1、2015-2016 学年山东省潍坊市寿光市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的 4 个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1用配方法解方程 x2+4x+1=0，经过配方，得到（ ） A （x+2） 2=5 B （x 2） 2=5 C （x 2） 2=3 D （x+2 ） 2=3 2如图所示的“h” 型几何体的俯视图是（ ） A B C D 3国家出台全面二孩政策，自 2016 年 1 月 1 日起家庭生育无需审批如果一个家庭已有一个孩子， 再生一个孩子，那么两个都是女孩的概率是（ ） A B C D无法确定 4如图，PA 为 O 的切线， A 为切
2、点，PO 交O 于点 B，PA=4 ，OA=3 ，则 cosAPO 的值为（ ） A B C D 5抛物线 y=（x+2 ） 23 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 6若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk Ck 且 k1 Dk 且 k1 7如图，在ABC 中，AB=AC ，D 是边 BC 的中点，
3、一个圆过点 A，交边 AB 于点 E，且与 BC 相切于点 D，则该圆的圆心是（ ） A线段 AE 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 B线段 AB 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 C线段 AE 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 D线段 AB 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 8在反比例函数 的图象上有两点（1，y 1） ， ，则 y1y2 的值是（ ） A负数 B非正数 C正数 D不能确定 9已知抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A B C D 10如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 2，B=1
4、35，则 的长（ ） A2 B C D 11如图，已知点 A（6，0） ，O 为坐标原点，P 是线段 OA 上 任意一点（不含端点 O，A ） ，过 P，O 两点的二次函数 y1 和过 P，A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B，C，射线 OB 与射线 AC 相交于点 D，当 ODA 是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之 和等于（ ） A B C3 D 12小明从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象中，观察到下面四条信息： ab0；a+b+c 0；b+2c0；a= b你认为其中正确信息的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填
5、空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 13格桑的身高是 1.6 米，她的影长是 2 米，同一时刻，学校旗杆的影长是 10 米，则旗杆的高是 米 14已知一元二次方程：x 23x1=0 的两个根分别是 x1、x 2，则 x12x2+x1x22= 15如图，已知函数 y= 与 y=ax2+bx+c（a0，b0）的图象相交于点 P，且点 P 的纵坐标为 1，则关于 x 的方程 ax2+bx+ =0 的解是 16如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m 和 8m按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道，则 O 到三条支路的管道总长（计算
6、时视 管道为线，中心 O 为点）是 17如图所示，动点 C 在 O 的弦 AB 上运动，AB= ，连接 OC，CDOC 交O 于点 D则 CD 的最大值为 18如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内（包括正方形的边） ，当这个正 六边形的边长最大时，AE 的最小值为 三、解答题（共 6 小题，满分 60 分） 19为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛” ，经选 拔后有 50 名学生参加决赛，这 50 名学生同时听写 50 个汉
7、字，若每正确听写出一个汉字得 1 分， 根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成绩 x 分 频数（人数） 第 1 组 25x30 4 第 2 组 30x35 8 第 3 组 35x40 16 第 4 组 40x45 a 第 5 组 45x50 10 请结合图表完成下列各题： （1）求表中 a 的值； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于 40 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ （4）第 5 组 10 名同学中，有 4 名男同学，现将这 10 名同学平均分成两组进行对抗练习，且 4 名 男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的
8、概率 20 “学数学 ”最终是为了 “用数学”，我市纪台一中校园内有一文物古迹 古纪国点将台，九年级数学 兴趣小组想用所学知识测量出点将台的现在高度，操作方案如下：在地面 B 处测得其顶部 A 的仰 角为 30，自 B 处沿 BC 方向进行 14m 到 D 点，又测得其顶部 A 的仰角为 60，你能算出点将台的 高度吗？（结果保留两位小数） 21如图所示，RtABC 中，已知 BAC=90，AB=AC=2，点 D 在 BC 上运动（不能到达点 B，C） ， 过点 D 作ADE=45 ，DE 交 AC 于点 E （1）求证：ABD DCE； （2）当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长 22我
9、国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓我市某电器商场根据民众健康需要， 代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200 元/台经过市场销售后发现：在一个月内，当售价 是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元，就可多售出 50 台若供货商规定这种空气 净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务 （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？ 最大利润是多少？ 23已知：如图，以等
10、边三角形 ABC 一边 AB 为直径的O 与边 AC、BC 分别交于点 D、E，过 点 D 作 DFBC，垂足为 F （1）求证：DF 为 O 的切线； （2）若等边三角形 ABC 的边长为 4，求 DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积 24已知：如图，直线 y= x+4 与 x 轴相交于点 A，与直线 y= x 相交于点 P （1）求点 P 的坐标； （2）请判断OPA 的形状并说明理由； （3）动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 O、P 、A 的路线向点 A 匀速运动（E 不 与点 O，A 重合） ，过点 E 分别作 EFx 轴于 F，EBy 轴于 B，设运动 t
11、 秒时，矩形 EBOF 与 OPA 重叠部分的面积为 S 求：S 与 t 之间的函数关系式当 t 为何值时，S 最大，并求出 S 的最大值 2015-2016 学年山东省潍坊市寿光市九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的 4 个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1用配方法解方程 x2+4x+1=0，经过配方，得到（ ） A （x+2） 2=5 B （x 2） 2=5 C （x 2） 2=3 D （x+2 ） 2=3 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法 【分析】此题考查配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把
12、二次项的系数化为 1； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【解答】解：x 2+4x+1=0， x2+4x=1， x2+4x+4=1+4， （ x+2） 2=3 故选 D 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用选择用配方法解 一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 2如图所示的“h” 型几何体的俯视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【分析】根据俯视图是从上向下看得到的视图进行分析解答即可 【解答】解：从上面看可得到一个矩形，中间左边有一条实心线，右边有一条虚线 故选 D 【点评】本题考查了三视图的知识，
13、俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得见的线用实线 表示，看不见的线用虚线表示 3国家出台全面二孩政策，自 2016 年 1 月 1 日起家庭生育无需审批如果一个家庭已有一个孩子， 再生一个孩子，那么两个都是女孩的概率是（ ） A B C D无法确定 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个都是女孩的情况， 再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 共有 4 种等可能的结果，两个 都是女孩的有 1 种情况， 两个都是女孩的概率是： ； 故选：C 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复
14、不遗漏的列 出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注 意概率=所求情况数与总情况数之比 4如图，PA 为 O 的切线， A 为切点，PO 交O 于点 B，PA=4 ，OA=3 ，则 cosAPO 的值为（ ） A B C D 【考点】切线的性质 【分析】根据切线的性质，OAP 是直角三角形，根据勾股定理就可以求出 OP=5，则可以求得 cosAPO 的值 【解答】解：PA 为O 的切线， A 为切点， OAAP 又 PA=4，OA=3， OP=5 cosAPO= 故选 B 【点评】本题运用了切线的性质定理，通过切线的性质定理得到OAP 是直角三角形
15、，是解决本题 的关键 5抛物线 y=（x+2 ） 23 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位可得到抛物线 y=（x+2） 2， 抛物线 y=（x+2） 2，再向下平移 3 个单位即可得到抛物线 y=（x+2） 23 故平移过程为：先向左
16、平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 故选：B 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下 减 6若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk Ck 且 k1 Dk 且 k1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据判别式的意义得到=2 24（k1）（ 2）0，然后解不等式即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根， =224（k1）（2）0， 解得 k ；且 k10，即 k1 故选：C 【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+b
17、x+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两 个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 7如图，在ABC 中，AB=AC ，D 是边 BC 的中点，一个圆过点 A，交边 AB 于点 E，且与 BC 相切于点 D，则该圆的圆心是（ ） A线段 AE 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 B线段 AB 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 C线段 AE 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 D线段 AB 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 【考点】切线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【专题】压轴题 【分析】连接 AD，作 AE
18、的中垂线交 AD 于 O，连接 OE，由 AB=AC，D 是边 BC 的中点，得到 AD 是 BC 的中垂线，由于 BC是圆的切线，得到 AD 必过圆心，由于 AE 是圆的弦，得到 AE 的中 垂线必过圆心，于是得到结论 【解答】解：连接 AD，作 AE 的中垂线交 AD 于 O，连接 OE， AB=AC，D 是边 BC 的中点， ADBC AD 是 BC 的中垂线， BC 是圆的切线， AD 必过圆心， AE 是圆的弦， AE 的中垂线必过圆心， 该圆的圆心是线段 AE 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点， 故选 C 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，线段中垂线的性质，掌握切
19、线的性质是解题 的关键 8在反比例函数 的图象上有两点（1，y 1） ， ，则 y1y2 的值是（ ） A负数 B非正数 C正数 D不能确定 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】反比例函数 ：当 k0 时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大 【解答】解：反比例函数 中的 k0， 函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大； 又 点（ 1，y 1）和 均位于第二象限，1 ， y1 y2， y1y2 0，即 y1y2 的值是负数， 故选 A 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征注意：反比例函数的增减性只指在同一象限 内
20、9已知抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A B C D 【考点】二次函数的 图象；一次函数的图象 【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较 看是否一致逐一排除 【解答】解：A、由二次函数的图象可知 a0，此时直线 y=ax+b 应经过二、四象限，故 A 可排除； B、由二次函数的图象可知 a0，对称轴在 y 轴的右侧，可知 a、b 异号，b0，此时直线 y=ax+b 应经过一、二、四象限，故 B 可排除； C、由二次函数的图象可知 a0，此时直线 y=ax+b 应经过一、三象限，故 C 可
21、排除； 正确的只有 D 故选：D 【点评】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数 y=kx+b 在不同情况下 所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 10如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半 径为 2，B=135，则 的长（ ） A2 B C D 【考点】弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【分析】连接 OA、OC，然后根据圆周角定理求得AOC 的度数，最后根据弧长公式求解 【解答】解：连接 OA、OC， B=135， D=180135=45， AOC=90， 则 的长= = 故选 B 【点评】本题考查了弧长的计算以
22、及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式 L= 11如图，已知点 A（6，0） ，O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A） ，过 P，O 两点的二次函数 y1 和过 P，A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B，C，射线 OB 与射线 AC 相交于点 D，当 ODA 是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之 和等于（ ） A B C3 D 【考点】二次函数的性质 【专题】计算题；二次函数图象及其性质 【分析】连接 PB、PC ，根据二次函数的对称性可知 OB=PB，PC=AC，从而判断出POB 和 ACP 是等边三角形，再根据等边三角形的性质求
23、解即可 【解答】解：如图，连接 PB、PC， 由二次函数的性质，OB=PB，PC=AC， ODA 是等边三角形， AOD=OAD=60， POB 和ACP 是等边三角形， A（ 6， 0） ， OA=6， 点 B、C 的纵坐标之和为 6 =3 ， 即两个二次函数的最大值之和等于 3 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造出等边三角形 并利用等边三角形的知识求解是解题的关键 12小明从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象中，观察到下面四条信息： ab0；a+b+c 0；b+2c0；a= b你认为其中正确信息的个数有（ ） A 1 个
24、 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据图象可知顶点在 y 轴左侧，则 a、b 的符号相同，从而可以判断；由函数图象可知 x=1 时，y0，x= 1 时 y0，对称轴为 x= ，从而可以判断 是否正确 【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点在 y 轴左侧， a、b 符号相同， ab0， （故正确） 由图象可知，x=1 时，函数值小于 0， a+b+c0， （故正确） ， a= ， （故 正确） 由图象可知，x= 1 时，函数值大于 0， ab+c0， ， ， b+2c 0， （故正确） 由上可得都正确 故选 D 【点评】本题考查二次函数图
25、象与系数的关系，解题的关键是明确它们之间的关系，利用数形结合 的思想解答 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 13格桑的身高是 1.6 米，她的影长是 2 米，同一时刻，学校旗杆的影长是 10 米，则旗杆的高是 8 米 【考点】相似三角形的应用；平行投影 【分析】根据同时同地的物高与影长对应成比例列出比例式进行计算即可得解 【解答】解：设旗杆的高是 h 米， 根据题意得， = ， 解得 h=8 故答案为：8 【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用“同时同地的物高与影长对应成比例列出比例式 ”是解 题 的关键 14已知一元二次方程：x 23x1=0 的两个根分别是 x1
26、、x 2，则 x12x2+x1x22= 3 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2=3，x 1x2=1，再变形 x12x2+x1x22 得到 x1x2（x 1+x2） ， 然后利用整体代入思想计算即可 【解答】解：根据题意得 x1+x2=3，x 1x2=1， 所以 x12x2+x1x22=x1x2（x 1+x2）=13=3 故答案为3 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2， 则 x1+x2= ，x 1x2= 15如图，已知函数 y= 与 y=ax2+bx+c （a 0，b0 ）的图
27、象相交于点 P，且点 P 的纵坐标为 1，则关于 x 的方程 ax2+bx+ =0 的解是 x=3，y=1 【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象 【专题】推理填空题 【分析】根据函数 y= 与 y=ax2+bx+c（a0，b0）的图象相交于点 P，且点 P 的纵坐标为 1， 可以求得点 P 的坐标，再将两个函数联立方程组即可变形为题目中的方程，从而可以得到问题的答 案 【解答】解：函数 y= 与 y=ax2+bx+c（a0，b0）的图象相交于点 P，且点 P 的纵坐标为 1， 将 y=1 代入函数 y= ，得 x=3， 点 P 的坐标为（3，1） ， 又 有函数图象可知 y=ax2+bx+
28、c 过点（0，0） ， c=0， 即 函数 y= 与 y=ax2+bx+c（ a0，b0）的图象相交于点 P， 方程 的解是：x=3，y=1， 故答案为：x=3，y=1 【点评】本题考查二次函数的图象、反比例函数的图象，解题的关键是利用数形结合的思想，将它 们联系起来，然后找出所求问题需要的条件 16如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m 和 8m按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道，则 O 到三条支路的管道总长（计算时视 管道为线，中心 O 为点）是 6m 【考点】角平分线的性质 【专题】计算题 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再根
29、据三角形的面积公式，Rt ABC 的面积等于 AOB、AOC 、 BOC 三个三角形面积的和列式求出点 O 到三边的距离，然后乘以 3 即可 【解答】解：根据勾股定理得，斜边的长度= =10m， 设点 O 到三边的距离为 h， 则 SABC= 86= （8+6+10）h， 解得 h=2m， O 到三条支路的管道总长为：3 2=6m 故答案为：6m 【点评】本题考查了角平分线上的点到两边的距离相等的性质，以及勾股定理，三角形的面积的不 同表示，根据三角形的面积列式求出点 O 到三边的距离是解题的关键 17如图所示，动点 C 在 O 的弦 AB 上运动，AB= ，连接 OC，CDOC 交O 于点
30、D则 CD 的最大值为 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】作 OHAB，延长 D C 交O 于 E，如图，根据垂径定理得到 AH=BH= AB= ，CD=CE，再利用相交弦定理得 CDCE=BCAC，易得 CD= ，当 CH 最小时，CD 最大，C 点运动到 H 点时，CH 最小，所以 CD 的最大值为 【解答】解：作 OHAB，延长 DC 交 O 于 E，如图， AH=BH= AB= ， CDOC， CD=CE， CDCE=BCAC， CD2=（BHCH） （AH+CH）=（ CH） （ +CH）=3 CH2， CD= ， 当 CH 最小时， CD 最大， 而 C 点运动到 H 点时，CH
31、 最小， 此时 CD= ，即 CD 的最大值为 故答案为 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧也考查了勾股定理 18如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内（包括正方形的边） ，当这个正 六边形的边长最大时，AE 的最小值为 （ 1）/2 【考点】轨迹 【专题】压轴题 【分析】当正六边形 EFGHIJ 的边长最大时，要使 AE 最小，边长 EJ 与 AD 重合就可解决问题 【解答】解：如图所示，当 EH=AB 时，正六边形自由旋转且始终在
32、正方形里，此时正六边形的边 长最大，再当 EH 与正方形对角线 AD 重合时，AE 最小 正方形 ABCD 的边长为 1； AC= 而 EH=1 AE= ， 则 AE 的最小值为 AE= 故答案为 【点评】本题考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边 长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得 AE 最小 三、解答题（共 6 小题，满分 60 分） 19为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛” ，经选 拔后有 50 名学生参加决赛，这 50 名学生同时听写 50 个汉字，若每正确听写出一个汉字得 1 分， 根据测
33、试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成绩 x 分 频数（人数） 第 1 组 25x30 4 第 2 组 30x35 8 第 3 组 35x40 16 第 4 组 40x45 a 第 5 组 45x50 10 请结合图表完成下列各题： （1）求表中 a 的值； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于 40 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ （4）第 5 组 10 名同学中，有 4 名男同学，现将这 10 名同学平均分成两组进行对抗练习，且 4 名 男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率 【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）
34、分布表；列表法与树状图法 【专题】图表型 【分析】 （1）用总人数减去第 1、2、3、5 组的人数，即可求出 a 的值； （2）根据（1）得出的 a 的值，补全统计图； （3）用成绩不低于 40 分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率； （4）用 A 表示小宇，B 表示小强，C、D 表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式 计算即可 【解答】解：（1）表中 a 的值是： a=50481610=12； （2）根据题意画图如下： （3）本次测试的优秀率是 =0.44 答：本次测试的优秀率是 0.44； （4）用 A 表示小宇，B 表示小强，C、D 表示其他两名同学，根据题意画树状图如下
35、： 共有 12 种情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有 2 种， 则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是 【点评】本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究 统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比 20 “学数学 ”最终是为了 “用数学”，我市纪台一中校园内有一文物古迹 古纪国点将台，九年级数学 兴趣小组想用所学知识测量出点将台的现在高度，操作方案如下：在地面 B 处测得其顶部 A 的仰 角为 30，自 B 处沿 BC 方向进行 14m 到 D 点，又测得其顶部 A 的仰角为 60，你能算出点将台的 高度吗？（结果保留
36、两位小数） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】首先分析图形：根据三角函数得出 BC= x，DC= x，根据题意得出方程，解方程即 可 【解答】解：根据题意可得：设 AC=x， 在ABC 中，有 BC=ACtan30= x； 同理，在ADC 中，有 DC=ACtan60= x； 且 DC=BCBD，即 x= x14， 解得：x=7 12.12 故建筑物 AB 的高为 12.12 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、三角函数；本题难度适中，由三角函数得出方程 是解决问题的关键 21如图所示，RtABC 中，已知 BAC=90，AB=AC=2，点 D 在 BC 上运动（不能
37、到达点 B，C） ， 过点 D 作ADE=45 ，DE 交 AC 于点 E （1）求证：ABD DCE； （2）当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长 【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质 【专题】几何综合题 【分析】 （1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是 45，得到一对对应角相等；再根据三角形 的外角的性质得到ADE+ EDC=B+BAD，从而证明EDC=BAD，根据两个角对应相等，得到 两个三角形相似； （2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论根据等腰三角形的性质进行计 算 【解答】 （1）证明：Rt ABC 中，BAC=90，AB=AC=2 ， B=C=45
38、 ADC=B+BAD，ADC= ADE+EDC， ADE+EDC=B+BAD 又ADE=45， 45+EDC=45+BAD EDC=BAD ABDDCE （2）解：讨论：若 AD=AE 时，DAE=90 ，此时 D 点与点 B 重合，不合题意 若 AD=DE 时，ABD 与 DCE 的相似比为 1，此时ABDDCE， 于是 AB=AC=2，BC=2 ，AE=ACEC=2 BD=2（2 2）=42 若 AE=DE，此时DAE=ADE=45 ， 如下图所示易知 ADBC，DE AC，且 AD=DC由等腰三角形的三线合一可知： AE=CE= AC=1 【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第
39、二问要分情况进行讨论解题 22我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓我市某电器商场根据民众健康需要， 代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200元/台经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元，就可多售出 50 台若供货商规定这种空气净化 器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务 （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？ 最大利润是
40、多少？ 【考点】二次函数的应用 【专题】销售问题 【分析】 （1）根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台，即可列出函数关系式； 根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的 销售即可求出 x 的取值 （2）用 x 表示 y，然后再用 x 来表示出 w，根据函数关系式，即可求出最大 w； 【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台， 则月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50 ，化简得： y=5x+2200； 供货商规定这种空气净化器售价不能低于
41、 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台， 则 ， 解得：300x350 y 与 x 之间的函数关系式为：y=5x+2200（300x350） ； （2）W=（x 200） （ 5x+2200） ， 整理得：W= 5（x 320） 2+72000 x=320 在 300x350 内， 当 x=320 时，最大值为 72000， 即售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元 【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识 23已知：如图，以等边三角形 ABC 一边 AB 为直径的O
42、 与边 AC、BC 分别交于点 D、E， 过 点 D 作 DFBC，垂足为 F （1）求证：DF 为 O 的切线； （2）若等边三角形 ABC 的边长为 4，求 DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积 【考点】扇形面积的计算；切线的判定 【专题】计算题；证明题 【分析】 （1）连接 DO，要证明 DF 为O 的切线只要证明FDP=90即可； （2）由已知可得到 CD，CF 的长，从而利用勾股定理可求得 DF 的长； （3）连接 OE，求得 CF，EF 的长，从而利用 S 直角梯形 FDOES 扇形 OED 求得阴影部分的面积 【解答】证明：（1）连接 DO ABC 是等边三角形， A=C=6
43、0 OA=OD， OAD 是等边三角形 ADO=60， DFBC， CDF=90C=30， （2 分） FDO=180ADOCDF=90， DF 为 O 的切线；（3 分） （2）OAD 是等边三角形， AD=AO= AB=2 CD=ACAD=2 RtCDF 中， CDF=30， CF= CD=1 DF= ；（5 分） （3）连接 OE，由（2）同理可知 CE=2 CF=1， EF=1 S 直角梯形 FDOE= （EF+OD）DF= ， S 扇形 OED= = ， S 阴影 =S 直角梯形 FDOES 扇形 OED= （7 分） 【点评】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况
44、24已知：如图，直线 y= x+4 与 x 轴相交于点 A，与直线 y= x 相交于点 P （1）求点 P 的坐标； （2）请判断OPA 的形状并说明理由； （3）动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 O、P 、A 的路线向点 A 匀速运动（E 不 与点 O，A 重合） ，过点 E 分别作 EFx 轴于 F，EBy 轴于 B，设运动 t 秒时，矩形 EBOF 与 OPA 重叠部分的面积为 S 求：S 与 t 之间的函数关系式当 t 为何值时，S 最大，并求出 S 的最大值 【考点】一次函数综合题 【专题】代数几何综合题；压轴题 【分析】 （1）由两直线相交可列出方程组，求出
45、 P 点坐标； （2）将 y=0 代入 y= x+4 ，可求出 OA=4，作 PDOA 于 D，则 OD=2，PD=2 ，利用 tanPOA= ，可知POA=60，由 OP=4可知 POA 是等边三角形； （3）当 0t4 时，在 RtEOF 中，EOF=60 ，OE=t，则 EF= ，OF= ，则 S= OFEF= t2； 当 4t8 时，如图，设 EB 与 OP 相交于点 C，易知： CE=PE=t4，AE=8t ，可得 AF=4 ，EF= （8t） ，有 OF=OAAF=4（4 ）= ，S= （CE+OF ） EF= t2+4 t8 【解答】解：（1）由题意可得： ， 解得 ， 所以点
46、P 的坐标为（2，2 ） ； （2）将 y=0 代入 y= x+4 ， x+4 =0， x=4，即 OA=4， 作 PDOA 于 D，则 OD=2，PD=2 ， tanPOA= = ， POA=60， OP= =4， POA 是等边三角形； （3）当 0t4 时，如图 1，在 RtEOF 中， EOF=60，OE=t ， EF= ，OF= ， S= OFEF= t2 当 4t8 时，如图 2，设 EB 与 OP 相交于点 C， CE=PE=t4，AE=8t， AF=4 ，EF= （8t） ， OF=OAAF =4（4 ）= ， S= （CE+OF） EF= （t4+ t） （8t ） ， = t2+4 t8 ； 当 0t4 时，S= ， t=4 时，S 最大 =2 ； 当 4t8 时，S= t2+4 t8 = （t ） 2+ ， t= 时，S 最大 = 2 ， 当 t= 时，S 最大，最大值为 【点评】把动点问题与三角形的性质相结合，增加了难度，在解答时要注意 t 在三个取值范围内的 情况，不要漏解
