1、2014-2015 学年福建省泉州市惠安县九年级（ 上）期 末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 21 分） 1化简二次根式 的正确结果为( ) A3 B C D 2判断一元二次方程 x22x+1=0 的根的情况是( ) A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 3依次连接菱形各边中点所得的四边形是( ) A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形 4用配方法解方程 x24x3=0，下列配方结果正确的是( ) A （x4 ） 2=19 B （x 2） 2=7 C （x+2） 2=7 D （x+4） 2=19 5一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的
2、价格为 121 元，如果每次提价的百分率都 是 x，根据题意，下面列出的方程正确的是( ) A100（1+x）=121 B100 （1 x）=121 C100（1+x） 2=121 D100（1x） 2=121 6如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，若 DE：CE=1：2，则CEF 与ABF 的周长比为( ) A1：2 B1： 3 C2：3 D4：9 7如图，ABC 中，cosB= ，sinC= ，AC=5 ，则 ABC 的面积是( ) A B12 C14 D21 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分） 8当 x _时，二次根式 有意义 9比较大小： _ （填“”、 “
3、=”、 “”） 10已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x2mx2=0 的一个解，则 m 的值是_ 11 （1998宁波）已知： ，则 的值为_ 12计算（3+ ） 2 的最简结果是_ 13布袋中装有 2 个白球，4 个黑球，它们除颜 色外其余均相同，则随机地从袋中摸出一 个球是白球的概率是_ 14如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，若 CD=2，AC=6，且 CDBCBA，则 BC2=_ 15阅读理解：已知A、 B 是 RtABC 的两个锐角，锐角A 的邻边与对边的比值叫做 锐角A 的余切，记作 cotA，记 cotA= ，已知 tanB= ，则 cotB 的值等于 _ 16已知
4、RtABC 的两条边长分别为 3 和 4，则 RtABC 的斜边长可能是_（写 出所有可能的值） 17如图，平行四边形 ABCD 中，B=30，ABBC，将ABC 沿 AC 翻折至 ABC，连 接 BD，若 AB=2 ， ABD=75，则： CBD=_；BC=_ 三、解答题（共 89 分） 18计算：4sin60+ 19解方程：x 24x5=0 20先化简，再求值：（a ） （a+ ）+a（3a） ，其中 a=2 21在一个不透明的盒子中，装有三张卡片，卡片上分别标有数字“1” ， “2”和“3”，它们除了 数字不同外，其余都相同 （1）随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率
5、是多少？ （2）若第一次从这三张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为 x，此卡片 不放回盒中，第 二次再从余下的两张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为 y，请用画树状图或列表法表 示出上述情况的所有等可能结果，并求出 x+y0 的概率 22将一盒足量的牛奶按如图 1 所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶 刚好接触到点 P 时停止倒入，图 2 是它的平面示意图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）填空：AP=_cm，BP=_cm； （2）求出容器中牛奶的高度 CF （结果精确到 0.1cm） 23如图，在 68 的网格图中，每个小正方形边长均为 1，原点 O 和ABC 的顶点 均为
6、格 点 （1）以 O 为位似中心，在网格图中作 ABC，使A BC与ABC 位似，且位似比为 1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）若点 C 和坐标为（2，4 ） ，则点 A的坐标为（_，_） ，点 C的坐 标为（_，_） ，S ABC：S ABC=_ 24某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息： 请结合以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的进货单价； （2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为 2 元、3 元，该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 1300 件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降 0.1 元，甲种商品每天可多 销售 100 件，商店决定把甲种
7、商品的零售单价下降 m（m0）元，在不考虑其他因素的条 件下，求当 m 为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为 1800 元（注：单 件利润=零售单价 进货单价） 25如图，已知在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b ，点 E 是线段 AD 边上的任意一点（不含 端点 A、D） ，连接 BE、CE （1）若 a=5，sinACB= ，解答下列问题： 填空：b=_ ； 当 BEAC 时，求出此时 AE 的长； （2）设 AE=x，试探索点 E 在线段 AD 上运动过程中，使得 ABE 与BCE 相似时，求 a，b 应满足什么条件，并求出此时 x 的值 26 （14 分）在平面直角坐
8、标系 xOy 中，直线 y= x+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与 直线 y=x 相交于点 C （1）直接写出点 C 的坐标； （2）如图，现将直角FCE 绕直角顶点 C 旋转，旋转时始终保持直角边 CF 与 x 轴、y 轴 分别交于点 F、点 D，直角边 CE 与 x 轴交于点 E 在直角FCE 旋转过程中，tan CED 的值是否会发生变化？若改变，请说明理由，若不 变，请求出这个值； 在直角FCE 旋转过程中，是否存在以 C、E、F 为顶点的三角形与ODE 相似？若存在， 求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由 2014-2015 学年福建省泉州市惠安县九年级（上）期末 数
9、学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 21 分） 1化简二次根式 的正确结果为( ) A3 B C D 考点：二次根式的性质与化简 分析：根据二次根式的除法法则的逆运算和分母有理化把原式化简即可 解答： 解： = = = 故选：D 点评：本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质和最简二次根式的概念是解题 的关键 2判断一元二次方程 x22x+1=0 的根的情况是( ) A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 考点：根的判别式 分析：先计算出=（ 2） 2411=0，然后根据 的意义进行判断方程根的情况 解答： 解：= （2） 2411=0， 方程有
10、两个相等的实数根 故选 B 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方 程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 3依次连接菱形各边中点所得的四边形是( ) A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形 考点：矩形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质 分析：根据菱形的性质及三角形中位线定理即可推出新四边形的形状 解答： 解：菱形的对角线垂直，新四边形的各边都平行于菱形对角线，可得到新四边形 的各边也互相垂直，所以新四边形为矩形 故选 A 点评：本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的
11、数量关系 4用配方法解方程 x24x3=0，下列配方结果正确的是( ) A （x4） 2=19 B （x2） 2=7 C （x+2） 2=7 D （x+4） 2=19 考点：解一元二次方程-配方法 分析：移项，再配方，即可得出答案 解答： 解：x 24x3=0， x24x=3， x24x+4=3+4， （x2） 2=7， 故选 B 点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都加 上一次项系数一半的平方，难度适中 5一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的价格为 121 元，如果每次提价的百分率都 是 x，根据题意，下面列出的方程正确的是( ) A100（1
12、+x ）=121 B 100（1 x）=121 C100（1+x） 2=121 D100（1x） 2=121 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 专题：增长率问题；压轴题 分析：设平均每次提价的百分率为 x，根据原价为 100 元，表示出第一次提价后的价钱为 100（1+x）元，然后再根据价钱为 100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为 100（1+x） 2 元，根据两次提价后的价钱为 121 元，列出关于 x 的方程 解答： 解：设平均每次提价的百分率为 x， 根据题意得：100（1+x） 2=121， 故选 C 点评：此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基
13、数为 a，平均增长率为 x，增长的次数为 n（一般情况下为 2） ，增长后的量为 b，则有表达式 a（1+x） n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增” 与“减” 6如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，若 DE：CE=1：2，则CEF 与ABF 的周长比为( ) A1：2 B1： 3 C2：3 D4 ：9 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 分析：根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等 于相似比就可得到答案 解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB，CD=AB DFEBFA， DE：EC=1 ： 2， EC
14、：DC=CE：AB=2：3， CCEF：C ABF=2：3 故选：C 点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长 的比等于相似比，周长的比等于相似比是解答此题的关键 7如图，ABC 中，cosB= ，sinC= ，AC=5 ，则 ABC 的面积是( ) A B12 C14 D21 考点：解直角三角形 分析：根据已知作出三角形的高线 AD，进而得出 AD，BD，CD，的长，即可得出三角形 的面积 解答： 解：过点 A 作 ADBC， ABC 中，cosB= ，sinC= ，AC=5， cosB= = ， B=45， sinC= = = ， AD=3， CD=
15、=4， BD=3， 则ABC 的面积是： ADBC= 3（3+4）= 故选 A 点评：此题主要考查了解直角三角形的知识，作出 ADBC，进而得出相关线段的长度是 解决问题的关键 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分） 8当 x 3 时，二次根式 有意义 考点：二次根式有意义的条件 专题：计算题 分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解 解答： 解：根据二次根式有意义，得 x30， 解得，x3； 故答案为：3 点评：考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质：二次根 式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 9比较大小： （填“”、 “=”、 “”）
16、 考点：实数大小比较 专题：计算题 分析：先把 2 平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可 解答： 解：2 = ， 故答案为： 点评：此题主要考查了算术平方根的性质，首先运用二次根式的性质把根号外的移到根号 内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可 10已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x2mx2=0 的一个解，则 m 的值是 1 考点：一元二次方程的解 分析：方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就 可以得到关于 m 的方程，从而求得 m 的值 解答： 解：把 x=1 代入方程得：1+m 2=0， 解得 m=1 故答案为：1； 点评：本
17、题主要考查了方程的解的定义就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即 用这个数代替未知数所得式子仍然成立 11 （1998宁波）已知： ，则 的值为 考点：比例的性质 专题：计算题 分析：此类比例问题我们可以设一份为 k，用 k 表示出各量即可求得此题为设 a=k，b=2k，代入即可 解答： 解：设 a=k，则 b=2k， 点评：本题比较简单，是比例题目中的常见题，要注意设一份为 k 方法 12计算（3+ ） 2 的最简结果是 11+6 考点：二次根式的混合运算 专题：计算题 分析：利用完全平方公式计算 解答： 解：原式=9+6 +2 =11+6 故答案为 11+6 点评：本题考查了二次根式的计
18、算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式 的乘除运算，然后合并同类二次根式 13布袋中装有 2 个白球，4 个黑球，它们除颜色外其余均相同，则随机地从袋中摸出一 个球是白球的概率是 考点：概率公式 分析：由布袋中装有 2 个白球，4 个黑球，它们除颜色外其余均相同，直接利用概率公式 求解即可求得答案 解答： 解：布袋中装有 2 个白球，4 个黑球，它们除颜色外其余均相同， 随机地从袋中摸出一个球是白球的概率是： = 故答案为： 点评：此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 14如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，若 CD=2，AC=6，且 CD
19、BCBA，则 BC2=12 考点：相似三角形的性质 分析：由CDBCBA ，根据相似三角形的对应边成比例，即可得 CD：CB=CB：CA ，继 而求得答案 解答 ： 解：CDBCBA， CD：CB=CB：CA， BC2=CDCA=26=12 故答案为：12 点评：此题考查了相似三角形的性质注意相似三角形的对应边成比例 15阅读理解：已知A、 B 是 RtABC 的两个锐角，锐角A 的邻边与对边的比值叫做 锐角A 的余切，记作 cotA，记 cotA= ，已知 tanB= ，则 cotB 的值等于 考点：锐角三角函数的定义 专题：新定义 分析：根据余切的定义可知，同角的正切和余切互为倒数，据此即
20、可求解 解答： 解：tanB= = ， cotB= = 故答案是： 点评：本题考查了三角函数，读懂题意，理解对边与邻边的定义是关键 16已知 RtABC 的两条边长分别为 3 和 4，则 RtABC 的斜边长可能是 4 或 5（写出所 有可能的值） 考点：勾股定理 专题：分类讨论 分析：分情况探讨： （1）边长为 4 的边是斜边，则斜边长为 4； （2）边长为 4 的边不是斜边，则已知两直角边根据勾股定理可以求斜边 解答： 解：（1）边长为 4 的边是斜边，则斜边长为 4； （2）边长为 4 的边不是斜边，是直角边， 则斜边长为 =5 故答案为：4 或 5 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形
21、中的运用，渗透分类讨论思想，本题中讨论边长 为 4 的边是否是斜边是解题的关键 17如图，平行四边形 ABCD 中，B=30，ABBC，将ABC 沿 AC 翻折至 ABC，连 接 BD，若 AB=2 ， ABD=75，则： CBD=45；BC=3 考点：翻折变换（折叠问题） 分析：根据对折的性质求得ABC=30，从而求得CBD=45 ，由于 BDAC，得出 ACB=CBD=45，进而即可求得ACB=45；作 AGBC 于 G，根据解直角三角形即可 求得 BC 解答： 解：如图四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，BC=AD， B=ADC， 将 ABC 沿 AC 翻折至ABC ， AB=
22、AB，BC=BC，ABC=B， AB=CD，BC=AD， ABC=ADC， 在ABC 和CAD 中， ， ABCCAD（SAS） ， ACB=CAD， 设 AD、BC 相交于 E， AE=CE， ACE 是等腰三角形， 即ABC 与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形； BC=AD，AE=CE， BE=DE， CBD=ADB， AEC=BED， ACB=CAD， ADB=DAC， BDAC； 在 ABCD 中， B=30，将 ABC 沿 AC 翻折至ABC， ABC=30， ABD=75， CBD=45， BDAC， ACB=CBD=45， ACB=ACB， ACB=45； 作 AGBC 于
23、G， AG=CG， B=30， AG= AB= ， CG= ，BG=3， BC=BG+CG=3 ， 故答案为：45，3 点评：本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，平 行四边形的性质，解直角三角形， 证得 ACBD 是解题的关键 三、解答题（共 89 分） 18计算：4sin60+ 考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值 分析：分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的除法运算、二次根式的化简等运算，然 后合并 解答： 解：原式=4 +2 =4 点评：本题考查了二次根式的混合运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的除法运 算、二次根式的化简等知识，掌握运算法则是解答本题的关键 19解方
24、程：x 24x5=0 考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法 分析：观察原方程，可将方程左边配 成一个完全平方式，然后用配方法求解；也可依据二 次三项式的因式分解法进行求解 解答： 解：（1）x 24x+4=5+4 x22=9 x2=3 或 x2=3 x1=5，x 2=1； （2） （x5） （x+1）=0 x5=0 或 x+1=0 x1=5，x 2=1 用公式法解酌情给分 点评：本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配 方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 20先化简，再求值：（a ） （a+ ）+a（3a） ，其中
25、a=2 考点：整式的混合运算化简求值 专题：计算题 分析：原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并得到最简结果，把 a 的 值代入计算即可求出值 解答： 解：原式=a 22+3aa2=3a2， 当 a=2 时，原式=3 （2） 2=8 点评：此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 21在一个不透明的盒子中，装有三张卡片，卡片上分别标有数字“1” ， “2”和“3”，它们除了 数字不同外，其余都相同 （1）随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？ （2）若第一次从这三张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为 x，此卡片不放回盒中，第 二次
26、再从余下的两张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为 y，请用画树状图或列表法表 示出上述情况的所有等可能结果，并求出 x+y0 的概率 考点：列表法与树状图法 分析：（1）由在一个不透明的盒子中，装有三张卡片，卡片上分别标有数字“1” ， “2”和“3”， 它们除了数字不同外，其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与 x+y0 的情况， 再利用概率公式即可求得答案 解答： 解：（1）在一个不透明的盒子中，装有三张卡片，卡片上分别标有数字 “1”， “2” 和“3 ”，它们除了数字不同外，其余都相同， P（抽出 2）= ； （
27、2）画树状图得： 所有等可能结果有 6 种，其中满足 x+y0 的结果有 4 种， P（ x+y0）= 点评：此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 况数之比 22将一盒足量的牛奶按如图 1 所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶 刚好接触到点 P 时停止倒入，图 2 是它的平面示意图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）填空：AP=5cm ，BP=5 cm； （2）求出容器中牛奶的高度 CF （结果精确到 0.1cm） 考点：解直角三角形的应用 分析：（1）解 RtABP，根据含 30角的直角三角形的性质得出 AP= AB=5cm，BP= AP=
28、 cm； （2）先由 EFAB，得出BPF=ABP=30，再解 RtBFP，得出 BF= BP= cm，那么 CF=BCBF7.7cm 解答： 解：（1）在 RtABP 中，APB=90，ABP=30，AB=10cm， AP= AB=5cm，BP= AP= cm； （2）EF AB， BPF=ABP=30， 又BFP=90， BF= BP= cm， CF=BCBF=12 7.7（cm） 即容器中牛奶的高度 CF 约为 7.7cm 故答案为 5，5 点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，掌握含 30角的直角三角形的性质是解题的 关键 23如图，在 68 的网格图中，每个小正方形边长均为 1，原
29、点 O 和ABC 的顶点均为格 点 （1）以 O 为位似中心，在网格图中作 ABC，使A BC与ABC 位似，且位似比为 1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）若点 C 和坐标为（2，4 ） ，则点 A的坐标为（1，0） ，点 C的坐标为（1，2） ，S ABC：S ABC=1：4 考点：作图-位似变换 分析：（1）利用ABC与 ABC 位似，且位似比为 1：2，进而将对应点坐标乘以 得出 即可； （2）利用所画图形得出对应点坐标进而利用相似三角形的性质得出面积比 解答： 解：（1）如图所示：AB C即为所求； （2）A（ 1，0） ， C（1，2） ， SABC：S ABC=1
30、：4 故答案为： 1，0；1，2；1：4 点评：此题主要考查了位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键 24某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息： 请结合以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的进货单价； （2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为 2 元、3 元，该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 1300 件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降 0.1 元，甲种商品每天可多 销售 100 件，商店决定把甲种商品的零售单价下降 m（m0）元，在不考虑其他因素的条 件下，求当 m 为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为 1800 元（注：单 件利润=零售单价
31、 进货单价） 考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用 专题：销售问题 分析：（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求 出即可； （2）根据降价后甲每天卖出：（500+ 100）件，每件降价后每件利润为：（1m ）元； 即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可 解答： 解：（1）设甲商品进货单价 x 元，乙商品进货单价 y 元 依题意，得 解得： 答：甲商品进货单价为 1 元，乙商品进货单价为 2 元 （2）依题意，得 （2m 1）（500+1000m ）+（32）1300=1800 （1m） （500+1000m ）=500 即 2m2m=0 m1
32、=0.5，m 2=0 m0 m=0 不合舍去，即 m=0.5 答：当 m=0.5 时，商店获取的总利润为 1800 元 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，注意利用总利润=商品的单件利润所卖商品 件数是解决问题的关键 25如图，已知在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b ，点 E 是线段 AD 边上的任意一点（不含 端点 A、D） ，连接 BE、CE （1）若 a=5，sinACB= ，解答下列问题： 填空：b=12 ； 当 BEAC 时，求出此时 AE 的长； （2）设 AE=x，试探索点 E 在线段 AD 上运动过程中，使得 ABE 与BCE 相似时，求 a，b 应满足什么条件，并求
33、出此时 x 的值 考点：相似形综合题 分析：（1）在矩形 ABCD 中，得到ABC=90，解直角三角形即可得到结果； 如图 1，由 BEA，得到2+ 3=90，由于 1+3=90，等量代换得到 1=2，推出 AEBBAC，得到比例式，即可得到结论； （2）点 E 在线段 AD 上的任一点，且不与 A、D 重合，当ABE 与BCE 相似时，则 BEC=90当 BAECEB（如图 2） ，1=BCE，又 BCAD，由平行线的性质得到 2=BCE，推出BAEEDC，得到比例式 ，得到一元二次方程 x2bx+a2=0，根 据方程根的情况，得到结论 解答： 解：（1）在矩形 ABCD 中， ABC=90
34、， AB=a=5，sinACB= ， = ， AC=13， BC= =12， b=12； 故答案为：12； 如图 1，BE AC， 2+3=90， 又1+3=90 ， 1=2， 又BAE=ABC=90， AEBBAC， ， 即 ， ； （2）点 E 在线段 AD 上的任一点，且不与 A、D 重合， 当 ABE 与 BCE 相似时，则BEC=90 ， 当BAECEB（如图 2） 1=BCE， 又 BCAD， 2=BCE， 1=2， 又BAE=EDC=90， BAEEDC， ， 即 ， x2bx+a2=0， 即 ， 当 b24a20， a0，b0，b2a ， 即 b2a 时， 综上所述：当 a、b
35、 满足条件 b=2a 时 BAECEB，此时 （或 x=a） ；当 a、b 满足条 件 b2a 时BAE CEB，此时 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程根的情况，注意 分类讨论思想的应用 26 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与 直线 y=x 相交于点 C （1）直接写出点 C 的坐标； （2）如图，现将直角FCE 绕直角顶点 C 旋转，旋转时始终保 持直角边 CF 与 x 轴、y 轴 分别交于点 F、点 D，直角边 CE 与 x 轴交于点 E 在直角FCE 旋转过程中，tan CED 的值是否
36、会发生变化？若改变，请说明理由，若不 变，请求出这个值； 在直角FCE 旋转过程中，是否存在以 C、E、F 为顶点的三角形与ODE 相似？若存在， 求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由 考点：几何变换综合题 分析：（1）联立 ，求出 x、y 的值各是多少，即可求出点 C 的坐标是多少 （2）在直角FCE 旋转过程中，tan CED 的值不变首先过点 C 作 CGx 轴于点 G， 过点 C 作 CHy 轴于点 H，根据DCH+DCG=90，ECG+DCG=90 ，推得 DCH=ECG；然后根据全等三角形判定的方法，判断出CDH CEG，推得 CD=CE， 所以 tanCED= =1，据此解答
37、即可 在直角FCE 旋转过程中，存在以 C、E、F 为顶点的三角形与ODE 相似根据题意， 分两种情况：、若ODECEF ；、若ODECFE；然后根据相似三角形的性质， 分类讨论，求出点 D 的坐标各是多少即可 解答： 解：（1）联立 解得 点 C 的坐标是（4，4） （2）在直角FCE 旋转过程中，tan CED 的值不变 如图 1，过点 C 作 CGx 轴于点 G，过点 C 作 CHy 轴于点 H， ， DCH+DCG=90， ECG+DCG=90， DCH=ECG， 在CDHCEG 中， ， CDHCEG， CD=CE， 在 RtCDE 中， tanCED= =1， 即在直角FCE 旋转
38、过程中，tanCED 的值不变，恒等于 1 在直角FCE 旋转过程中，存在以 C、E、F 为顶点的三角形与ODE 相似 、如图 2， ， 若ODE CEF， 则OED= CFE， DE=DF， 又 ODEF， OE=OF， FCE=90， 点 O 是 RtCEF 斜边 EF 的中点， ， CG=CH=4， OC= ， ， CHEF， CHDFOD， ， 即 ， 解得 ， D（ 0， 84 ） 、如图 3，过点 C 作 CMy 轴于点 M，过点 C 作 CNx 轴于点 N， ， 若ODE CFE， 则OED= CEF， 点 C 的坐标是（4，4） ， CM=CN=4， 在 RtCMD 和 RtC
39、NE 中， ， CMDCNE（HL ） ， CDM=CE0， 由，可得CDE 为等腰直角三角形， CED=45， CEO=OED=CDM=22.5， CM=CN=4， CMO 为等腰直角三角形， COM=45， OCD=COMCDM=4522.5=22.5， OCD=ODC， OD=OC， CM=CN=4， OC=4 ， OD=OC=4 ， D（ 0， 4 ） 综上，可得 在直角FCE 旋转过程中，存在以 C、E、F 为顶点的三角形与 ODE 相似，点 D 的坐标为 （0，84 ）或（ 0， 4 ） 点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想 的应用，考查
40、了数形结合思想的应用，要熟练掌握 （2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：判定定理 1：SSS三条边分别对应相等的两个三角形全等判定定理 2：SAS两 边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定定理 3：ASA 两角及其夹边分别对应 相等的两个三角形全等判定定理 4：AAS 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三 角形全等判定定理 5：HL斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等 （3）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握 ，解答此题的关键是要 明确：三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对 应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三 角形相似
