 的倒数是 【解答】解：2 =1， 答：2 的倒数是 【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 14如图，点 B 是线段 AC 上的点，点 D 是线段 BC 的中点，若 AB=4cm，AC=10cm，则 CD= 3 cm 【考点】两点间的距离 【专题】计算题 【分析】求出 BC 长，根据中点定义得出 CD= BC，代入求出即可 【解答】解：AB=4cm，AC=10cm， BC=ACAB=6cm， D 为 BC 中点， CD= BC=3cm， 故答案为：3 【点评
25、】本题考查了有关两点间的距离的应用，关键是求出 BC 长和得出 CD= BC 15若3x 2m+ny5 和 5x4ym+2n 是同类项，则 mn 的值是 1 【考点】同类项 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组，求出 n，m 的值， 再代入代数式计算即可 【解答】解：根据题意得： ， 解得： ， 则 mn=12=1 故答案是：1 【点评】本题考查同类项的定义、正确解方程组求得 m、n 的值是关键 16如图所示，转盘被等分成十个扇形，并在上面依次标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数正好能被 3 整 除的概率
26、是 【考点】概率公式 【分析】根据正好被 8 整除的数在整个圆盘中所占的份数即可解答 【解答】解：根据题意，可得：转盘被等分成十个扇形，并在上面依次标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，正好能被 3 整除的有 3 个，即 3，6，9， 故自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数正好能被 3 整除的概率是 故答案为： 【点评】本题考查随机事件率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事 件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 17若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值是 1 【考点】分式方程的解 【分析】首先由方
27、程两边同乘以（x2） ，得：x m=3，又由关于 x 的分式方程 无解，即 可得：x2=0 ，继而求得 m 的值 【解答】解：方程两边同乘以（x2） ，得： xm=3， 解得：x=m+3 ， 关于 x 的分式方程 无解， x2=0， 即 x=2， m+3=2， 解得：m=1 故答案为：1 【点评】此题考查了分式方程的解的知识注意若分式方程 无解，即可得最简公分母 x2=0 18如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形 ABCDEF，点 P 沿直线 AB 从右向左移动，当 出现点 P 与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线 AB 上会发出 警报的点 P 的个数为 5
28、 【考点】正多边形和圆 【专题】计算题；压轴题 【分析】先根据正六边形的特点，判断出此六边形中相互平行的边及对角线，再根据线段垂直平分 线的性质确定不同的点即可 【解答】解：如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线 段成比例定理可知，CDBEAF ，EDFC AB，EF ADBC，EC FB，AEBD，ACFD， 根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组 平行线段中，AE、BD 与 AB 垂直，其中垂线必与 AB 平行，故无交点 故直线 AB 上会发出警报的点 P 有：CD、ED 、EF 、EC 、 AC 的垂直平
29、分线与直线 AB 的交点，共 五个 故答案为 5 【点评】此题考查了正多边形和圆的知识，比较复杂，解答此题的关键是找出图中相互平行的线 段 三、解 答题（共 8 小题，满分 66 分） 19计算： （ ） 022 【考点】实数的运算 ；零指数幂；负整数指数幂 【专题】计算题；实数 【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整 数指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式=3+1 =4 =3 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20先化简，再求值： ，其中 a= ， 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】将原式利用同
30、分母分式的减法法则计算，分子再利用平方差公式分解因式，约分后得到最 简结果，将 a 与 b 的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值 【解答】 （本题满分 6 分） 解：原式= = =a+b，（4 分） 当 a= ，b= 时， 原式=a+b= + = （6 分） 【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母； 分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式分子分母出现多项式，应先将多 项式分解因式后再约分 21如图，E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，且 BEDF， 求证：ABECDF 【考点】平行四边形的性质；全等三
31、角形的判定 【专题】证明题 【分析】首先由平行四边形的性质可得 AB=CD，ABCD，再根据平行线的性质可得 BAE=DCF，BEC= DFA，即可根据 AAS 定理判定ABE CDF 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，ABCD， BAE=DCF， BEDF， BEC=DFA， AEB=CFD（等角的补角相等） ， 在ABE 和 DCF 中 ， ABECDF（AAS） 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，关键是掌握平行四边形 的对边平行且相等；全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA 、AAS、HL 22为迎接“建党九十周年” ，某校组织
32、了“ 红歌大家唱”的竞赛活动，从全校 1200 名学生中随机抽查 了 100 名学生的成绩（满分 30 分） ，整理得到如下的统计图表，请根据所提供的信息解答下列问题： 成绩（分） 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 2 3 3 6 7 5 8 15 9 11 12 8 6 4 频率分布表： 成绩分组 频数 频率 15x18 3 0.03 18x21 a 0.12 21x24 20 0.20 24x27 35 0.35 27x30 30 b （1）样本的众数是 24 分，中位数是 24.5 分； （2）频率分布表中 a= 12 ，
33、b= 0.3 ；补全频数分布直方图； （3）请根据抽样统计结果，估计该校全体学生“红歌大家唱 ”的竞赛成绩不少于 21 分的大约有多少 人？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；众数 【分析】 （1）由成绩统计表可知，成绩为 24 分的人数最多为 15 人，可确定 24 分为众数，按成绩 由小到大排列，第 50，51 个分数的平均数为中位数； （2）由总人数为 100，可求 a，由频率和为 1，可求 b，由 a 的值，补全频数分布直方图； （3）样本容量为 100，由频数分布直方图可知，成绩不少于 21 分的有 20+35+30=85，由此可求该 校全体学生
34、“红歌大家唱” 的竞赛成绩不少于 21 分的大约有多少人 【解答】解：（1）由成绩统计表可知，成绩为 24分的人数最多为 15 人，所以，众数为 24， 按成绩由小到大排列，第 50 个人分数为 24 分，第 51 个人分数 为 25 分， 所以，中位数=（24+25 ）2=24.5； 故答案为：24，24.5； （2）由频率分布表可知，a=1003 203530=12， b=10.030.120.200.35=0.3， 故答案为：12；0.3， 频数分布直方图如图所示： ； （3）依题意，得 =1020 答：该校全体学生中“红歌大家唱”竞赛成绩不少于 21 分的大约有 1020 人 【点评】
35、本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时， 必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 23如图，过OAB 的顶点 O 作 O，与 OA，OB 边分别交于点 C，D，与 AB 边交于 M，N 两点， 且 CDAB，已知 OC=3，CA=2 （1）求 OB 的长； （2）若A=30，求 MN 的长 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】 （1）由 OC=OD，CDAB，易证得 OAB 是等腰三角形，继而求得答案； （2）首先过点 O 作 OEMN 于点 E，连接 OM，由A=30 ，易求得 OE 的长，然后由勾股定理求 得 ME 的长，再利用
36、垂径定理的知识，求得 MN 的长 【解答】解：（1）OC=OD， OCD=ODC， CDAB， A=OCD，B= ODC， A=B， OB=OA=OC+CA=3+2=5； （2）过点 O 作 OEMN 于点 E，连接 OM， A=30， OE= OA= ， 在 RtOEM 中，ME= = = ， MN=2ME= 【点评】此题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理注意准确作出辅助线是解 此题的关键 24某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球其中篮球的单价比足球的单价多 40 元，用 1500 元购进的篮球个数与 900 元购进的足球个数相等 （1）篮球和足球的单价各是多少
37、元？ （2）该校打算用 1000 元购买篮球和足球，问恰好用完 1000 元，并且篮球、足球都买有的购买方 案有哪几种？ 【考点】分式方程的应用；二元一次方程的应用 【分析】 （1）首先设足球单价为 x 元，则篮球单价为（x+40）元，根据题意可得等量关系：1500 元购进的篮球个数=900 元购进的足球个数，由等量关系可得方程 = ，再解方程可得答案； （2）设恰好用完 1000 元，可购买篮球 m 个和购买足球 n 个，根据题意可得篮球的单价篮球的个 数 m+足球的单价 足球的个数 n=1000，再求出整数解即可 【解答】解：（1）设足球单价为 x 元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得
38、： = ， 解得：x=60， 经检验：x=60 是原分式方程的解， 则 x+40=100， 答：篮球和足球的单价各是 100 元，60 元； （2）设恰好用完 1000 元，可购买篮球 m 个和购买足球 n 个， 由题意得：100m+60n=1000， 整理得：m=10 n， m、n 都是正整数， n=5 时，m=7 ，n=10 时，m=4，n=15，m=1 ； 有三种方案： 购买篮球 7 个，购买足球 5 个； 购买篮球 4 个，购买足球 10 个； 购买篮球 1 个，购买足球 15 个 【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等 量关系，列出方程
39、 25如图， 四边形 ABCD 是矩形，EDC=CAB ，DEC=90 （1）求证：ACDE； （2）过点 B 作 BFAC 于点 F，连接 EF，试判别四边形 BCEF 的形状，并说明理由 【考点】矩形的性质；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定 【专题】综合题 【分析】 （1）要证 ACDE，只要证明， EDC=ACD 即可； （2）要判断四边形 BCEF 的形状，可以先猜 后证，利用三角形的全等，证明四边形的两组对边分 别相等 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ACD=CAB， EDC=CAB， EDC=ACD， ACDE； （2）解：四边形
40、 BCEF 是平行四边形 理由如 下： BFAC，四边形 ABCD 是矩形， DEC=AFB=90，DC=AB 在CDE 和BAF 中， ， CDEBAF（AAS） ， CE=BF，DE=AF（全等三角形的对应边相等） ， ACDE， 即 DE=AF，DEAF， 四边形 ADEF 是平行四边形， AD=EF， AD=BC， EF=BC， CE=BF， 四边形 BCEF 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 【点评】本题所考查的知识点：三角形全等、平行四边形的判定，矩形的性质；综合性好，难度中 等 26如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于
41、A、B 两点，A 点在原点 的左侧，B 点的坐标为（3， 0） ，与 y 轴交于 C（0，3）点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）若抛物线的顶点为点 D，求BCD 的面积； （3）设 M 是（1）所得抛物线上第四象限内的一个动点，过点 M 作直线 lx 轴交于点 F，交直线 BC 于点 N试问：线段 MN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 M 点的坐标； 若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）点在抛物线上，将点的坐标代入即可求得抛物线解析式； （2）根据图形的关系，找出BCD 的面积为直角梯形面积减去两个直角三角形的面积，套入坐标 即可求得； （
42、3）由题意巧设坐标，用未知数 m 表示出来 MN 的长度，根据二次函数极值问题即可解决问题 【解答】解：（1）将 B（3， 0） ，C （0，3）两点的坐标代入得： ， 解得：b= 2，c= 3， 所以二次函数的表达式为：y=x 22x3 （2）由 y=（x 1） 24 得顶点 D（1，4） ，过 D 点做 DPy 轴，垂足为点 P，则 P（0，4） ，如图 四边形 DPOB 为直角梯形， BOC 与 DPC 均为直角三角形， BCD 的面积=梯形 DPOB 的面积 BOC 的面积 DPC 的面积 = （OB+PD） OP PCPD COOB 又 O（ 0，0） ， C（0，3） ，B（3，0） ，D（1，4） ，P（0， 4） ， BCD 的面积= （1+3）4 11 33=3 （3）设直线 BC 的关系式为 y=kx+n， 将 B（3，0） ，C（0， 3）代入 y=kx+n 得 ，解得 k=1，n= 3， 直线 BC 的关系式为 y=x3 设 M（m，m 22m3） ，则 N（m ，m 3） ， MN=m3（m 22m3）= m2+3m= + 当 m= 时，线段 MN 长度有最大值 ，此时 M 的坐标为（ ， ） 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是学会拆分法求图形面积，并会借助二次函 数求极值来解决问题
