1、第 1 页（共 30 页） 2016-2017 学年广东省广州市 XX 中学九年级（上）期末数学模 拟试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A B C D 2点（2，4）在反比例函数 y= 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是 （ ） A （2 ，4 ） B （1，8） C （ 2，4） D （4，2） 3已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为2，则另一个根为（ ） A5 B1 C2 D 5 4某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是
2、09 这十个数字中的一个， 只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开如果仅忘 记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A B C D 5如果将抛物线 y=x2+2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） Ay= （ x1） 2+2 By=（x+1） 2+2 Cy=x 2+1 Dy=x 2+3 6如图，已知 AB 是O 的直径，D=40，则CAB 的度数为（ ） 第 2 页（共 30 页） A20 B40 C50 D70 7若关于 x 的一元二次方程（ k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的 取值范围是（ ） Ak
3、 5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk 5 8以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角 形，则该三角形的面积是（ ） A B C D 9抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ） A B C D 10把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF=CD=16cm，则球的半径为（ ） A10 cm B10cm C10 cm D8 cm 二、填空题（共 6 题，每题 3 分，共 18 分.） 第 3 页（共 30 页） 11方程 x23=0 的根是
4、12如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知BCD=110 ，则BAD= 度 13抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标是 14如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞 的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐 标原点时的抛物线解析式是 y= （x6） 2+4，则选取点 B 为坐标原点时的抛物 线解析式是 15如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为切点，AB=12 ，OP=6，则劣弧 AB 的长为 16已知 2 是关于 x 的方程：x 22mx+3m=0 的一个根，而这个方
5、程的两个根恰 好是等腰ABC 的两条边长，则ABC 的周长是 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 ） 17 （1）解方程 2y2=3y （2）用配方法解方程：x 2+6x+5=0 第 4 页（共 30 页） 18如图，在边长为 1 的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，点 A、B 的 坐标分别是 A（4，3） 、B（4，1） ，把ABC 绕点 C 逆时针旋转 90后得到 A1B1C （1）画出A 1B1C，直接写出点 A1、B 1 的坐标； （2）求在旋转过程中，ABC 所扫过的面积 19如图，O 的直径 AB=10CM，弦长 AC=6
6、CM，ACB 的平分线交O 于点 D （1）求 BC 的长； （2）求ABD 的面积 20某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200m3 的生 活垃圾运走 （1）假如每天能运 xm3，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运 12m3，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ （3）在（2）的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成， 那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 21从甲地到乙地有 A1、A 2 两条路线，从乙地到丙地有 B1、B 2、B 3 三条路线， 从丙地到丁地有 C1、C
7、 2 两条路线某同学随机挑选了一条从甲地到丁地的路线， 第 5 页（共 30 页） 试用树状图求他选到经过 B2 路线的概率 22已知：如图，O 是 ABC 的外接圆， = ，点 D 在边 BC 上， AE BC，AE=BD （1）求证：AD=CE ； （2）如果点 G 在线段 DC 上（不与点 D 重合） ，且 AG=AD，求证：四边形 AGCE 是平行四边形 23如图，AB 为O 的直径，AD 与O 相切于点 A，DE 与O 相切于点 E， 点 C 为 DE 延长线上一点，且 CE=CB （1）求证：BC 为O 的切线； （2）连接 AE，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 G（如图所
8、示） 若O 的 半径为 ，AD=2，求线段 CE 和 GE 的长 24已知抛物线 y=ax2+bx3 经过（1，0） ， （3，0）两点，与 y 轴交于点 C，直 线 y=kx 与抛物线交于 A，B 两点 （1）写出点 C 的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点 O 为线段 AB 的中点时，求 k 的值及 A，B 两点的坐标； （3）是否存在实数 k 使得ABC 的面积为 ？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由 第 6 页（共 30 页） 25如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC=2，边 BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、QD，
9、并过点 Q 作 QOBD，垂足为 O，连接 OA、OP （1）请直接写出线段 BC 在平移过程中，四边形 APQD 是什么四边形？ （2）请判断 OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设 y=SOPB ，BP=x（0x2） ，求 y 与 x 之间的函数 关系式，并求出 y 的最大值 第 7 页（共 30 页） 2016-2017 学年广东省广州市 XX 中学九年级（上）期末 数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1下列图形中，可以看作是中
10、心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度 后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分 能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误； D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部 分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误 故选：B 2点（2，4）在反比例函数 y= 的图象上，则下列各
11、点在此函数图象上的是 （ ） A （2 ，4 ） B （1，8） C （ 2，4） D （4，2） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】由点（2，4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特 第 8 页（共 30 页） 征，即可求出 k 值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为 k 值，由此即可 得出结论 【解答】解：点（2，4）在反比例函数 y= 的图象上， k=2（4）=8 A 中 24=8；B 中1（8）=8；C 中 2（4）=8；D 中 4（2）= 8， 点（4，2）在反比例函数 y= 的图象上 故选 D 3已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为2，则另
12、一个根为（ ） A5 B1 C2 D 5 【考点】根与系数的关系 【分析】根据关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为2，可以设出另一个根，然后 根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决 【解答】解：关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为2，设另一个根为 m， 2 +m= ， 解得，m=1， 故选 B 4某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 09 这十个数字中的一个， 只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开如果仅忘 记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式 第 9 页（共 30
13、页） 【分析】最后一个数字可能是 09 中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有 一种情况，利用概率公式进行计算即可 【解答】解：共有 10 个数字， 一共有 10 种等可能的选择， 一次能打开密码的只有 1 种情况， 一次能打开该密码的概率为 故选 A 5如果将抛物线 y=x2+2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） Ay= （ x1） 2+2 By=（x+1） 2+2 Cy=x 2+1 Dy=x 2+3 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案 【解答】解：抛物线 y=x2+2 向下平移 1 个单位， 抛物线的解析式为 y=x2+21
14、，即 y=x2+1 故选 C 6如图，已知 AB 是O 的直径，D=40，则CAB 的度数为（ ） A20 B40 C50 D70 【考点】圆周角定理 【分析】先根据圆周角定理求出B 及ACB 的度数，再由直角三角形的性质 即可得出结论 【解答】解：D=40， B= D=40 第 10 页（共 30 页） AB 是O 的直径， ACB=90 ， CAB=90 40=50 故选 C 7若关于 x 的一元二次方程（ k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的 取值范围是（ ） Ak 5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk 5 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】
15、根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方 程的定义以及根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即 可得出结论 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（ k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根， ，即 ， 解得：k5 且 k1 故选 B 8以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角 形，则该三角形的面积是（ ） A B C D 【考点】正多边形和圆 【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造 直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角 形，进而可得其面积 【解答】解：如图
16、 1， 第 11 页（共 30 页） OC=1， OD=1sin30= ； 如图 2， OB=1， OE=1sin45= ； 如图 3， OA=1， OD=1cos30= ， 则该三角形的三边分别为： 、 、 ， （ ） 2+（ ） 2=（ ） 2， 该三角形是以 、 为直角边， 为斜边的直角三角形， 该三角形的面积是 = ， 第 12 页（共 30 页） 故选：D 9抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象 【分析】根据二次函数
17、图象与系数的关系确定 a0，b 0，c 0，根据一次函 数和反比例函数的性质确定答案 【解答】解：由抛物线可知，a0，b0，c0， 一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数 y= 的图象在第二、四象限， 故选：B 10把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF=CD=16cm，则球的半径为（ ） A10 cm B10cm C10 cm D8 cm 第 13 页（共 30 页） 【考点】垂径定理的应用 【分析】首先找到 EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连 接 OF，设 OF=x，则 OM 是 16x，MF=8，然
18、后在直角三角形 MOF 中利用勾股定 理求得 OF 的长即可 【解答】解：EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF， 设 OF=x，则 OM=16x，MF=8， 在直角三角形 OMF 中，OM 2+MF2=OF2， 即：（16x） 2+82=x2， 解得：x=10 故选：B 二、填空题（共 6 题，每题 3 分，共 18 分.） 11方程 x23=0 的根是 x= 【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出 x 的值 【解答】解：方程整理得：x 2=3， 开方得：x= ， 故答案为：x= 12如图，四边形 ABCD
19、为O 的内接四边形，已知BCD=110 ，则BAD= 70 度 第 14 页（共 30 页） 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求BAD 的度数即可 【解答】解：四边形 ABCD 为O 的内接四边形， BCD+BAD=180 （圆内接四边形的对角互补） ； 又BCD=110， BAD=70 故答案为：70 13抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标是 （ 1，2） 【考点】二次函数的性质 【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式 的坐标特点，直接写出顶点坐标 【解答】解：y=x 2+2x+3=x2+2x+11+3=（x +1）
20、 2+2， 抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标是（ 1，2） 故答案为：（1，2） 14如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞 的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐 标原点时的抛物线解析式是 y= （x6） 2+4，则选取点 B 为坐标原点时的抛物 线解析式是 y= （x +6） 2+4 第 15 页（共 30 页） 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【分析】根据题意得出 A 点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可 【解答】解：由题意可得出：y=a（x +6） 2+4， 将（12，0 ）代入得出，0=a
21、（12+6） 2+4， 解得：a= ， 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是： y= （x+6） 2+4 故答案为：y= （x +6） 2+4 15如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为切点，AB=12 ，OP=6，则劣弧 AB 的长为 8 【考点】切线的性质；弧长的计算 【分析】连接 OA、OB，由切线的性质和垂径定理易得 AP=BP= ，由锐 角三角函数的定义可得AOP=60，利用弧长的公式可得结果 【解答】解：连接 OA、OB， 第 16 页（共 30 页） AB 为小O 的切线， OPAB， AP=BP= ， = ， AOP=60， AOB=
22、120，OAP=30， OA=2OP=12 ， 劣弧 AB 的长为： = =8 故答案为：8 16已知 2 是关于 x 的方程：x 22mx+3m=0 的一个根，而这个方程的两个根恰 好是等腰ABC 的两条边长，则ABC 的周长是 14 【考点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【分析】先根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入方程求出 m 得到原方程为 x28x+12=0，再解此方程得到得 x1=2，x 2=6，然后根据三角形三边的关系得到 ABC 的腰为 6，底边为 2，再计算三角形的周长 【解答】解：把 x=2 代入方程得 44m+3m=0，解得 m=4， 则原方程为
23、 x28x+12=0，解得 x1=2，x 2=6， 因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长， 所以ABC 的腰为 6，底边为 2，则ABC 的周长为 6+6+2=14 故答案为 14 第 17 页（共 30 页） 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 ） 17 （1）解方程 2y2=3y （2）用配方法解方程：x 2+6x+5=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程- 配方法 【分析】 （1）先移项得到 2y23y=0，然后利用因式分解法解方程； （2）利用配方法得到（x+3 ） 2=4，然后利用直接开平方法解方程
24、【解答】解：（1）2y 23y=0， y（2y3）=0， y=0 或 2y3=0， 所以 y1=0，y 2= ； （2）x 2+6x+9=4， （x+3） 2=4， x+3=2， 所以 x1=1，x 2=5 18如图，在边长为 1 的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，点 A、B 的 坐标分别是 A（4，3） 、B（4，1） ，把ABC 绕点 C 逆时针旋转 90后得到 A1B1C （1）画出A 1B1C，直接写出点 A1、B 1 的坐标； （2）求在旋转过程中，ABC 所扫过的面积 第 18 页（共 30 页） 【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算 【分析】 （1）根据旋转中心方向及角
25、度找出点 A、B 的对应点 A1、B 1 的位置， 然后顺次连接即可，根据 A、B 的坐标建立坐标系，据此写出点 A1、B 1 的坐标； （2）利用勾股定理求出 AC 的长，根据ABC 扫过的面积等于扇形 CAA1 的面积 与ABC 的面积和，然后列式进行计算即可 【解答】解：（1）所求作A 1B1C 如图所示： 由 A（4，3 ） 、B（4，1 ）可建立如图所示坐标系， 则点 A1 的坐标为（1，4） ，点 B1 的坐标为（1，4） ； （2）AC= = = ，ACA 1=90 在旋转过程中，ABC 所扫过的面积为： S 扇形 CAA1+SABC = + 32 = +3 19如图，O 的直径
26、 AB=10CM，弦长 AC=6CM，ACB 的平分线交O 于点 D （1）求 BC 的长； （2）求ABD 的面积 第 19 页（共 30 页） 【考点】圆周角定理 【分析】 （1）先根据直径所对的角是 90，判断出ABC 和ABD 是直角三角形， 根据圆周角ACB 的平分线交O 于 D，判断出 ADB 为等腰直角三角形，然 后根据勾股定理求出具体值 （2）求得 AD 和 BD 的长后利用三角形的面积公式求解即可 【解答】解：（1）AB 是直径 ACB=ADB=90 在 RtABC 中，AB 2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm BC 2=AB2AC2=10262=64 BC=
27、=8（cm） ； （2）CD 平分ACB ， = ， AD=BD， 又在 RtABD 中，AD 2+BD2=AB2 AD 2+BD2=102 AD=BD= =5 （cm） ABD 的面积 = （5 ） 2=25 20某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200m3 的生 活垃圾运走 第 20 页（共 30 页） （1）假如每天能运 xm3，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运 12m3，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ （3）在（2）的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成， 那么至少需要增加
28、多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 【考点】反比例函数的应用 【分析】 （1）根据每天能运 xm3，所需时间为 y 天的积就是 1200m3，即可写出 函数关系式； （2）把 x=125=60 代入，即可求得天数； （3）首先算出 8 天以后剩余的数量，然后计算出 6 天运完所需的拖拉机数，即 可求解 【解答】解：（1）y= ； （2）x=125=60，代入函数解析式得；y= =20（天） 答：20 天运完； （3）运了 8 天后剩余的垃圾是 1200860=720m3 剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成则每天至少运 7206=120m3， 则需要的拖拉机数是：12012=10（辆） ，
29、 则至少需要增加 105=5 辆这样的拖拉机才能按时完成任务 21从甲地到乙地有 A1、A 2 两条路线，从乙地到丙地有 B1、B 2、B 3 三条路线， 从丙地到丁地有 C1、C 2 两条路线某同学随机挑选了一条从甲地到丁地的路线， 试用树状图求他选到经过 B2 路线的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】直接利用已知结合树状图列举出所有的可能，进而求出答案 【解答】解：如图所示：从甲地到丁地的路线，一共有 12 种可能， 选到经过 B2 路线的有 4 种情况，故选到经过 B2 路线的概率为： 第 21 页（共 30 页） 22已知：如图，O 是 ABC 的外接圆， = ，点 D 在边 B
30、C 上， AE BC，AE=BD （1）求证：AD=CE ； （2）如果点 G 在线段 DC 上（不与点 D 重合） ，且 AG=AD，求证：四边形 AGCE 是平行四边形 【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判 定；圆心角、弧、弦的关系 【分析】 （1）根据等弧所对的圆周角相等，得出B=ACB，再根据全等三角 形的判定得ABD CAE，即可得出 AD=CE； （2）连接 AO 并延长，交边 BC 于点 H，由等腰三角形的性质和外心的性质得 出 AHBC ，再由垂径定理得 BH=CH，得出 CG 与 AE 平行且相等 【解答】证明：（1）在O 中， = ， AB=
31、AC， B= ACB， AE BC， EAC=ACB， B= EAC， 第 22 页（共 30 页） 在ABD 和 CAE 中， ， ABD CAE（SAS） ， AD=CE； （2）连接 AO 并延长，交边 BC 于点 H， = ，OA 为半径， AHBC ， BH=CH， AD=AG， DH=HG， BHDH=CH GH，即 BD=CG， BD=AE， CG=AE， CGAE ， 四边形 AGCE 是平行四边形 23如图，AB 为O 的直径，AD 与O 相切于点 A，DE 与O 相切于点 E， 点 C 为 DE 延长线上一点，且 CE=CB （1）求证：BC 为O 的切线； （2）连接 A
32、E，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 G（如图所示） 若O 的 半径为 ，AD=2，求线段 CE 和 GE 的长 第 23 页（共 30 页） 【考点】切线的判定与性质 【分析】 （1）连接 OE，OC，即可证明OECOEC，根据 DE 与O 相切于点 E 得到 OEC=90，从而证得OBC=90，则 BC 是圆的切线 （2）先求线段 BC 的长，过 D 作 DFBG 于 F，则四边形 ABFD 是矩形，有 DF=AB=2 ，在 RtDCF 中，由切线长定理知 AD=DE、CE=BC，那么 CD=CE+2，CF=CE2 ，利用勾股定理可求得 CE 的长；ADE 中，由于 AD=DE，可
33、得到DAE= AED= CEG，而 ADBG ，根据平行线的内错角相等得到 G=EAD=CEG，由此可证得 CE=CG=CB，即可求得 BG 的长；在 RtABG 中， 利用勾股定理可求得 AG 的值，易证ADE GCE ，根据相似三角形的相似比， 可求得 AE、EG 的比例关系，联立 AG 的长，即可得到 EG 的值 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OE，OC ； CB=CE，OB=OE，OC=OC OECOBC （SSS） OBC=OEC 又DE 与 O 相切于点 E OEC=90 OBC=90 BC 为 O 的切线 （2）解：如图 2，过点 D 作 DFBC 于点 F， AD，DC
34、 ， BG 分别切O 于点 A，E，B 第 24 页（共 30 页） DA=DE，CE=CB， 设 BC 为 x，则 CF=x2，DC=x+2， 在 RtDFC 中， （x+2） 2（ x2） 2=（2 ） 2， 解得：x= ， CE=BC= ； ADBG， DAE= EGC， DA=DE， DAE= AED； ADBG， AED= CEG， EGC=CEG ， CG=CE=CB= ， BG=5， AG= =3 ， 连接 BE，S ABG = ABBG=AGBE， BE= ， 在 RtBEG 中， EG= = 第 25 页（共 30 页） 24已知抛物线 y=ax2+bx3 经过（1，0） ，
35、 （3，0）两点，与 y 轴交于点 C，直 线 y=kx 与抛物线交于 A，B 两点 （1）写出点 C 的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点 O 为线段 AB 的中点时，求 k 的值及 A，B 两点的坐标； （3）是否存在实数 k 使得ABC 的面积为 ？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）令抛物线解析式中 x=0 求出 y 值即可得出 C 点的坐标，有点 （1 ，0） 、 （3，0）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于 x 的一元二次方程， 根据根与系数的关系即可得出“x A+
36、xB=2+k，x AxB=3”，结合点 O 为线段 AB 的中 点即可得出 xA+xB=2+k=0，由此得出 k 的值，将 k 的值代入一元二次方程中求出 xA、x B，在代入一次函数解析式中即可得出点 A、B 的坐标； （3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的 第 26 页（共 30 页） “xA+xB=2+k， xAxB=3”，即可得出关于 k 的一元二次方程，结合方程无解即可得 出假设不成了，从而得出不存在满足题意的 k 值 【解答】解：（1）令抛物线 y=ax2+bx3 中 x=0，则 y=3， 点 C 的坐标为（ 0，3 ） 抛物线 y=ax2+bx3 经过（ 1，0）
37、 ， （3，0）两点， 有 ，解得： ， 此抛物线的解析式为 y=x22x3 （2）将 y=kx 代入 y=x22x3 中得：kx=x 22x3， 整理得：x 2（2+k）x3=0， x A+xB=2+k，x AxB=3 原点 O 为线段 AB 的中点， x A+xB=2+k=0， 解得：k=2 当 k=2 时，x 2（2+k）x3=x 23=0， 解得：x A= ，x B= y A=2xA=2 ，y B=2xB=2 故当原点 O 为线段 AB 的中点时，k 的值为2，点 A 的坐标为（ ，2 ） ，点 B 的坐标为（ ，2 ） （3）假设存在 由（2）可知：x A+xB=2+k， xAxB=
38、3， SABC = OC|xAxB|= 3 = ， （2+k ） 24（3）=10，即（2+k） 2+2=0 第 27 页（共 30 页） （2+k ） 2 非负，无解 故假设不成立 所以不存在实数 k 使得ABC 的面积为 25如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC=2，边 BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、QD，并过点 Q 作 QOBD，垂足为 O，连接 OA、OP （1）请直接写出线段 BC 在平移过程中，四边形 APQD 是什么四边形？ （2）请判断 OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设 y=SO
39、PB ，BP=x（0x2） ，求 y 与 x 之间的函数 关系式，并求出 y 的最大值 【考点】四边形综合题 【分析】 （1）根据平移的性质，可得 PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形，可得答案； （2）根据正方形的性质，平移的性质，可得 PQ 与 AB 的关系，根据等腰直角 三角形的判定与性质，可得PQOPQO，根据全等三角形的判定与性质，可得 AO 与 OP 的数量关系，根据余角的性质，可得 AO 与 OP 的位置关系； （3）根据等腰直角三角形的性质，可得 OE 的长，根据三角形的面积公式，可 得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案 【解答】 （1）四边形 APQD 为
40、平行四边形； （2）OA=OP ，OAOP ，理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=PQ，ABO= OBQ=45， OQBD， 第 28 页（共 30 页） PQO=45 ， ABO= OBQ=PQO=45， OB=OQ， 在AOB 和OPQ 中， AOBPOQ（SAS） ， OA=OP， AOB=POQ， AOP=BOQ=90， OAOP； （3）如图，过 O 作 OEBC 于 E 如图 1，当 P 点在 B 点右侧时， 则 BQ=x+2， OE= ， y= x，即 y= （ x+1） 2 ， 又0x2， 当 x=2 时，y 有最大值为 2； 如图 2，当 P 点在 B 点左侧时， 则 BQ=2x，OE= ， y= x，即 y= （x1） 2+ ， 又0x2， 当 x=1 时，y 有最大值为 ； 综上所述，当 x=2 时，y 有最大值为 2； 第 29 页（共 30 页） 第 30 页（共 30 页） 2017 年 1 月 19 日
