1、高一下学期期末复习练习 等比数列 重点 等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和公式。 1定义：数列a n若满足 na1=q(q q,0为常数)称为等比数列。q 为公比。 2通项公式：a n=a1qn-1(a1 0、q 0)。 3.前 n 项和公式：S n= nn)(11 （q 1） 4.性质：（1）a n=amqn-m。 （2）若 m+n=s+t，则 aman=asat,特别地，若 m+n=2p，则 aman=a2p， （3）记 A=a1+a2+an,B=an+1+an+2+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a3n,则 A、B、C 成等比数列。 5方程思想：等比数列中的五
2、个元素 a1、q、n 、a n 、S n中，最基本的元素是 a1和 q，数 列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。 函数思想：等比数列的通项和前 n 次和都可以认为是关于 n 的函数。 难点 等比数列前 n 项和公式的推导，化归思想的应用。 例题选讲 1.（湖北）若互不相等的实数 ,abc成等差数列， ,cab成等比数列，且 310abc，则a （ ） A4 B2 C2 D4 2 （辽宁）(9) 在等比数列 n中, 12,前 n项和为 nS,若数列 n也是等比数列, 则nS 等于（ ） (A) 1 (B) 3 (C) (D)31 3已知 a1=2，点(a n,an+1)在函数 f(x)=x2
3、+2x 的图象上，其中 n=1，2 ，3， （1 ） 证明数列lg(1+a n)是等比数列； （2 ） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn 及数列a n的通项； （3 ） 记 bn= n，求 bn数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ 13T=1. 一、选择题 1在公比 q1 的等比数列a n中，若 am=p,则 am+n的值为 （ ） （A）pq n+1 （B）pq n-1 （C）pq n （D）pq m+n-1 2.若数列a n是等比数列，公比为 q，则下列命题中是真命题的是 （ ） （A）若 q1,则 an+1an （B）若 00,a ,b在 a 与 b 之间插入
4、n 个正数 x1,x2,xn，使 a,x1,x2,xn,b 成等比数列，则 nnx21= 4已知首项为 ，公比为 q(q0)的等比数列的第 m,n,k 项顺次为 M，N，K，则 (n-k)log 21M+(k-m)log 21N+(m-n)log 21K= 5若数列a n为等比数列，其中 a3,a9是方程 3x2+kx+7=0 的两根，且(a 3+a9) 2=3a5a7+2,则实数 k= 6若 2，a,b,c,d,18 六个数成等比数列，则 log9 2dcba= 7.2+(2+22)+(2+22+23)+（2+2 2+23+210）= 8某工厂在某年度之初借款 A 元，从该年度末开始，每年度
5、偿还一定的金额， 恰在 n 年内还清，年利率为 r,则每次偿还的金额为 元。 三、解答题 1.已知等比数列a n，公比为-2，它的第 n 项为 48，第 2n-3 项为 192，求此数列 的通项公式。 2.数列a n是正项等比数列，它的前 n 项和为 80，其中数值最大的项为 54，前 2n 项的和为 6560，求它的前 100 项的和。 3.已知 a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列，且公比为 q,求证：（1）q 3+ q 2+q=1,（2）q= ca 4.已知数列a n满足 a1=1,a2=- ,从第二项起，a n是以 21为公比的等比数列， an的前 n 项和为 S
6、n， 试问：S 1,S2,S3,Sn,能否构成等比数列？为什么？ 5.求 Sn=(x+ y1)+(x2+ )+(xn+ y1)(y 0)。 6.某企业年初有资金 1000 万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为 50%，但每年年底都要扣除消费基金 x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过 五年，资金达到 2000 万元（扣除消费基金后） ，那么每年扣除的消费资金应是多 少万元（精确到万元） 。 7.已知数列a n满足 a1=1,a2=r(r0)，数列b n是公比为 q 的等比数列(q0), bn=anan+1，c n=a2n-1+a2n,求 cn。 8.陈老师购买安居工程集资房 7m2
7、,单价为 1000/ m2，一次性国家财政补贴 28800 元，学校补贴 14400 元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款， 即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个 人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每 期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等， 若付 10 次，10 年后付清。如果按年利率的 7.5%每年复利一次计算(即本年利息 计入次年的本金生息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.075 9 1.921,1.075102.065,1.075112.221) 第八单元 等比数
8、列 一、选择题 CDACA BCDBD ABABD 二、填空题 11 250，10，2 或 2,10,50 3 ab 40 5. 9 简解：a 3+a9=- ,ka3a9=a5a7=- , (- 3k)2=3 7+2 k=9 6、1 7. 2 8、 1)(nrA 二、 解答题 1 92)(42132nna 解得 a1=3 a n=a1qn-1=3(-2)n-1 。 2 S 2nSn, q 1 2 ()8065naq /,得 qn=81 q1,故前 n 项中 an最大。代入，得 a1=q-1 又由 an=a1qn-1=54,得 81a1=54q a 1=2,q=3 S 100= 131)(20。
9、 3 （1）q 3+q2+q= cbacb (2)q= acb由合分比定理，可得 q= cabac2)()( 4.当 n2 时，a n=a2qn-2=- 1( )n-2=-( 21)n-1 a n= 1)2(n 当 n=1 时，S 1=a1=1 当 n 2 时，S n=a1+a2+an=1- -( )2-( )n-1=1- +( )2+( )n-1=1-11)(2(n S n=( 21)n-1 2 1)(1nnS Sn可以构成等比数列。 5、当 x1,y 1 时， S n=(x+x2+xn)+( y+ ny12 )= 1 11)()( nnnn yxyx 当 x=1,y1 时 S n=n+ 1
10、ny 当 x 1,y=1 时 Sn= x 当 x=y=1 时 S n=2n 6.设 an表示第 n 年年底扣除消费基金后的资金。 a1=1000(1+ 2)-x a2=1000(1+ )-x(1+ 1)-x=1000(1+ 21)2-x(1+ )-x a3=1000(1+ )2-x(1+ )-x(1+ )-x=1000(1+ )3-x(1+ 21)2-x(1+ )-x 类推所得 a5=1000(1+ 1)5-x(1+ )4-x(1+ 21)3-x(1+ )2-x(1+ )-x 则 1000（ 23） 5-x( )4+( )3+1=2000 即 1000( 3)5-x ,2031)(5 解得 x
11、424 万元 7、b n+1=bnq, a n+1an+2=anan+1q a n+2=anq,即 qan2 由 a1=1,a3=q,a5=q2,，知奇数项构成一个等比数列，故 a2n-1=qn-1 由 a2=r,a4=rq,a6=rq2,知偶数项也构成一个等比数列，故 a2n=rqn-1 C n=(1+r)qn-1 8、设每年付款 x 元，那么 10 年后 第一年付款的本利和为 a1=1.0759x 元。 第二年付款的本利和为 a2=1.0758x 元。 依次类推 第 n 年付款的本利和为 an=1.07510-nx 元。 则各年付款的本利和a n为等比数列。 10 年付款的本利和为 S10= 元075.1)(x。 个人负担的余额总数为 721000-28800-14400=28800 元。 10 年后余款的本利和为 188001.07510 1010.7528.75x 解得 x= 元420107528
