1、第 1 页（共 35 页） 2015-2016 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 15 个小题，每小题 3 分，共 45 分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1圆有（ ）条对称轴 A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 2抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标是（ ） A （ 1，2） B （1，2） C （1， 2） D （1，2） 3如图所示正三棱柱的主视图是（ ） A B C D 4圆 O 的半径为 6，线段 OP 的长度为 8，则点 P 与圆的位置关系是（ ） A点在圆上 B点在圆外 C点在圆内 D无法确定 5如图，ABC 的
2、三个顶点都在正方形网格的格点上，则 tanA 的值为（ ） A B C D 6要将抛物线 y=（x+1） 2+2 平移后得到抛物线 y=x2，下列平移方法正确的是 （ ） A向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 第 2 页（共 35 页） C向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 7如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由 A 处走到 B 处这一过程中，他在 地上的影子（ ） A逐渐变短 B逐渐变长 C先变短后变长 D先变长后变短 8如图，菱形 ABCD 的周长为 16，ABC=120，则
3、 DB 的长为（ ） A B4 C D2 9已知矩形的面积为 10，长和宽分别为 x 和 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是 （ ） A B C D 10如图，已知直线 abc，直线 m，n 与 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B， D，F，若 AC=4，AE=10 ，BD=3 ，则 DF 的值是（ ） 第 3 页（共 35 页） A4 B4.5 C5 D5.5 11已知抛物线 y=3（x2 ） 2+k（k 为常数） ，A（ 3，y 1） ，B（3，y 2） ， C（ 4，y 3）是抛物线上三点，则 y1，y 2，y 3 由小到大依序排列为（ ） Ay 1y 2y 3 By 2y 1y
4、 3 Cy 2y 3y 1 Dy 3y 2y 1 12如图，二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+b 的交点 A，B 的坐标分别 为（1，3） ， （6，1） ，当 y1y 2 时，x 的取值范围是（ ） A1 x6 Bx1 或 x6 C 3x 1 Dx3 或 x1 13二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 y=bx+c 在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 14如图，在 x 轴的上方，直角BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转，若BOA 第 4 页（共 35 页） 的两边分别与函数 y= 、y= 的图象交于 B、A 两点，则O
5、AB 的大小的变化趋 势为（ ） A逐渐变小 B逐渐变大 C时大时小 D保持不变 15抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0） ，B （3，0） ，交 y 轴的负半轴于 C， 顶点为 D下列结论： 2a+b=0；2c3b；当 m1 时，a +bam 2+bm；当ABD 是等腰直角 三角形时，则 a= ；当ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个 其中正确的有（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分把答案填在题中横线 上） 16已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3） ， 则另一个交点坐标是 17在ABC
6、中，若 AB=AC=5，BC=8 ，则 sinB= 18如图，点 O 是O 的圆心，点 A、B 、C 在O 上，AOB=42，则ACB 的度数是 第 5 页（共 35 页） 19如图，利用标杆 BE 测量建筑物 DC 的高度，如果标杆 BE 长为 1.5 米，测得 AB=2 米，BC=8 米，且点 A、E 、D 在一条直线上，则楼高 CD 是 米 20已知二次函数 y=x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 的解为 21如图，抛物线 y=x2 在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数 的点）依次为 A1，A 2，A 3，A n，将抛物线 y=
7、x2 沿直线 L：y=x 向上平移， 得一系列抛物线，且满足下列条件： 抛物线的顶点 M1，M 2，M 3，M n，都在直线 L：y=x 上； 抛物线依次经过点 A1，A 2，A 3An， 则 M2016 顶点的坐标为 第 6 页（共 35 页） 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 57 分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 22 （1）计算： sin45+3tan30 ； （2）解方程：x 26x+4=0 23有四张背面相同的纸牌 A、B 、C、D正面分别画有四个不同的几何图形 （如图所示） ，小亮将这四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出 一张 （1）用树状图或列表法表
8、示两次摸牌的所有可能的结果（纸牌用 A、B、C、D 表示） ； （2）求摸出的两次牌正面图形都是中心对称图形的概率 24 （1）如图，在矩形 ABCD 中，BF=CE，求证：AE=DF； （2）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，O 为圆心，BOD=160 ，求BCD 的度 数 25放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风 筝如图，他在 A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了 D 处，此 时风筝 AD 与水平线的夹角为 30，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线 到达了离 A 处 10 米的 B 处，此时风筝线 BD 与水平线的夹角为 45已知点 A，B ，C
9、 在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多 少米？（风筝线 AD，BD 均为线段， 1.414 ， 1.732 ，最后结果精确到 1 米） 第 7 页（共 35 页） 26教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 10， 加热到 100，停止加热，水温开始下降，此时水温（ ）与开机后用时 （min）成反比例关系直至水温降至 20，饮水机关机饮水机关机后即刻 自动开机，重复上述自动程序如图为在水温为 20时，接通电源后，水温 y（）和时间 x（min ）的关系 （1）求饮水机接通电源到下一次开机的间隔时间 （2）在（1）中的时间段内，要想喝到超过 50的水，
10、有多长时间？ 27一个批发商销售成本为 20 元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品 每千克售价不得超过 90 元，在销售过程中发现的售量 y（千克）与售价 x（元/ 千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 售价 x（元/ 千克） 50 60 70 80 销售量 y（千克） 100 90 80 70 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润 w（元）最大？此时的 最大利润为多少元？ 28如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交
11、 于点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交 点为点 B 第 8 页（共 35 页） （1）直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC 求PAC 的面积 的最大值，并求出此时点 P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 第 9 页（共 35 页） 2015-2016 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试
12、题解析 一、选择题（本大题共 15 个小题，每小题 3 分，共 45 分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1圆有（ ）条对称轴 A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 【考点】圆的认识 【分析】紧扣圆的对称轴的特点，即可解决问题 【解答】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条， 所以，圆有无数条对称轴 故选：D 2抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标是（ ） A （ 1，2） B （1，2） C （1， 2） D （1，2） 【考点】二次函数的性质 【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标 【解答】解：顶点式 y=a（x h） 2+k，顶点坐标是（h
13、，k） ， 抛物线 y=（ x1） 2+2 的顶点坐标是（1，2） 故选 D 3如图所示正三棱柱的主视图是（ ） 第 10 页（共 35 页） A B C D 【考点】简单几何体的三视图 【分析】找到从正面看所得到的图形即可 【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选 B 4圆 O 的半径为 6，线段 OP 的长度为 8，则点 P 与圆的位置关系是（ ） A点在圆上 B点在圆外 C点在圆内 D无法确定 【考点】点与圆的位置关系 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关 系，若点到圆心的距离为 d，圆的半径 r，则 dr 时，点在圆外；当 d=r
14、时， 点在圆上；当 dr 时，点在圆内 【解答】解：OP=8，r=6，则 OPr， 点 P 在圆外 故选 B 5如图，ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则 tanA 的值为（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】在正方形网格中构造一个A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的 定义求解 【解答】解：如图， 在 RtADB 中，tanA= = 第 11 页（共 35 页） 故选 B 6要将抛物线 y=（x+1） 2+2 平移后得到抛物线 y=x2，下列平移方法正确的是 （ ） A向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
15、C向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据二次函数图象的平移规律进行解答 【解答】解：y=x 2=（x+11） 2+22， 抛物线 y=x2 可由 y=（x+1） 2+2 向右平移 1 个单位，向下平移 2 个单位得出； 故选 D 7如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由 A 处走到 B 处这一过程中，他在 地上的影子（ ） A逐渐变短 B逐渐变长 C先变短后变长 D先变长后变短 【考点】中心投影 【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点 光源近的物体它的影子短，离点光源
16、远的物体它的影子长进行判断即可 第 12 页（共 35 页） 【解答】解：因为小亮由 A 处走到 B 处这一过程中离光源是由远到近再到远的 过程，所以他在地上的影子先变短后变长 故选 C 8如图，菱形 ABCD 的周长为 16，ABC=120，则 DB 的长为（ ） A B4 C D2 【考点】菱形的性质 【分析】证明ABD 是等边三角形，即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ABC=120， AB=AD， BAD=60， ABD 是等边三角形， DB=AB， 菱形 ABCD 的周长为 16， DB=AB=4； 故选：B 9已知矩形的面积为 10，长和宽分别为 x 和 y，则 y
17、 关于 x 的函数图象大致是 （ ） A B C D 第 13 页（共 35 页） 【考点】反比例函数的图象 【分析】由矩形的面积公式可得 xy=10，即 y= （ x0） ，从而得出其函数图 象 【解答】解：xy=10 ， y= （x 0） ， 故选：C 10如图，已知直线 abc，直线 m，n 与 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B， D，F，若 AC=4，AE=10 ，BD=3 ，则 DF 的值是（ ） A4 B4.5 C5 D5.5 【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出 BF，计算即可 【解答】解：abc， = ，即 = ， 解得，BF=
18、， 则 DF=BFBD=4.5， 故选：B 11已知抛物线 y=3（x2 ） 2+k（k 为常数） ，A（ 3，y 1） ，B（3，y 2） ， C（ 4，y 3）是抛物线上三点，则 y1，y 2，y 3 由小到大依序排列为（ ） Ay 1y 2y 3 By 2y 1y 3 Cy 2y 3y 1 Dy 3y 2y 1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 第 14 页（共 35 页） 【分析】先求出二次函数 y=3（x 2） 2+k 的图象的对称轴，然后判断出 A（ 3， y1） ，B（3，y 2） ， C（4，y 3）在抛物线上的位置，再求解 【解答】解：二次函数 y=3（x 2） 2+k 中
19、 a=30 抛物线开口向上，对称轴为 x= =2， B（3，y 2） ，C（4 ，y 3）中横坐标均大于 2， 它们在对称轴的右侧 y3y 2 A（ 3， y1）中横坐标小于 2， 它在对称轴的左侧，它关于 x=2 的对称点为 22（3）=7， A 点的对称点是 D（7，y 1） 74 3 ， a 0 时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大， y 1y 3y 2 故选：C 12如图，二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+b 的交点 A，B 的坐标分别 为（1，3） ， （6，1） ，当 y1y 2 时，x 的取值范围是（ ） A1 x6 Bx1 或 x
20、6 C 3x 1 Dx3 或 x1 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据函数图象，找出抛物线在直线上方的部分的自变量 x 的取值范围 即可 第 15 页（共 35 页） 【解答】解：由图可知，当 x1 或 x6 时，抛物线在直线的上方， 所以，当 y1y 2 时，x 的取值范围是 x1 或 x6 故选 B 13二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 y=bx+c 在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象 【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知 a0，再由函数图象经过原点可 知
21、c=0，利用排除法即可得出正确答案 【解答】解：二次函数的图象开口向下， 反比例函数 y= 的图象必在二、四象限，故 A、C 错误； 二次函数的图象经过原点， c=0， 一次函数 y=bx+c 的图象必经过原点，故 B 错误 故选 D 14如图，在 x 轴的上方，直角BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转，若BOA 的两边分别与函数 y= 、y= 的图象交于 B、A 两点，则OAB 的大小的变化趋 势为（ ） 第 16 页（共 35 页） A逐渐变小 B逐渐变大 C时大时小 D保持不变 【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】如图，作辅助线；首先证明BOMOAN，得
22、到 ；设 B（m ， ） ，A（n， ） ，得到 BM= ，AN= ，OM=m，ON=n，进而得到 mn= ，mn= ，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知 tanOAB= 为定值，即可解决问题 【解答】解：如图，分别过点 A、B 作 ANx 轴、 BMx 轴； AOB=90， BOM + AON=AON+OAN=90 ， BOM=OAN， BMO=ANO=90 ， BOM OAN， ； 设 B（m， ） ，A（n， ） ， 则 BM= ，AN= ，OM=m，ON=n ， mn= ，mn= ； AOB=90， tanOAB= ； 第 17 页（共 35 页） BOM OAN， =
23、 = = ， 由知 tanOAB= 为定值， OAB 的大小不变， 故选：D 15抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0） ，B （3，0） ，交 y 轴的负半轴于 C， 顶点为 D下列结论： 2a+b=0；2c3b；当 m1 时，a +bam 2+bm；当ABD 是等腰直角 三角形时，则 a= ；当ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个 其中正确的有（ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与 x 轴交于点 A（ 1，0） 、 B（3 ，0） ，可知二次函数的对称轴为 x= =1，即 ，可得 2a 与 b 第
24、18 页（共 35 页） 的关系；将 A、B 两点代入可得 c、b 的关系；函数开口向下，x=1 时取得最小 值，则 m1，可判断；根据图象 AD=BD，顶点坐标，判断 ；由图象知 BC AC，从而可以判断 【解答】解：二次函数与 x 轴交于点 A（ 1，0） 、B（3，0） 二次函数的对称轴为 x= =1，即 b=2a 2a+b=0 （故正确） 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） 、 B（3，0） a b+c=0，9a+3b+c=0 又b=2a 3b=6a，a （2a ）+c=0 3b=6a，2c=6a 2c=3b （故 错误） 抛物线开口向上，对称轴是 x=1
25、x=1 时，二次函数有最小值 m1 时，a+b+cam 2+bm+c 即 a+bam 2+bm （故 正确） AD=BD，AB=4 ，ABD 是等腰直角三角形 AD 2+BD2=42 解得，AD 2=8 设点 D 坐标为（ 1，y ） 则1 （1 ） 2+y2=AD2 解得 y=2 第 19 页（共 35 页） 点 D 在 x 轴下方 点 D 为（1，2） 二次函数的顶点 D 为（1， 2） ，过点 A（ 1，0 ） 设二次函数解析式为 y=a（x 1） 22 0=a（11） 22 解得 a= （故正确） 由图象可得，ACBC 故ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个 （故错误） 故正确，
26、错误 故选项 A 正确，选项 B 错误，选项 C 错误，选项 D 错误 故选 A 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分把答案填在题中横线 上） 16已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3） ， 则另一个交点坐标是 （1， 3） 【考点】反比例函数图象的对称性 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一 定关于原点对称 【解答】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点 对称， 另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称， 该点的坐标为（1，3） 故答案为：（1，3） 17在ABC 中，若 AB=AC=
27、5，BC=8 ，则 sinB= 第 20 页（共 35 页） 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质 【分析】根据勾股定理，可得 AD 的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得 答案 【解答】解：作 ADBC 于 D，如图 ， BD= BC=4， 由勾股定理，得 AD= =3 由正弦函数，得 sinB= = ， 故答案为： 18如图，点 O 是O 的圆心，点 A、B 、C 在O 上，AOB=42，则ACB 的度数是 21 【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理得到ACB= AOB，即可计算出ACB 【解答】解：AOB=42， ACB= AOB=21 故答案为：21 19如图，利用标杆 BE
28、测量建筑物 DC 的高度，如果标杆 BE 长为 1.5 米，测得 AB=2 米，BC=8 米，且点 A、E 、D 在一条直线上，则楼高 CD 是 7.5 米 第 21 页（共 35 页） 【考点】相似三角形的应用 【分析】先证明ABEACD ，然后利用相似比求 CD 即可 【解答】解：BECD， ABEACD， = ，即 = ，解得 CD=7.5， 所以楼高 CD 是 7.5 米 故答案为 7.5 20已知二次函数 y=x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 的解为 x 1=4，x 2=2 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】根据图象可知，二次函
29、数 y=x2+2x+m 的部分图象经过点（4，0） ，把 该点代入方程，求得 m 值；然后把 m 值代入关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0，求根即可 【解答】解：根据图象可知，二次函数 y=x2+2x+m 的部分图象经过点（4，0） ， 所以该点适合方程 y=x2+2x+m，代入，得 42+24+m=0 解得 m=8 把代入一元二次方程x 2+2x+m=0，得 第 22 页（共 35 页） x2+2x+8=0， 解得 x1=4，x 2=2， 故答案为 x1=4，x 2=2 21如图，抛物线 y=x2 在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数 的点）依次为 A1，A 2，A 3
30、，A n，将抛物线 y=x2 沿直线 L：y=x 向上平移， 得一系列抛物线，且满足下列条件： 抛物线的顶点 M1，M 2，M 3，M n，都在直线 L：y=x 上； 抛物线依次经过点 A1，A 2，A 3An， 则 M2016 顶点的坐标为 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据抛物线 y=x2 与抛物线 yn=（x an） 2+an 相交于 An，可发现规律，根 据规律，可得答案 【解答】解：M 1（a 1，a 1）是抛物线 y1=（xa 1） 2+a1 的顶点， 抛物线 y=x2 与抛物线 y1=（x a1） 2+a1 相交于 A1， 得 x2=（xa 1） 2+a1， 即 2a1
31、x=a12+a1， x= （a 1+1） 第 23 页（共 35 页） x 为整数点 a 1=1， M1（ 1，1） ； M2（ a2，a 2）是抛物线 y2=（xa 2） 2+a2=x22a2x+a22+a2 顶点， 抛物线 y=x2 与 y2 相交于 A2， x2=x22a2x+a22+a2， 2a 2x=a22+a2， x= （a 2+1） x 为整数点， a 2=3， M2（ 3，3） ， M3（ a3，a 3）是抛物线 y2=（xa 3） 2+a3=x22a3x+a32+a3 顶点， 抛物线 y=x2 与 y3 相交于 A3， x2=x22a3x+a32+a3， 2a 3x=a32+
32、a3， x= （a 3+1） x 为整数点 a 3=5，M 3（5，5） ， 点 M2016 的坐标为： 201621=4031， M 2016， 故答案是： 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 57 分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 第 24 页（共 35 页） 22 （1）计算： sin45+3tan30 ； （2）解方程：x 26x+4=0 【考点】实数的运算；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值 【分析】 （1）把 sin45、tan30的值代入代数式，化简 后计算出最后的结 果 （2）利用配方法求出方程的解 【解答】解：（1）原式= +3 2 =1+ 2 =1 ；
33、 （2）x 26x=4 x26x+9=5 （x3） 2=5 x3= x=3 所以 x1=3+ ，x 2=3 23有四张背面相同的纸牌 A、B 、C、D正面分别画有四个不同的几何图形 （如图所示） ，小亮将这四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出 一张 （1）用树状图或列表法表示两次摸牌的所有可能的结果（纸牌用 A、B、C、D 表示） ； （2）求摸出的两次牌正面图形都是中心对称图形的概率 第 25 页（共 35 页） 【考点】列表法与树状图法；中心对称图形 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由树状图可求得摸出两张牌面图形都是中心对称图形
34、的纸牌的情况，再利 用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）画树状图得： 则共有 16 种等可能的结果； （2）A，B，D 是中心对称图形，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸 牌的有 6 种情况， 摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率为： 24 （1）如图，在矩形 ABCD 中，BF=CE，求证：AE=DF； （2）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，O 为圆心，BOD=160 ，求BCD 的度 数 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形 的性质 【分析】 （1）根据矩形的性质得出 AB=CD，B=C=90，求出 BE=CF，根据 SAS 推出ABED
35、CF 即可； （2）根据圆周角定理求出BAD，根据圆内接四边形性质得出 第 26 页（共 35 页） BCD+BAD=180 ，即可求出答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， AB=CD， B=C=90， BF=CE， BE=CF， 在ABE 和DCF 中 ABEDCF， AE=DF ； （2）解：BOD=160， BAD= BOD=80， A、B、C、D 四点共圆， BCD+BAD=180 ， BCD=100 25放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风 筝如图，他在 A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了 D 处，此 时风筝 AD 与水平线的
36、夹角为 30，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线 到达了离 A 处 10 米的 B 处，此时风筝线 BD 与水平线的夹角为 45已知点 A，B ，C 在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多 少米？（风筝线 AD，BD 均为线段， 1.414 ， 1.732 ，最后结果精确到 1 米） 第 27 页（共 35 页） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】作 DHBC 于 H，设 DH=x 米，根据三角函数表示出 AH 于 BH 的长， 根据 AHBH=AB 得到一个关于 x 的方程，解方程求得 x 的值，进而求得 ADBD 的长，即可解题 【解答】解：作 DHBC 于 H
37、，设 DH=x 米 ACD=90， 在直角ADH 中，DAH=30，AD=2DH=2x，AH=DHtan30= x， 在直角BDH 中，DBH=45，BH=DH=x，BD= x， AHBH=AB=10 米， xx=10， x=5（ +1） ， 小明此时所收回的风筝的长度为： ADBD=2x x=（2 ） 5（ +1）（2 1.414） 5（1.732 +1）8 米 答：小明此时所收回的风筝线的长度约是 8 米 26教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 10， 加热到 100，停止加热，水温开始下降，此时水温（ ）与开机后用时 （min）成反比例关系直至水温降至 20，饮水
38、机关机饮水机关机后即刻 自动开机，重复上述自动程序如图为在水温为 20时，接通电源后，水温 第 28 页（共 35 页） y（）和时间 x（min ）的关系 （1）求饮水机接通电源到下一次开机的间隔时间 （2）在（1）中的时间段内，要想喝到超过 50的水，有多长时间？ 【考点】反比例函数的应用 【分析】 （1）首先求得两个函数的解析式，然后代入 y=20 后求得两个时间相减 即可得到答案； （2）代入两个函数 y=50 求得两个时间相减即可确定答案 【解答】解：开机加热时每分钟上升 10， 从 20到 100需要 8 分钟， 设一次函数关系式为：y=k 1x+b， 将（0，20 ） ， （8，
39、100 ）代入 y=k1x+b，得 k1=10， b=20 y=10x+20（0x8） ， 设反比例函数关系式为：y= ， 将（8，100 ）代入，得 k=800， y= ， 将 y=20 代入 y= ，解得 x=40； 饮水机接通电源到下一次开机的间隔时间为 40 分钟； （2）y=10x+ 20（0x8）中， 令 y=50，解得 x=3； 反比例函数 y= 中，令 y=50，解得：x=16， 要想喝到超过 50的水，有 163=13 分钟 第 29 页（共 35 页） 27一个批发商销售成本为 20 元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品 每千克售价不得超过 90 元，在销售过程中发现
40、的售量 y（千克）与售价 x（元/ 千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 售价 x（元/ 千克） 50 60 70 80 销售量 y（千克） 100 90 80 70 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润 w（元）最大？此时的 最大利润为多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据图表中的各数可得出 y 与 x 成一次函数关系，从而结合图表 的数可得出 y 与 x 的关系式 （2）根据想获得 4000 元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得的总利润 w
41、（元）= 售量每件利润可表示出 w 与 x 之间 的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值 【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b（k 0） ，根据题意得 ， 解得 故 y 与 x 的函数关系式为 y=x+150； （2）根据题意得 （x+150） （x20）=4000， 解得 x1=70， x2=10090（不合题意，舍去） 故该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为 70 元； （3）w 与 x 的函数关系式为： 第 30 页（共 35 页） w=（x+150） （x20） =x2+170x3000 =（x85） 2+4225， 1 0， 当 x
42、=85 时，w 值最大，w 最大值是 4225 该产品每千克售价为 85 元时，批发商获得的利润 w（元）最大，此时的最大 利润为 4225 元 28如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交 点为点 B （1）直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC 求PAC 的面积 的最大值，并求出此时点 P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得
43、以点 A、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）先求的直线 y= x+2 与 x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对 称性可求得点 B 的坐标； 设抛物线的解析式为 y=y=a（x+4） （x1） ，然后将点 C 的坐标代入即可求得 a 的值； 第 31 页（共 35 页） （2）设点 P、Q 的横坐标为 m，分别求得点 P、Q 的纵坐标，从而可得到线段 PQ= m22m，然后利用三角形的面积公式可求得 SPAC = PQ4，然后利 用配方法可求得PAC 的面积的最大值以及此时 m 的值，从而可求得点
44、P 的坐 标； （3）首先可证明ABC ACOCBO ，然后分以下几种情况分类讨论即可： 当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，MANBAC；根据抛物线的对 称性，当 M（ 3，2 ）时， MAN ABC； 当点 M 在第四象限时，解题时， 需要注意相似三角形的对应关系 【解答】解：（1）y= 当 x=0 时，y=2 ，当 y=0 时，x= 4， C （0，2） ，A（4，0） ， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x= 对称， 点 B 的坐标为 1，0） 抛物线 y=ax2+bx+c 过 A（ 4，0） ，B（1，0） ， 可设抛物线解析式为 y=a（x +4） （x1）
45、 ， 又抛物线过点 C（0，2） ， 2=4a a= y= x2 x+2 （2）设 P（m， m2 m+2） 过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q， 第 32 页（共 35 页） Q （ m， m+2） ， PQ= m2 m+2（ m+2） = m22m， S PAC = PQ4， =2PQ=m24m=（m+2） 2+4， 当 m=2 时， PAC 的面积有最大值是 4， 此时 P（2 ，3） （3）方法一： 在 RtAOC 中，tanCAO= 在 RtBOC 中，tanBCO= ， CAO=BCO， BCO +OBC=90， CAO +OBC=90， ACB=90 ， ABCACO C
46、BO， 如下图： 第 33 页（共 35 页） 当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，MANBAC； 根据抛物线的对称性，当 M（ 3，2）时，MANABC ； 当点 M 在第四象限时，设 M（n， n2 n+2） ，则 N（n，0） MN= n2+ n2，AN=n+ 4 当 时，MN= AN，即 n2+ n2= （n +4） 整理得：n 2+2n8=0 解得：n 1=4（舍） ，n 2=2 M（ 2，3） ； 当 时，MN=2AN，即 n2+ n2=2（n+4） ， 整理得：n 2n20=0 解得：n 1=4（舍） ，n 2=5， M（ 5，18） 综上所述：存在 M1（0，2） ，M 2（3，2） ，M 3（2，3） ，M 4（5，18） ，使得以 点 A、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似 第 34 页（共 35
